黑龙江省鸡西实验中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）

鸡西实验中学 2025-2026 学年度第二学期开学考试 高二学年数学试卷
考试说明: 本试卷分第I卷 (选择题) 和第II卷 (非选择题) 两部分, 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
第I卷(共 58 分)
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知某数列为 ,按照这个规律,则该数列的第 10 项是( )
A. B. C. D.
2. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点, 是椭圆 上一点,若 , 则 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 向量 分别是直线 的方向向量,且 ,若 ,则 ( )
A. B.
C. D.
4. 在正方体 中, 分别为棱 的中点,则异面直线 与 所成角的余弦值为( ).
A. B. C. D.
5. 已知两点 ,直线 过点 且与线段 有交点,则直线 的倾斜角的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6. 已知数列 满足 ,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 如图,记三棱锥 的体积为 为 的中点, 且 平面 ,则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
8. 椭圆 的左，右焦点分别为 ，若椭圆上存在点 ，使 ,则椭圆离心率 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若椭圆 的一个焦点坐标为 ，则( )
A. B. 的长轴长为
C. 的短轴长为 D. 的离心率为
10. 在正三棱柱 中， ，则( )
A. 直线 与 所成的角为
B. 直线 与 所成的角为
C. 与平面 所成角的正弦值为
D. 与侧面 所成角的正弦值为
11. 已知数列 的前 项和为 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则 是等差数列
B. 若 是等差数列,且 ,则数列 的前 项和 有最大值
C. 若等差数列 的前 10 项和为 170,前 10 项中,偶数项的和与奇数项的和之比为 9:8, 则公差为 2
D. 若 是等差数列,则三点 共线
第II卷(共92分)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 正项等比数列 中， ，则 _____.
13. 方程 表示焦点在 轴上的椭圆,则实数 的取值范围是_____.
14. 如图 1, 北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念, 创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种. 如图 2,一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面,尊高 63cm, 上口直径为 ,底部直径为 ,最小直径为 ,则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为_____.
图1
图2
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知三角形 的顶点坐标为 是 边上的中点.
(1)求 边所在的直线方程；
(2)求中线 的长
(3)求 边的高所在直线方程.
16. 已知正方体 的棱长为 分别为棱 的中点，建立空间直角坐标系, 如图所示.
(1)写出正方体 各顶点的坐标；
(2)写出向量 ， ， 的坐标；
(3)求向量 在向量 上的投影向量的坐标.
17. 已知数列 中， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
18. 如图,在三棱柱 中, ，点 为棱 的中点，平面 平面 ，且 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值.
19. 已知椭圆 的离心率为 ，上顶点 的坐标为 .
(1)求 的方程；
( 2 )已知 为 上一点，过 作 轴的垂线，垂足为 ，若点 满足 ，当点 在 上运动时,求点 的轨迹方程;
1. D
由题意,数列 ,可化为 , 所以数列的一个通项公式为 ,所以该数列的第 10 项是 .
故选: D.
2. C
由椭圆 可知其半长轴长为 ,
因为 是椭圆 上一点,所以 ,
而 ,所以 .
故选:
3.
因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,解得
故选: C.
4. A
如图建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 2,
则 ,
,
,
即异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选: A.
5. A
如图所示,直线 的斜率 ,直线 的斜率 .
由图可知,当直线 与线段 有交点时,直线 的斜率 ,
因此直线 的倾斜角的取值范围是 .
故选: A.
6. B
,则 , ,以上各式相加可得, .
故选: B
7. C
因为 ,所以 .
由于三棱锥 的体积为 平面 ,
所以 ,所以 .
因为等腰直角 中， 为 的中点，
所以 .
因为 ,所以三棱锥外接球的球心在直线 上.
设外接球半径为 ,则根据勾股定理得
,化简得 ,
即 ,
当且仅当 时等号成立.
因为 ,当 时, ;
当 时, ;
所以 ,
此时该外接球的表面积为 .
故选: C.
8. D
设椭圆的上顶点为 ,连接 ,如图所示:
则 ,
椭圆上存在点 ,使得 ,则需 ,
则 ,显然 ,所以 ,
所以 ,所以 ,又 ,
所以 ,即椭圆离心率 的取值范围为 .
故选: D.
9. AC
因为椭圆 的一个焦点坐标为 ,
所以椭圆 的焦点在 轴上,所以 ,
所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 (舍去) 或 ,故 A 正确;
所以椭圆 ,所以 的长轴长为 ,故 B 错误;
的短轴长为 ,故 正确; 的离心率为 ,故 错误.
故选: AC.
10. ACD
对于 ,依题意,取 的中点 的中点 ,连接 ,如图,
易得 ,又 面 ,所以 面 ,
又 面 ,所以 ,
又 是正三角形, 是 的中点,故 ,则 两两垂直,
故以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图， 设 ,则 ,
则 ,
故 ，
则 ,
又 ,所以直线 与 所成的角为 ,故 A 正确;
对于 ,又 ,
则 ,
又 ,则直线 与 所成的角不为 ,故 B 错误;
对于 ,易得平面 的一个法向量为 ,
所以 与平面 所成角的正弦值为 ,故 C 正确;
对于 ,取 的中点 ,连接 ,
因为 面 面 ,所以 ,
又 是正三角形, 是 的中点,故 ,
因为 面 ,所以 面 ,
易得 的坐标为 ,
所以侧面 的一个法向量为 ，
所以 与侧面 所成角的正弦值为 ,故 正确.
故选: ACD.
11. BCD
A 项, 时, ,
时,
时, ,所以, 不是等差数列;
B 项，由已知可得， ，又
所以, . 所以, 有最大值;
项，由已知可得，偶数项和为 90，奇数项和为 80，两者作差为 ，所以 ； 项,设三点分别为 ,则 ,
则 ,所以三点共线.
故选: BCD.
12. 3
因为 ,又 为正项等比数列,
所以 ,
又 ,故 ,
则 .
13.
由已知可得, ,解得 .
故答案为: .
14. 3
如图所示,设双曲线的标准方程为 ,
因为最小直径为 ,可得 ,即 ,
又因为尊高 63cm，上口直径为 40cm，底部直径为 26cm，
设点 ,
所以 且 ,解得 ,即 ,
可得双曲线的渐近线为 ,
所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为 3 .
故答案为: 3 .
15. (1) ;
(2) ;
(3) .
(1) 法一: 由两点式写方程得 ,即 ;
法二: 直线 的斜率为 ,
直线 的方程为 ,即 ;
(2)设 的坐标为 ，则由中点坐标公式可得 ，故 ， 所以 ;
(3)直线 的斜率为 ，
所以由垂直关系可得 边高线的斜率为 , 故 边的高所在直线方程为 ,化为一般式可得: .
16. (2) (3) .
(1)由题知
(2)因为 分别为棱 的中点，所以 ，
所以: .
(3)易知向量
在向量 上的投影向量为
,
所以向量 在向量 上的投影向量的坐标为 .
17.
(2)
(1)因为 ,
所以 ,
当 时， 满足上式，
所以 ;
(2)因为 ，
所以 ,
所以 .
18.(1)如图,连接 . 因为侧面 为菱形,且 ,
所以 为等边三角形,所以 .
又因为平面 平面 ,
平面 ,
平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)
由(1)的过程可知,可以点 为坐标原点,
分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 - .
不妨设 ,由题可知 .
由 ,可得 .
设平面 的法向量为 ,
而 ,则有 ,
取 ,得 .
设平面 的法向量为 ,
而 ,
则有 ,
取 ,得 .
设平面 与平面 夹角为 ,
则 ,
所以 ,
即平面 与平面 夹角的正弦值为 .
19.
(2)
(1) 设 的半焦距为 ,
由题意可知: ,即 ,由上顶点 的坐标为 可知 ,
因为 ,即 ,解得 ,
所以椭圆 的方程为 .
(2)设 ，由题意可知 ，
则 ,
因为 ,则 ,可得 ,
又因为 在椭圆 上,即 ,
可得 ,化简得 ,
所以点 的轨迹方程为 .