黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（含解析） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 352.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-12 00:00:00 | ||
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文档简介
黑龙江大庆市大庆中学 2025-2026 学年高三下学期开学考试 数学试题
考试范围:高考范围:考试时间:120 分钟:满分:150 分
注意事项:
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、单选题
1. 已知复数 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知集合 ，则 ( )
A. B. 或
C. D.
3. 在平面直角坐标系中,角 的顶点为坐标原点 ,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点 ,将角 的终边按照顺时针方向旋转 后得到角 ,则 的值为 ( )
A. B. C. 0 D.
4. 若数列 的首项为 1,且 ,设 ,则数列 的前 20 项和 为 ( )
A. B. C. D.
5. 将 5 名程序专家全部分配到 1,2,3 号 3 个 实验室指导工作,每个实验室至少分配 1 名专家，其中 专家必须去 1 号实验室，则不同的分配方案共有( )
A. 26 种 B. 36 种 C. 38 种 D. 50 种
6. 已知点 为椭圆 上异于左右顶点的动点， 为其左右焦点， 若有且只有两个点 使得 ,当 时, 与椭圆 交于另一点 ,且 ,则椭圆 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知 ，则 的大小关系为( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数 若方程 有三个不相等的实数根 ,且 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知函数 的部分图象如图所示，则()
A. 的最小正周期为
B. 的对称轴方程为
C.
D. 若关于 的方程 在 上有两个根,则
10. 已知向量 ,则( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 在 上的投影向量为 D. 的最小值为
11. 如图所示，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动点 且 ,则下列结论中正确的是 ( )
A. B. 平面
C. 异面直线 所成的角为定值 D. 三棱锥 的体积为定值
第 II 卷(非选择题)
三、填空题
12. 已知曲线 在 处的切线与曲线 相切,则 的值为_____.
13. 小龙虾是江汉平原的一种特色美食, 它的口味有多种, 据调查江汉平原地区喜欢麻辣口味的食客占 60%，喜欢蒜蓉口味的食客占 30%，既喜欢麻辣口味又喜欢蒜蓉口味的食客占 20%，现从不喜欢蒜蓉口味的食客中随机抽取一人，则此人喜欢麻辣口味的概率为_____.
14. 已知数列 满足 ,且 是 的等差中项, 是数列 的前 项和,则 _____， _____.
四、解答题
15. 中,角 所对的边分别为 .
(1)若 ,求 ;
(2)若 ，求 的面积.
16. 如图,在三棱锥 中,平面 平面 是边长为 2 的等边三角形, .
(1)证明: ；
(2)若线段 上的点 满足直线 与直线 所成角的余弦值为 ，求点 到直线 的距离.
17. 已知双曲线 的右焦点为 ，点 到其渐近线的距离为 1，且 的离心率为 .
(1)求 的标准方程；
( 2 )若 ，直线 与双曲线 交于 两点，且直线 的斜率之和为 ， 求直线 的方程.
18. 一年之计在于春, 一日之计在于晨, 春天是播种的季节, 是希望的开端.某种植户对一块地的 个坑进行播种,每个坑播 2 粒种子,每粒种子发芽的概率均为 ,且每粒种子是否发芽相互独立. 对每一个坑而言, 如果全部的种子发芽, 则不需要进行补播种, 否则要补播种.
(1)当 时，用 表示要补播种的坑的个数，求 的分布列与数学期望.
(2)当 取何值时，有 4 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
19. 已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为 -2，求实数 的取值范围;
(3)当 时,若对 ,有 恒成立,求实数 的取值范围.
1. B
. 故选: B.
2. D
,
对于 ,则 ,解得 ,
故 ,所以 ,
故选: D.
3. D
因为角 终边经过点 ,
所以 ,且为第三象限角,
所以 ,
又将角 的终边按照顺时针方向旋转 后得到角 ,所以 ,
所以
故选: D
4. D
因 ,则
,当 时,符合题意,故 ,
则 ,
故 .
故选: D.
5. D
当 1 号实验室有 1 人时,即 专家,其余 4 名专家分配到 2 号和 3 号实验室, 且每个实验室至少 1 人，分配方案有 种；
当 1 号实验室有 2 人时，先从其余 4 名专家中选 1 人到 1 号实验室有 种方法，
再将其余 3 名专家分配到 2 号和 3 号实验室且每个实验室至少 1 人有 种方法, 故共有 种;
当 1 号实验室有 3 人时,分配方案有 种;
可得不同的分配方案共有 种.
故答案为: 50
6. D
依题意由椭圆对称性可知, 为椭圆上、下顶点时,有且只有两个点 使得
此时 ,在 中,易知 .
当 时,易知 ,
又 ,所以 .
在 中，又 ，
即可得 ,解得 , 因此椭圆 的离心率 .
故选: D
7. C
令 ,
则 ,
令 ,得 ,
所以在 上 单调递增,在 上 ,单调递减,
所以 ,
所以 ,即 ,
所以 ,即 ,
因为 ,
所以 ,即
所以 .
故选: C.
8.
令 ,得 ,所以
因为 是增函数,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减. 所以 的图象如图所示:
方程 有三个不相等的实数根 ,且 ,
则函数 的图象与直线 有三个不同的交点,交点横坐标分别为 ,且
因为 ,且 ,所以 .
当 时,令 ,则 ;
当 时,令 ,得 ,所以 .
所以 .
结合 的解析式及图象,知 ,即 ,所以 ,所以 .
所以 ,所以 的取值范围是 .
故选: C.
9. ABD
观察函数 的图象,函数 的最小正周期 ,则 , 由 ,得 ,而 ,解得 ,
因此 ,
对于 的最小正周期为 正确;
对于 ,由 ,得 的对称轴方程为 正确;
对于 错误;
对于 ,当 时, ,函数 在 上单调递减,函数值从 减小到-2,
在 上单调递增,函数值从 -2 增大到 ,当且仅当 时,
直线 与函数 在 上的图象有两个交点,即 在 上有两个根, 正确.
故选: ABD
10.
A 选项, ,若 ,
则 ,解得 , A 错误;
B 选项， ，则 ，故 ，
所以 正确;
选项, ,
在 上的投影向量为 正确;
D 选项, ,
故 ,当 时, , D 错误.
故选; BC
11. ABD
因为 ,
又因为 平面 平面 ,所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 ,故 项正确;
易知 ,所以 ,
又因为 平面 平面 ,所以 平面 ,故 B 项正确; 当点 在点 处, 为 的中点时,由 ,可得异面直线 所成的角是 ,
此时 ,
当 为上底面中心时， 在 的位置，此时异面直线 ， 所成的角是 ，
此时 ,所以 ,
所以异面直线 所成的角不是定值，所以 错误；
如图,连接 交 于点 .
因为 平面 平面 ,
所以 ,所以 .
因为 平面 ,
所以 到平面 的距离为 ,
所以 为定值,故 D 项正确;
故选: ABD.
12.
由 ,得 .
因为 ,所以曲线 在 处的切线方程为 .
设直线 与曲线 相切于点 ,
所以 ,解得 ,所以 ,
所以 .
故答案为:
13.
记事件 : 喜欢麻辣口味的食客; 记事件 : 喜欢蒜蓉口味的食客,
则喜欢麻辣口味又喜欢蒜蓉口味的食客为 ,
由题意可知 ,
则不喜欢蒜蓉口味的食客的概率为: ,
由喜欢麻辣口味但不喜欢蒜蓉口味的食客的事件为: ,
则 ,
所以从不喜欢蒜蓉口味的食客中随机抽取一人，
则此人喜欢麻辣口味的概率为: ,
故答案为: .
14. 171
由题知 ,解得 ,
当 是偶数， 是奇数，故 ，
所以 ,因为 ,
故 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，
故 .
所以当 时, ,
所以
;
.
故答案为:
15. ;
(2) .
(1) 因为 ,所以 , 所以 ,由正弦定理得 ,解得 .
(2)因为 ，所以 ，即 ，
因为 ,所以 ,所以 ,
由正弦定理可得 ，
由余弦定理得 ,即 ,解得
所以 .
16.(1)在 中, ,
由余弦定理可得: ,
则 ,所以有 ,则 .
由平面 平面 ,平面 平面 ,
且 平面 ,则 平面 ,
又 平面 ,则 .
(2)取 中点分别为 ，连接 .
由 为正三角形知， ，
结合(1)中 平面 ，由 ，可知 平面 ，则 两两垂直,
如图所示，以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系,
则 ,
可得 .
设 ,则 ,且 ,
可得 .
由 ,解得 或 (舍去),
则 ，且 .
故点 到直线 的距离 .
17.
(2)
(1) 双曲线 的渐近线方程为 ,即 , 故点 到其渐近线的距离为 ,
又 ,
又 的离心率为 ,即 ,
,解得 ,
故 的标准方程为 .
(2)
设 ,
联立 ,即 ,
又直线 与双曲线 交于 两点,
,即 ,
,
又 ,
,
又直线 的斜率之和为 ,
,解得 或 (舍去),
故直线 的方程为 .
18.(1) 对于一个坑,不需要补播种的概率为 ,需要补播种的概率为
由题意可知, 的可能取值有0,1,2,3,且 ,
则 ,
则 的分布列如下:
0 1 2 3
1 64 9 64 27 64 27 64
则数学期望为 ;
(2)由(1)可知，有 4 个坑要补播种的概率为 ，
由 ,得 ,
因为 为正整数,所以 ,
则当 时,有 4 个坑要补播种的概率最大,最大概率为 .
19.(1) 函数 的定义域为 ,
由 ,
① 当 时， ，则函数 在 上单调递减；
② 当 时， ，则函数 在 上单调递增；
③ 当 时， ，令 ，得 ，令 ，得 或 ， 故函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
④ 当 时， ，令 ，可得 ，令 ，得 或 ， 故函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
综上所述: 当 时,函数 在 上单调递减;
当 时,函数 在 上单调递增;
当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
(2)由函数 的图象上存在两个点在两点处的切线的斜率都为 -2,
可知, 在 上有两个不相等的实数根,
即关于 的方程 在 上有两个不相等的实数根 ,
上述方程可整理为 .
则 ,解得 或 ,
故实数 的取值范围为 .
(3)当 时，由(1)可知函数 在 上单调递增，
不等式 可化为 ,
因 恒成立,则可得 且 对 恒成立.
又由
.
当且仅当 ,即 或 时取等号,
故实数 的取值范围为 .
考试范围:高考范围:考试时间:120 分钟:满分:150 分
注意事项:
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、单选题
1. 已知复数 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知集合 ，则 ( )
A. B. 或
C. D.
3. 在平面直角坐标系中,角 的顶点为坐标原点 ,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点 ,将角 的终边按照顺时针方向旋转 后得到角 ,则 的值为 ( )
A. B. C. 0 D.
4. 若数列 的首项为 1,且 ,设 ,则数列 的前 20 项和 为 ( )
A. B. C. D.
5. 将 5 名程序专家全部分配到 1,2,3 号 3 个 实验室指导工作,每个实验室至少分配 1 名专家，其中 专家必须去 1 号实验室，则不同的分配方案共有( )
A. 26 种 B. 36 种 C. 38 种 D. 50 种
6. 已知点 为椭圆 上异于左右顶点的动点， 为其左右焦点， 若有且只有两个点 使得 ,当 时, 与椭圆 交于另一点 ,且 ,则椭圆 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知 ，则 的大小关系为( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数 若方程 有三个不相等的实数根 ,且 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知函数 的部分图象如图所示，则()
A. 的最小正周期为
B. 的对称轴方程为
C.
D. 若关于 的方程 在 上有两个根,则
10. 已知向量 ,则( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 在 上的投影向量为 D. 的最小值为
11. 如图所示，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动点 且 ,则下列结论中正确的是 ( )
A. B. 平面
C. 异面直线 所成的角为定值 D. 三棱锥 的体积为定值
第 II 卷(非选择题)
三、填空题
12. 已知曲线 在 处的切线与曲线 相切,则 的值为_____.
13. 小龙虾是江汉平原的一种特色美食, 它的口味有多种, 据调查江汉平原地区喜欢麻辣口味的食客占 60%，喜欢蒜蓉口味的食客占 30%，既喜欢麻辣口味又喜欢蒜蓉口味的食客占 20%，现从不喜欢蒜蓉口味的食客中随机抽取一人，则此人喜欢麻辣口味的概率为_____.
14. 已知数列 满足 ,且 是 的等差中项, 是数列 的前 项和,则 _____， _____.
四、解答题
15. 中,角 所对的边分别为 .
(1)若 ,求 ;
(2)若 ，求 的面积.
16. 如图,在三棱锥 中,平面 平面 是边长为 2 的等边三角形, .
(1)证明: ；
(2)若线段 上的点 满足直线 与直线 所成角的余弦值为 ，求点 到直线 的距离.
17. 已知双曲线 的右焦点为 ，点 到其渐近线的距离为 1，且 的离心率为 .
(1)求 的标准方程；
( 2 )若 ，直线 与双曲线 交于 两点，且直线 的斜率之和为 ， 求直线 的方程.
18. 一年之计在于春, 一日之计在于晨, 春天是播种的季节, 是希望的开端.某种植户对一块地的 个坑进行播种,每个坑播 2 粒种子,每粒种子发芽的概率均为 ,且每粒种子是否发芽相互独立. 对每一个坑而言, 如果全部的种子发芽, 则不需要进行补播种, 否则要补播种.
(1)当 时，用 表示要补播种的坑的个数，求 的分布列与数学期望.
(2)当 取何值时，有 4 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
19. 已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为 -2，求实数 的取值范围;
(3)当 时,若对 ,有 恒成立,求实数 的取值范围.
1. B
. 故选: B.
2. D
,
对于 ,则 ,解得 ,
故 ,所以 ,
故选: D.
3. D
因为角 终边经过点 ,
所以 ,且为第三象限角,
所以 ,
又将角 的终边按照顺时针方向旋转 后得到角 ,所以 ,
所以
故选: D
4. D
因 ,则
,当 时,符合题意,故 ,
则 ,
故 .
故选: D.
5. D
当 1 号实验室有 1 人时,即 专家,其余 4 名专家分配到 2 号和 3 号实验室, 且每个实验室至少 1 人，分配方案有 种；
当 1 号实验室有 2 人时，先从其余 4 名专家中选 1 人到 1 号实验室有 种方法，
再将其余 3 名专家分配到 2 号和 3 号实验室且每个实验室至少 1 人有 种方法, 故共有 种;
当 1 号实验室有 3 人时,分配方案有 种;
可得不同的分配方案共有 种.
故答案为: 50
6. D
依题意由椭圆对称性可知, 为椭圆上、下顶点时,有且只有两个点 使得
此时 ,在 中,易知 .
当 时,易知 ,
又 ,所以 .
在 中，又 ，
即可得 ,解得 , 因此椭圆 的离心率 .
故选: D
7. C
令 ,
则 ,
令 ,得 ,
所以在 上 单调递增,在 上 ,单调递减,
所以 ,
所以 ,即 ,
所以 ,即 ,
因为 ,
所以 ,即
所以 .
故选: C.
8.
令 ,得 ,所以
因为 是增函数,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减. 所以 的图象如图所示:
方程 有三个不相等的实数根 ,且 ,
则函数 的图象与直线 有三个不同的交点,交点横坐标分别为 ,且
因为 ,且 ,所以 .
当 时,令 ,则 ;
当 时,令 ,得 ,所以 .
所以 .
结合 的解析式及图象,知 ,即 ,所以 ,所以 .
所以 ,所以 的取值范围是 .
故选: C.
9. ABD
观察函数 的图象,函数 的最小正周期 ,则 , 由 ,得 ,而 ,解得 ,
因此 ,
对于 的最小正周期为 正确;
对于 ,由 ,得 的对称轴方程为 正确;
对于 错误;
对于 ,当 时, ,函数 在 上单调递减,函数值从 减小到-2,
在 上单调递增,函数值从 -2 增大到 ,当且仅当 时,
直线 与函数 在 上的图象有两个交点,即 在 上有两个根, 正确.
故选: ABD
10.
A 选项, ,若 ,
则 ,解得 , A 错误;
B 选项， ，则 ，故 ，
所以 正确;
选项, ,
在 上的投影向量为 正确;
D 选项, ,
故 ,当 时, , D 错误.
故选; BC
11. ABD
因为 ,
又因为 平面 平面 ,所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 ,故 项正确;
易知 ,所以 ,
又因为 平面 平面 ,所以 平面 ,故 B 项正确; 当点 在点 处, 为 的中点时,由 ,可得异面直线 所成的角是 ,
此时 ,
当 为上底面中心时， 在 的位置，此时异面直线 ， 所成的角是 ，
此时 ,所以 ,
所以异面直线 所成的角不是定值，所以 错误；
如图,连接 交 于点 .
因为 平面 平面 ,
所以 ,所以 .
因为 平面 ,
所以 到平面 的距离为 ,
所以 为定值,故 D 项正确;
故选: ABD.
12.
由 ,得 .
因为 ,所以曲线 在 处的切线方程为 .
设直线 与曲线 相切于点 ,
所以 ,解得 ,所以 ,
所以 .
故答案为:
13.
记事件 : 喜欢麻辣口味的食客; 记事件 : 喜欢蒜蓉口味的食客,
则喜欢麻辣口味又喜欢蒜蓉口味的食客为 ,
由题意可知 ,
则不喜欢蒜蓉口味的食客的概率为: ,
由喜欢麻辣口味但不喜欢蒜蓉口味的食客的事件为: ,
则 ,
所以从不喜欢蒜蓉口味的食客中随机抽取一人，
则此人喜欢麻辣口味的概率为: ,
故答案为: .
14. 171
由题知 ,解得 ,
当 是偶数， 是奇数，故 ，
所以 ,因为 ,
故 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，
故 .
所以当 时, ,
所以
;
.
故答案为:
15. ;
(2) .
(1) 因为 ,所以 , 所以 ,由正弦定理得 ,解得 .
(2)因为 ，所以 ，即 ，
因为 ,所以 ,所以 ,
由正弦定理可得 ，
由余弦定理得 ,即 ,解得
所以 .
16.(1)在 中, ,
由余弦定理可得: ,
则 ,所以有 ,则 .
由平面 平面 ,平面 平面 ,
且 平面 ,则 平面 ,
又 平面 ,则 .
(2)取 中点分别为 ，连接 .
由 为正三角形知， ，
结合(1)中 平面 ，由 ，可知 平面 ，则 两两垂直,
如图所示，以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系,
则 ,
可得 .
设 ,则 ,且 ,
可得 .
由 ,解得 或 (舍去),
则 ，且 .
故点 到直线 的距离 .
17.
(2)
(1) 双曲线 的渐近线方程为 ,即 , 故点 到其渐近线的距离为 ,
又 ,
又 的离心率为 ,即 ,
,解得 ,
故 的标准方程为 .
(2)
设 ,
联立 ,即 ,
又直线 与双曲线 交于 两点,
,即 ,
,
又 ,
,
又直线 的斜率之和为 ,
,解得 或 (舍去),
故直线 的方程为 .
18.(1) 对于一个坑,不需要补播种的概率为 ,需要补播种的概率为
由题意可知, 的可能取值有0,1,2,3,且 ,
则 ,
则 的分布列如下:
0 1 2 3
1 64 9 64 27 64 27 64
则数学期望为 ;
(2)由(1)可知，有 4 个坑要补播种的概率为 ，
由 ,得 ,
因为 为正整数,所以 ,
则当 时,有 4 个坑要补播种的概率最大,最大概率为 .
19.(1) 函数 的定义域为 ,
由 ,
① 当 时， ，则函数 在 上单调递减；
② 当 时， ，则函数 在 上单调递增；
③ 当 时， ，令 ，得 ，令 ，得 或 ， 故函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
④ 当 时， ，令 ，可得 ，令 ，得 或 ， 故函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
综上所述: 当 时,函数 在 上单调递减;
当 时,函数 在 上单调递增;
当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
(2)由函数 的图象上存在两个点在两点处的切线的斜率都为 -2,
可知, 在 上有两个不相等的实数根,
即关于 的方程 在 上有两个不相等的实数根 ,
上述方程可整理为 .
则 ,解得 或 ,
故实数 的取值范围为 .
(3)当 时，由(1)可知函数 在 上单调递增，
不等式 可化为 ,
因 恒成立,则可得 且 对 恒成立.
又由
.
当且仅当 ,即 或 时取等号,
故实数 的取值范围为 .
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