黑龙江佳木斯市桦南县第一中学2025-2026学年高二下学期开学初考试数学试卷（含解析）

2025-2026 学年度第二学期开学初考试 高二数学学科试卷
第 I 卷 (选择题)
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分
1. 已知空间向量 ，若 ，则 ( )
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
2. 已知 为等差数列， ， ，则 的公差为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D.
3. 若 ,则 ( )
A. 2 B. -2 C. 10 D. -10
4. 已知圆 ,圆 ,则圆 与圆 的位置关系是( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
5. 已知椭圆 的左、右两个焦点分别为 是 上的动点, 是圆 上任意一点，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 在三棱台 中， ，且 ，若 平面 ,则点 到直线 的距离为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,以原点 为圆心, 为半径作圆,与双曲线 在第一、三象限分别交于 两点. 若四边形 的面积为 ,则双曲线 的离心率为 ( )
A. B. C. D. 2
8. 已知数列 中, ,若对于任意的 , ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每题 6 分, 共 18 分, 全部选对的得 6 分, 部分选 对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列命题正确的是( )
A.
B.
C. 一物体的运动方程为 ，则其在 时的瞬时速度为 1
D. 已知函数 在 上可导,且 ,则
10. 已知直线 ，圆 ，则下列说法正确的有( )
A. 直线 恒过定点
B. 直线 与圆 一定相交
C. 直线 与圆 可能相切
D. 当 时,直线 被圆 截得的弦长为
11. 已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ,点 为 上位于第二象限内的一点, 分别为 的左、右焦点,若 内切圆的圆心为 ,
则 ( )
A. 点 到渐近线的距离为 3
B. 若 ,则 最小值是
C. 当 时, 的面积为
D. 若 为坐标原点,则
第 II 卷(非选择题)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知直线 过抛物线 的焦点 ，且与抛物线在第一象限的交点为 ，若 ， 则以点 为圆心 3 为半径的圆被 轴截得的弦长为_____.
13. 设函数 ,则曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_____.
14. 在正方体 中,若棱长为 分别为线段 上的动点,则下列结论中错误的序号为_____.
(1) 平面
(2)直线 与平面 所成角的正弦值为定值
(3)平面 平面
(4)点 到平面 的距离为定值
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知圆 .
(1)求圆 的半径；
(2)若直线 与圆 相切于点 ，求直线 的方程.
16. 已知函数 的导函数为 ,数列 满足 .
(1)求过点 的曲线 的切线方程；
(2)若点 在 的图象上，求 的通项公式.
17. 如图,正四棱台 的高为 3,且
(1)求证:平面 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的余弦值.
18. 已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
19. 已知椭圆 过点 .
(1)求椭圆 的方程以及离心率；
(2)设直线 与椭圆 交于 两点，过点 作直线 的垂线，垂足为 . 判断直线 是否过定点,并证明你的结论.
1. A
因为 且 ,
所以 ,即 ,解得 ,所以 .
故选: A
2. C
设该等差数列的公差为 .
因为 ,
所以 ,即 ,解得 .
故选:
3. A
由 求导得: ,
则 ,解得 ,即 ,
所以 .
故选: A
4. B
化简 ,则其圆心 ,半径 ,
化简 ,则其圆心 ,半径 ,
则 ,而 ,
则 ,故两圆相交.
故选: B.
5. A
对于椭圆 ,则 ,故 、 ,
圆 的标准方程为 ,圆心为 ,半径为 1,如下图所示:
由椭圆定义可得 ，
所以
,
当且仅当点 分别为线段 与椭圆、圆 的交点时,上述两个等号同时成立, 故 的最小值为 .
故选: A.
6. D
因为 平面 ,所以 ,又 ,所以 . 可以 为坐标原点,分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则 .
所以 ,
所以 在 方向上的投影为 ,
所以点 到直线 的距离为 .
7.
已知双曲线 的焦距为 ,则圆 的方程为 .
联立双曲线方程与圆的方程,消去 得:
又因为 ,所以 ,故 点纵坐标为 .
四边形 为平行四边形,面积为 .
由题意 ,即 .
又 ,故离心率 .
故选:
8.
因 ,则 ,
则 ,即 ,
因 ,则 ,故数列 是各项为 3 的常数列,
则 ,即 ,则 ,
因对于任意的 ,不等式 恒成立,
则 ,即 对任意的 恒成立,
令 ,
则 ,
即 ,得 或 ,
故实数 的取值范围为 .
故选: B
9. AC
对于 ,故 正确;
对于 ,故 不正确;
对于 ,瞬时速度是位移函数的导数: ,所以 ,故 正确;
对于 ,根据导数的定义可得: ,故 错误;
故选: AC
10. ABD
直线 可化为 ,
令 ,解得 ,所以直线 恒过定点 ,故 正确;
因为 ,所以定点 在圆内,
所以直线 与圆 一定相交,故 正确, 错误;
当 时,直线 ,
圆 的圆心为 ,半径 ,
圆心 到直线 的距离 ,
所以直线 被圆 截得的弦长为 ,故 D 正确.
故选: ABD.
11. BCD
如图,
设 的内切圆 与 的切点分别为 ，则 ，
因为点 为 上位于第二象限内一点,所以 ,因为 ,
所以 , 则点 即为 的左顶点,又 ,所以 ,因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,双曲线 ,
对于 ,渐近线为 ,所以点 到渐近线的距离为 , 故 A 错误;
对于 ,所以 ,所以 , 当 三点共线时, 的最小值是 , 如图,
所以 ,故 正确;
对于 ,即 内切圆半径为 ,所以 ,
所以 ,即 为直角三角形,所以 ,
所以 的面积为 ,故 正确;
对于 选项, ,所以 ,
整理可得 ,
又 ,
两式相加可得 ,
即 ,所以 ,故 D 正确.
故选: BCD.
12. 2
由题意知 ,
又点 在抛物线上且在第一象限,所以 ,故点 为 ,
则以点 为圆心 3 为半径的圆的方程为 ,
令 得 或 ,故以点 为圆心 3 为半径的圆被 轴截得的弦长为 2 .
故答案为: 2
13.
由 求导得 ,则 , 故切线方程为 ,令 ,得 ,令 ,得 , 即切线与坐标轴分别交于 ,故切线与两坐标轴围成的三角形面积为 . 故答案为: .
14. (2)
以 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,
则 .
令 ,得 .
令 ,得 ,
对于(1)， ， ， ，
显然 ,
即 ,而 平面 ,
因此 平面 ,(1) 正确;
对于(2)，由 平面 ， 平面 ，得 ，
又因为 , 平面 ,
所以 平面 ,于是 为平面 的一个法向量.
由 ,设直线 与平面 所成角为 ,则
,不是定值,(2) 错误;
对于(3)，由(1)知 平面 ，即 为平面 的一个法向量.
易得 ，所以 ，
所以 ,
又 平面 ,
因此 平面 ,
所以平面 平面 正确;
对于(4)，显然 ，因此点 到平面 的距离为 ， 为定值, (4) 正确.
故答案为:(2)
15. (1)5;
(2) .
(1)因为圆 的方程为 ,
即为 ,
所以圆 的半径为 5 ;
(2)显然切线 不垂直于 轴,设直线 的方程为 ，
为圆心 到直线 的距离，
则有 ,
又因为线 与圆 相切,
所以 ,
即 ,
解得: ,
所以切线 的方程为 ,
即 .
16. ,或
(2)
(1) 由 ,
设切点为 ,所以 ,
因此过该切点的直线方程为 ,
把点 的坐标代入,得
,或 ,
当 时,切点为 ,此时切线方程为 ;
当 时,切点为 ,此时切线方程为
综上所述: 切线方程为 ,或 ;
(2)因为点 在 的图象上，
所以 ,
所以数列 是以 为首项,3为公比的等比数列,
所以有 .
17.(1)设 交 于 ,连接 并交于 ,连接 ,
由正四棱台的性质可知 平面 , 平面 ,
所以 ,又 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以平面 平面 ;
(2)取 中点 ，连接 ，则 ，
所以四边形 为平行四边形,所以 ,而 平面 ,
故 平面 ,所以 为 与平面 所成角,
,
所以 ,即 与平面 所成角的余弦值为 .
18.
(2)
(1)因为数列 的前 项和 ,
所以 时, ,
当 时, ,
又 也适合上式,
所以数列 的通项公式为 ;
(2)由 ，
得 ,
作差得:
得:
得: .
19.(1)将 代入椭圆方程可得 且 ，
解得 ,故 ,
故椭圆方程为 ,离心率为
(2)联立 与椭圆方程 ，消去 可得 ，
设 可得 ,
则 的方程为 ,又 ,
令 ,则
故直线 经过定点 .