黑龙江绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025-2026学年高一下学期开学考试数学试卷（含解析）

哈师大青冈实验中学 2025-2026 年开学考试 数学试卷
满分:150 分 时间:120 分钟
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.)
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 命题“ ”的否定是( )
A. B.
C. D.
3. 已知角 的终边与单位圆的交点为 ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 若正实数 满足 ，则 的最小值为( )
A. 4 B. 7 C. 9 D. 10
5. 已知函数 为奇函数,且当 时, ,则 ( )
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
6. 把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移 个单位长度,得到函数 的图像,则 ( )
A. B.
C. D.
7. 若 ，则 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 有四个不同的零点,则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.)
9. (多选)已知函数 的图象如图所示,则 ( )
A. B.
C. D.
10. 已知函数 的部分图象如图所示,则( )
A. 的最小正周期为
B. 当 时, 的值域为
C. 将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到的函数图象关于点 对称
D. 将函数 的图象向右平移 个单位长度可得函数 的图象
11. 已知函数 ,则( )
A. 的定义域为
B. 在区间 上单调递增
C. 的图象关于点 对称
D.
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知 ，且 为第二象限角，则 _____.
13. 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的最大值是_____.
14. _____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分.)
15. 已知 ,计算下列各式的值.
(1) ；
(2) .
16. 已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期；
(2)当 时,求函数 的最大值,以及相应 的值.
17. 已知 .
(1)化简 ;
(2)若 ，求 的值.
18. 已知函数
(1)若 ，当 时，求函数 的值域；
(2)若关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实根，求实数 的取值范围.
19. 已知函数
(1)若 ， ，求函数 的解析式及对称轴；
( 2 )若 ， ， ，且，求 的值；
(3)已知 ，函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 的图象, 是 一个零点,当 时,方程 恰有三个不相等的实数根 ,求实数 的取值范围以及 的值.
1. B
由集合 ,则
2. A
命题“ ” 的否定是 “ ”.
故选: A.
3. A
由角 的终边与单位圆的交点为 ,所以 . 再由诱导公式得 .
故选: A
4. C
因为正实数 满足 ,
所以 ,
当且仅当 等号成立,将 代入 解得 .
即 时等号成立,所以 的最小值为 9 .
故选: C
5. A
已知函数 为奇函数,且当 时, ,
则 .
故选: A.
6. B
解法一: 函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,得到 的图象,再把所得曲线向右平移 个单位长度,应当得到 的图象,
根据已知得到了函数 的图象,所以 ,
令 ,则 ,
所以 ,所以 ;
解法二: 由已知的函数 逆向变换,
第一步: 向左平移 个单位长度,得到 的图象,
第二步: 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 的图象,
即为 的图象,所以 .
故选: B.
7. B
由于 ,
所以
故选: B
8. C
由 得 ,因为函数 有四个不同的零点, 所以函数 与 的图象有四个交点,
画出函数 的图象,如图所示,
观察图象可知, ,即 ,所以实数 的取值范围是 .
故选:
9. BD
观察图象得,函数 是单调递减的,因此, ,
图象与 轴交点纵坐标 有: ,而 时, ,于是得 ,解得 ,
所以 .
故选: BD
10. AC
A. ,故 A 正确;
B. ,由图知 ,
则 ,即 ,
因 ,故 ,则 ,
当 时, ,故 ,故 错误;
C. 新函数 ,因 ,故 正确;
D. 新函数 ,故 D 错误.
故选: AC.
11. BCD
对于函数 ,则 ,解得 且 ,
所以函数的定义域为 ,故 A 错误;
当 时, ,
因为 在 上单调递增,且 ,
又 在定义域上单调递增,
所以 在区间 上单调递增,故 正确;
因为
,
所以 的图象关于点 对称,故 正确;
因为 ,所以 ,
又 ,
所以 ,即 ,
所以 ,所以 ,即 ,故 D 正确.
故选: BCD
12.
因为 ,且 为第二象限角,
所以 ,
又因为 ,
即 ,
解得 .
故答案为:
13.
因为 为 上的增函数,
所以由复合函数的单调性可知 在区间 上单调递增且 , 所以 ,解得 ,
故答案为:
14. -1
由题意得:
.
故答案为: -1 .
15. (1)2
(2)0
(1) ,化简得 ,
.
(2) .
16.
(2)
(1) , 所以最小正周期 ;
(2)因为 ，所以 ，则 ， 的最大值为 2,此时 ,即 .
17. (1) .
(1)
( 2 )因为 ，即 ，所以
整理得: ,则 ,即
18.
(2)
(1) 当 时, .
设 ,因为 ,所以 .
则 .
因为该函数在 上单调递减,在 上单调递增.
且 ,
所以，所求函数的值域为:
(2)设 ，因为 ，所以 .
问题转化为: 方程 在 上有两个不等实根.
所以 .
所以，实数 的取值范围是:
19.(1) 函数 .
则 的最小正周期 ,
因为 ,所以函数 的最小正周期 ,
所以 ,解得
① 当 时， ，令 ，解得 ， 所以函数 的图象的对称轴为
② 当 时， ，令 ，解得
所以函数 的图象的对称轴为 ;
(2)当
由 ,则 ,
由 ,则 ,可得 ,
所以 .
(3)由题意可知 ，
因为 是 的一个零点,即 ,所以
所以 或 ,
故 或 ,又 (舍),
故 ,则 ,
当 时, ,设 ,则 ,则原式可化为
即 的图象在区间 内与水平直线 的图象有 3 个不同的交点,
作出 在 上的图象如下图所示,
所以当 时,即 与 恰有 3 个不同的交点,故实数 的取值范围为 ,
设 与 的 3 个不同的交点分别为 ,则 , ,即 ,整理得 .