黑龙江省绥化市2025_2026学年度第二学期高二入学检测数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省绥化市2025_2026学年度第二学期高二入学检测数学试题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 275.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-12 00:00:00 | ||
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文档简介
2025~2026 学年度第二学期高二入学检测 数学试题
考试时间:120 分钟 满分:150 分
注意事项:
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂; 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹签字笔书写, 字体工整、笔迹清晰.
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试卷上答题无效.
4. 作图可先使用铅笔画出, 确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5. 保持卡面清洁, 不要折叠, 不要弄破、弄皱, 不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀.
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项 中, 有且只有一项符合题目要求.
1. 一组样本数据10,12,12,18,19,22,31,35,41,50的 75% 分位数是( )
A. 31 B. 33 C. 34 D. 35
2. 已知 ,则满足方程 的解 的个数为 ( )
A. 27 B. 54 C. 108 D. 216
3. 某公司生产的糖果每包的标识质量是 500 克, 但公司承认实际质量存在误差. 已知每包糖果的实际质量服从正态分布 ,且任意一包的糖果质量介于 495 克到 505 克之间的可能性为95.4%，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过 495 克的可能性约为 ( )
A. 2.3% B. 4.6% C. 95.4% D. 97.7%
4. 直线 ，若 ，则 的值为( )
A. 1或-2 B. -2 C. 1 D. 2
5. 在二项式 的展开式中,含 项的二项式系数为( )
A. 5 B. -5 C. 10 D. -10
6. 甲、乙两人进行一场游戏比赛, 其规则如下: 每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子, 比较两者的点数大小，其中点数大的得 3 分，点数小的得 0 分，点数相同时各得 1 分。经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得 3 分的条件下，乙也至少有一轮比赛得 3 分的概率为 ( )
A. B. C. D.
7. 从 ,中选三个不同的数 ,且满足 的数组 的对数为( )
A. 120 B. 210 C. 420 D. 105
8. 已知点 到直线 的距离与到 轴的距离相等,则
A. 1 或-4 B. -1 或 4 C. -7 或 3 D. -3 或 7
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 午子山景区，又称“午子山风景名胜区”，简称“午子山”，亦名“武子山”或“母子山”，是国家 AAAA 级旅游景区, 位于陕西省汉中市西乡县堰口镇堰口社区, 总面积约 27 平方千米, 始建于西汉. 午子山景区是集自然山水风光、珍稀植物、茶园、果园、田园风光、堰上古镇、 宗教文化活动等于一体的旅游风景名胜区，为道教活动圣地和陕南道教活动中心，素有“汉南胜景区、陕南小华山、陕南小武当”之美称，是观光旅游、宗教朝拜的圣地. 为更好地提升旅游品质，午子山景区的工作人员随机选择 100 名游客对景区进行满意度评分，根据评分， 制成如图所示的频率分布直方图. 判断下列说法正确的是( )
A.
B. 工作人员所选取的 100 人中在 [80, 90) 的人数为 3 人
C. 工作人员采用按分层抽样的方法从评分在 的两组中共抽取 6 人，则在 中抽取 2 人，在 中抽取 4 人
D. 按分层抽样的方法从评分在 的两组中抽取的 6 人中再抽两人,则选取的 2 人评分分别在 和 内各 1 人的概率为
10. 设 为两个事件,且 ,下列说法正确的有( )
A. 若 互斥,则 B. 若 互斥,则
C. 若 独立,则 D. 若 独立,则
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 为 的右支上任意一点,点 ，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 双曲线 的渐近线方程为
C. 过点 且与双曲线 只有一个公共点的直线有 1 条
D. 的最小值为
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ,则 _____.
13. 已知书架的第一层随机摆放了 1 本语文书, 2 本不同的数学书, 3 本不同的英语书.现从中抽取 2 本书, 则在已经确定第一本抽取的是语文书的条件下, 第二本抽取的是数学书的概率为_____.
14. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 3 次，观察向上的点数，则点数之差的最大值为 4 的概率是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 某机构为了调查平衡力的好坏与心脏病风险是否有关联(无法单脚站立 10 秒者，被认为平衡力差, 反之, 被认为平衡力好), 随机邀请了 1000 名平衡力好和 1000 名平衡力差的人作为研究对象, 在跟踪了这 2000 人在 10 年内的健康情况后, 统计数据, 得到受试者中患心脏病的频率为 12.5%，平衡力差的人中患心脏病的频率是平衡力好的人中患心脏病的频率的 1.5 倍.
(1)根据题中信息，完成下面列联表；
单位:人
平衡力 心脏病 合计
未患心脏病 患心脏病
平衡力好
平衡力差
合计
(2)根据小概率值 的独立性检验，能否推断平衡力的好坏与心脏病风险有关联？ 附: .
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
16. 已知圆 ,过 作直线 圆 交于点 .
(1)求证: 是定值；
(2)若点 . 求 的值.
17. 六盘水红心猕猴桃因富含维生素C受K、Ca、Mg等多种矿物质和 18 种氨基酸, 被誉为“维 C 之王”. 某果农通过不断学习猕猴桃先进种植技术,2017 年至 2023 年的年利润 与年份代号 的统计数据如下表 (已知该果农的年利润与年份代号之间呈线性相关关系).
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代号 1 2 3 4 5 6 7
年利润 (单位:千元) 29 33 36 44 48 52 59
(1)求 关于 的线性回归方程，并预测该果农 2024 年的年利润;
(2)当某年利润的实际值大于该年利润的估计值时，该年为甲级利润年，否则为乙级利润年. 现从 2019 年至 2023 年这 5 年中随机抽取 3 年, 求恰有 1 年为甲级利润年的概率.
参考公式: 回归方程 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
,并计算得: ,
18. 为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从同一年 两地区的空气质量指数(AQI)数据中随机抽取相同 20 天的观测数据,形成 20 个有序数对 分别为同一天 两地的空气质量指数),如下图所示:
根据空气质量指数, 将空气质量状况分为以下三个等级:
空气质量指数 AQI (0,100) [100, 200) [200, 300)
空气质量状况 优良 轻中度污染 重度污染
(1)任取此年中的一天，试估计 地区在这一天空气质量等级为“优良”的概率；
(2)任取此年中的三天，用样本的频率估计总体的概率，设 表示这三天中 地区空气质量等级为“优良”的天数. 求 的分布列及数学期望;
(3)从抽取的 20 天中随机抽取 3 天，求其中至少有一天两地空气质量等级均为“优良”的概率.
19. 在平面直角坐标系 中,已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上第一象限的点,且 到 的距离比 到直线 的距离小 1,直线 与 交于 两点.
(1)求抛物线 的方程；
(2)证明以 为直径的圆过一个定点，并求出定点坐标；
(3)若 ，证明: .
1. D
依题意, 该组样本数据已经按照从小到大的顺序进行排列, 且该组样本共 10 个数据， ，
算得小数, 向下取整, 因此取第 8 个数作为 75% 分位数, 即 75% 分位数为 35 .
故选: D.
2. B
由题设,得 ,
又 ,其中2,3,337都为质数,
所以 ,
因为 ,所以 可能为 ,
所以 的取值个数为 ,
方程 的整数解 的个数为 54 .
故选: B.
3. D
设 1 包糖果的质量为 ,则 ,
所以 ,
又 ,
所以 .
故选: D
4. B
由已知 ,
则 ,
解得 或 ,
当 时， ， ， 与 重合，不成立；
当 时， ， ， ，成立；
综上所述 ,
故选: B.
5. A
解: 由题设, ,
当 时, .
含 项的二项式系数 .
故选: A.
6. B
用 分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果,
因为甲、乙两人每次投掷均有 6 种结果,则在一轮游戏中,其包含 个等可能的基本事件.
其中,甲得 3 分,即 包含的基本事件有
,共 15 个,概率为 .
同理可得,甲每轮得 0 分的概率也是 ,得 1 分的概率为 .
所以每一轮甲得分低于 3 分的概率为 .
设事件 表示甲至少有一轮比赛得 3 分,事件 表示乙至少有一轮比赛得 3 分,则事件 表示经过三轮比赛, 甲没有比赛得分为 3 分.
则 .
事件 可分三类情形:
①甲有两轮得 3 分，一轮得 0 分，概率为 ;
②甲有一轮得 3 分，两轮得 0 分，概率为 ;
③甲有一轮得 3 分，一轮得 0 分，一轮得 1 分，概率为 .
所以 ,
所以 .
故选: B.
7. C
由 ,知 必须同奇或同偶,
若 都为奇数,则有 种选法;
若 都为偶数,则有 种选法;
由分类加法计数原理知,满足题意的数对共有 种.
故选: C.
8. D
由题可知 ,解得 或 7 .
故选: D.
9. ACD
解: 根据题意可得 ,解得 ,所以
选项正确;
因为 的频率为 0.3,所以工作人员所选取的 100 人中在 的人数为 30 人，所以 B 选项错误;
因为 的两组的频率之比为 ,
所以工作人员采用按分层抽样的方法从评分在 的两组中共抽取 6 人，则在 中抽取 2 人，在 中抽取 4 人，所以 C 选项正确；
因为在 中抽取 2 人，在 中抽取 4 人，
所以再抽从这 6 人中抽 2 人，则选取的 2 人评分分别在 和 内各 1 人的概率为 ,所以 D 选项正确.
10. BCD
对于 ,若 互斥,则 , 错误;
对于 ,若 互斥,则 正确;
对于 ,若 独立,则 正确;
对于 ,若 独立,则 , D 正确, 故选: BCD
11. ABD
由双曲线 的方程可知: ,且焦点在 轴上,
则 ,双曲线的渐近线方程为 ,故 B 正确;
对于选项 A:由双曲线的定义可得 ，故 A 正确；
对于选项 C:当过 的直线与双曲线相切时，有两条直线与双曲线只有一个公共点；
当过 的直线与渐近线平行时,也有两条直线与双曲线只有一个公共点,
所以过 点且与双曲线只有一个公共点的直线有 4 条,故 错误;
对于选项 D:由选项 A 可得: ，
因为 在双曲线的渐近线 上方,
则 ,
当且仅当 三点共线时,取得等号,故 正确.
故选: ABD.
12.
因为 ,所以 ,所以 ,所以 , 又 ,所以 .
故答案为:
13.
依题意, 抽取第二本书有 5 个不同结果, 第二本抽取的是数学书有 2 个结果, 所以所求概率为 .
故答案为:
14.
解: 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 3 次共有 种情况,
若点数之差的最大值为 4 ，则最大点数为 5 ，最小点数为 1 ，
或者最大点数为 6 , 最小值为 2 , 当最大点数为 5 、最小点数为 1 时,
若另一个点数为 1 , 则有 3 种情况, 若另一个点数为 5 , 则有 3 种情况,
若另一个点数为 2,3,4,则有 种情况,
最大点数为 5 、最小点为数为 1 时,共有 种.
当最大数为 6 , 最小点数为 2 时,若另一个点数为 2 , 则有 3 种情况,
若另一个点数为 6,则有 3 种情况,若另一个点数为3,4,5,则有 种情况,
最大点数为 6 、最小点数为 2 时,共有 种,
综上,点数之差的最大值为 4 的概率为: .
15.(1)列联表如下.
单位:人
平衡力 心脏病 合计
未患心脏病 患心脏病
平衡力好 900 100 1000
平衡力差 850 150 1000
合计 1750 250 2000
(2)零假设为 : 平衡力的好坏与心脏病风险没有关联.
根据列联表中的数据,经计算得到 . 根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,即认为平衡力的好坏与心脏病风险有关联.
16. (1) 若直线 的斜率不存在,则 ,
则 ,所以 ;
若直线 的斜率存在,设 ,
,消去 ,得 ,
,又 ,
所以 .
综上, 为定值 -12 .
(2)易知直线 的斜率存在，由(1)知 ，
所以 ,得 ,
由 ,得 ,
所以 .
17. (1) ; 63 千元
(2)
(1) 根据表中的数列,计算可得 ,
所以 ,故 ,
所以 关于 的线性回归方程为 ,
当 时, (千元),
所以该果农 2024 年的年利润预测值为 63 千元.
(2)由(1)可知 2019 年至 2023 年的年利润的估计值分别为 38, 43, 48, 53, 58(单位: 千元)，
其中实际利润大于相应的估计值的有 2 年,
故这 5 年中甲级利润年的有 2 年, 乙级利润年的有 3 年,
所以从 2019 年至 2023 年这 5 年中随机抽取 3 年，恰有 1 年为甲级利润年的概率为
18. (1)从 地区选出的 20 天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为 ,
估计 地区当年(365 天)的空气质量状况“优良”的概率为 0.75 .
(2)由题意， ，
,
所以 的分布列为
0 1 2 3
1 64 9 64 27 64 27 64
.
(3)由图知，在抽取的 20 天中，两地空气质量等级均为“优良”的有 13 天，
至少有一天两地空气质量等级均为 “优良”的对立事件是 3 天没有任何一天两地空气质量等级均为“优良”，
所以从抽取的 20 天中随机抽取 3 天, 至少有一天两地空气质量等级均为 “优良” 的概率
所以至少有一天两地空气质量等级均为 “优良” 的概率为 .
19.( 1 )由题意， 到 的距离与 到直线 的距离相等，
所以准线 ,即 ,解得 ,
所以抛物线 的方程为 .
(2)证明:联立 ，可得 ， ，
设 ,则 ,
以 为直径的圆的方程为 ,
且 ,
则 ,
代入圆方程得 ,该圆方程过原点,坐标为 .
(3)证明:由对称性不妨设 在第一象限，则有 ， .
则 ,所以 ,即 ,
延长 交 轴于点 ,连接 ,
由 ,可知 ,
又因为 ,则可得 ,
所以 四点共圆,且 为直径,所以 ,
直线 的方程为 ,令 ,则 .
由 ,得 ,即 ,
且 ,化简可得 ,且 ,
即可得 ,解得 ,故 , 则 ， ，
所以 ,又 ,
所以 .
考试时间:120 分钟 满分:150 分
注意事项:
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂; 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹签字笔书写, 字体工整、笔迹清晰.
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试卷上答题无效.
4. 作图可先使用铅笔画出, 确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5. 保持卡面清洁, 不要折叠, 不要弄破、弄皱, 不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀.
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项 中, 有且只有一项符合题目要求.
1. 一组样本数据10,12,12,18,19,22,31,35,41,50的 75% 分位数是( )
A. 31 B. 33 C. 34 D. 35
2. 已知 ,则满足方程 的解 的个数为 ( )
A. 27 B. 54 C. 108 D. 216
3. 某公司生产的糖果每包的标识质量是 500 克, 但公司承认实际质量存在误差. 已知每包糖果的实际质量服从正态分布 ,且任意一包的糖果质量介于 495 克到 505 克之间的可能性为95.4%，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过 495 克的可能性约为 ( )
A. 2.3% B. 4.6% C. 95.4% D. 97.7%
4. 直线 ，若 ，则 的值为( )
A. 1或-2 B. -2 C. 1 D. 2
5. 在二项式 的展开式中,含 项的二项式系数为( )
A. 5 B. -5 C. 10 D. -10
6. 甲、乙两人进行一场游戏比赛, 其规则如下: 每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子, 比较两者的点数大小，其中点数大的得 3 分，点数小的得 0 分，点数相同时各得 1 分。经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得 3 分的条件下，乙也至少有一轮比赛得 3 分的概率为 ( )
A. B. C. D.
7. 从 ,中选三个不同的数 ,且满足 的数组 的对数为( )
A. 120 B. 210 C. 420 D. 105
8. 已知点 到直线 的距离与到 轴的距离相等,则
A. 1 或-4 B. -1 或 4 C. -7 或 3 D. -3 或 7
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 午子山景区，又称“午子山风景名胜区”，简称“午子山”，亦名“武子山”或“母子山”，是国家 AAAA 级旅游景区, 位于陕西省汉中市西乡县堰口镇堰口社区, 总面积约 27 平方千米, 始建于西汉. 午子山景区是集自然山水风光、珍稀植物、茶园、果园、田园风光、堰上古镇、 宗教文化活动等于一体的旅游风景名胜区，为道教活动圣地和陕南道教活动中心，素有“汉南胜景区、陕南小华山、陕南小武当”之美称，是观光旅游、宗教朝拜的圣地. 为更好地提升旅游品质，午子山景区的工作人员随机选择 100 名游客对景区进行满意度评分，根据评分， 制成如图所示的频率分布直方图. 判断下列说法正确的是( )
A.
B. 工作人员所选取的 100 人中在 [80, 90) 的人数为 3 人
C. 工作人员采用按分层抽样的方法从评分在 的两组中共抽取 6 人，则在 中抽取 2 人，在 中抽取 4 人
D. 按分层抽样的方法从评分在 的两组中抽取的 6 人中再抽两人,则选取的 2 人评分分别在 和 内各 1 人的概率为
10. 设 为两个事件,且 ,下列说法正确的有( )
A. 若 互斥,则 B. 若 互斥,则
C. 若 独立,则 D. 若 独立,则
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 为 的右支上任意一点,点 ，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 双曲线 的渐近线方程为
C. 过点 且与双曲线 只有一个公共点的直线有 1 条
D. 的最小值为
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ,则 _____.
13. 已知书架的第一层随机摆放了 1 本语文书, 2 本不同的数学书, 3 本不同的英语书.现从中抽取 2 本书, 则在已经确定第一本抽取的是语文书的条件下, 第二本抽取的是数学书的概率为_____.
14. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 3 次，观察向上的点数，则点数之差的最大值为 4 的概率是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 某机构为了调查平衡力的好坏与心脏病风险是否有关联(无法单脚站立 10 秒者，被认为平衡力差, 反之, 被认为平衡力好), 随机邀请了 1000 名平衡力好和 1000 名平衡力差的人作为研究对象, 在跟踪了这 2000 人在 10 年内的健康情况后, 统计数据, 得到受试者中患心脏病的频率为 12.5%，平衡力差的人中患心脏病的频率是平衡力好的人中患心脏病的频率的 1.5 倍.
(1)根据题中信息，完成下面列联表；
单位:人
平衡力 心脏病 合计
未患心脏病 患心脏病
平衡力好
平衡力差
合计
(2)根据小概率值 的独立性检验，能否推断平衡力的好坏与心脏病风险有关联？ 附: .
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
16. 已知圆 ,过 作直线 圆 交于点 .
(1)求证: 是定值；
(2)若点 . 求 的值.
17. 六盘水红心猕猴桃因富含维生素C受K、Ca、Mg等多种矿物质和 18 种氨基酸, 被誉为“维 C 之王”. 某果农通过不断学习猕猴桃先进种植技术,2017 年至 2023 年的年利润 与年份代号 的统计数据如下表 (已知该果农的年利润与年份代号之间呈线性相关关系).
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代号 1 2 3 4 5 6 7
年利润 (单位:千元) 29 33 36 44 48 52 59
(1)求 关于 的线性回归方程，并预测该果农 2024 年的年利润;
(2)当某年利润的实际值大于该年利润的估计值时，该年为甲级利润年，否则为乙级利润年. 现从 2019 年至 2023 年这 5 年中随机抽取 3 年, 求恰有 1 年为甲级利润年的概率.
参考公式: 回归方程 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
,并计算得: ,
18. 为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从同一年 两地区的空气质量指数(AQI)数据中随机抽取相同 20 天的观测数据,形成 20 个有序数对 分别为同一天 两地的空气质量指数),如下图所示:
根据空气质量指数, 将空气质量状况分为以下三个等级:
空气质量指数 AQI (0,100) [100, 200) [200, 300)
空气质量状况 优良 轻中度污染 重度污染
(1)任取此年中的一天，试估计 地区在这一天空气质量等级为“优良”的概率；
(2)任取此年中的三天，用样本的频率估计总体的概率，设 表示这三天中 地区空气质量等级为“优良”的天数. 求 的分布列及数学期望;
(3)从抽取的 20 天中随机抽取 3 天，求其中至少有一天两地空气质量等级均为“优良”的概率.
19. 在平面直角坐标系 中,已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上第一象限的点,且 到 的距离比 到直线 的距离小 1,直线 与 交于 两点.
(1)求抛物线 的方程；
(2)证明以 为直径的圆过一个定点，并求出定点坐标；
(3)若 ，证明: .
1. D
依题意, 该组样本数据已经按照从小到大的顺序进行排列, 且该组样本共 10 个数据， ，
算得小数, 向下取整, 因此取第 8 个数作为 75% 分位数, 即 75% 分位数为 35 .
故选: D.
2. B
由题设,得 ,
又 ,其中2,3,337都为质数,
所以 ,
因为 ,所以 可能为 ,
所以 的取值个数为 ,
方程 的整数解 的个数为 54 .
故选: B.
3. D
设 1 包糖果的质量为 ,则 ,
所以 ,
又 ,
所以 .
故选: D
4. B
由已知 ,
则 ,
解得 或 ,
当 时， ， ， 与 重合，不成立；
当 时， ， ， ，成立；
综上所述 ,
故选: B.
5. A
解: 由题设, ,
当 时, .
含 项的二项式系数 .
故选: A.
6. B
用 分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果,
因为甲、乙两人每次投掷均有 6 种结果,则在一轮游戏中,其包含 个等可能的基本事件.
其中,甲得 3 分,即 包含的基本事件有
,共 15 个,概率为 .
同理可得,甲每轮得 0 分的概率也是 ,得 1 分的概率为 .
所以每一轮甲得分低于 3 分的概率为 .
设事件 表示甲至少有一轮比赛得 3 分,事件 表示乙至少有一轮比赛得 3 分,则事件 表示经过三轮比赛, 甲没有比赛得分为 3 分.
则 .
事件 可分三类情形:
①甲有两轮得 3 分，一轮得 0 分，概率为 ;
②甲有一轮得 3 分，两轮得 0 分，概率为 ;
③甲有一轮得 3 分，一轮得 0 分，一轮得 1 分，概率为 .
所以 ,
所以 .
故选: B.
7. C
由 ,知 必须同奇或同偶,
若 都为奇数,则有 种选法;
若 都为偶数,则有 种选法;
由分类加法计数原理知,满足题意的数对共有 种.
故选: C.
8. D
由题可知 ,解得 或 7 .
故选: D.
9. ACD
解: 根据题意可得 ,解得 ,所以
选项正确;
因为 的频率为 0.3,所以工作人员所选取的 100 人中在 的人数为 30 人，所以 B 选项错误;
因为 的两组的频率之比为 ,
所以工作人员采用按分层抽样的方法从评分在 的两组中共抽取 6 人，则在 中抽取 2 人，在 中抽取 4 人，所以 C 选项正确；
因为在 中抽取 2 人，在 中抽取 4 人，
所以再抽从这 6 人中抽 2 人，则选取的 2 人评分分别在 和 内各 1 人的概率为 ,所以 D 选项正确.
10. BCD
对于 ,若 互斥,则 , 错误;
对于 ,若 互斥,则 正确;
对于 ,若 独立,则 正确;
对于 ,若 独立,则 , D 正确, 故选: BCD
11. ABD
由双曲线 的方程可知: ,且焦点在 轴上,
则 ,双曲线的渐近线方程为 ,故 B 正确;
对于选项 A:由双曲线的定义可得 ，故 A 正确；
对于选项 C:当过 的直线与双曲线相切时，有两条直线与双曲线只有一个公共点；
当过 的直线与渐近线平行时,也有两条直线与双曲线只有一个公共点,
所以过 点且与双曲线只有一个公共点的直线有 4 条,故 错误;
对于选项 D:由选项 A 可得: ，
因为 在双曲线的渐近线 上方,
则 ,
当且仅当 三点共线时,取得等号,故 正确.
故选: ABD.
12.
因为 ,所以 ,所以 ,所以 , 又 ,所以 .
故答案为:
13.
依题意, 抽取第二本书有 5 个不同结果, 第二本抽取的是数学书有 2 个结果, 所以所求概率为 .
故答案为:
14.
解: 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 3 次共有 种情况,
若点数之差的最大值为 4 ，则最大点数为 5 ，最小点数为 1 ，
或者最大点数为 6 , 最小值为 2 , 当最大点数为 5 、最小点数为 1 时,
若另一个点数为 1 , 则有 3 种情况, 若另一个点数为 5 , 则有 3 种情况,
若另一个点数为 2,3,4,则有 种情况,
最大点数为 5 、最小点为数为 1 时,共有 种.
当最大数为 6 , 最小点数为 2 时,若另一个点数为 2 , 则有 3 种情况,
若另一个点数为 6,则有 3 种情况,若另一个点数为3,4,5,则有 种情况,
最大点数为 6 、最小点数为 2 时,共有 种,
综上,点数之差的最大值为 4 的概率为: .
15.(1)列联表如下.
单位:人
平衡力 心脏病 合计
未患心脏病 患心脏病
平衡力好 900 100 1000
平衡力差 850 150 1000
合计 1750 250 2000
(2)零假设为 : 平衡力的好坏与心脏病风险没有关联.
根据列联表中的数据,经计算得到 . 根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,即认为平衡力的好坏与心脏病风险有关联.
16. (1) 若直线 的斜率不存在,则 ,
则 ,所以 ;
若直线 的斜率存在,设 ,
,消去 ,得 ,
,又 ,
所以 .
综上, 为定值 -12 .
(2)易知直线 的斜率存在，由(1)知 ，
所以 ,得 ,
由 ,得 ,
所以 .
17. (1) ; 63 千元
(2)
(1) 根据表中的数列,计算可得 ,
所以 ,故 ,
所以 关于 的线性回归方程为 ,
当 时, (千元),
所以该果农 2024 年的年利润预测值为 63 千元.
(2)由(1)可知 2019 年至 2023 年的年利润的估计值分别为 38, 43, 48, 53, 58(单位: 千元)，
其中实际利润大于相应的估计值的有 2 年,
故这 5 年中甲级利润年的有 2 年, 乙级利润年的有 3 年,
所以从 2019 年至 2023 年这 5 年中随机抽取 3 年，恰有 1 年为甲级利润年的概率为
18. (1)从 地区选出的 20 天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为 ,
估计 地区当年(365 天)的空气质量状况“优良”的概率为 0.75 .
(2)由题意， ，
,
所以 的分布列为
0 1 2 3
1 64 9 64 27 64 27 64
.
(3)由图知，在抽取的 20 天中，两地空气质量等级均为“优良”的有 13 天，
至少有一天两地空气质量等级均为 “优良”的对立事件是 3 天没有任何一天两地空气质量等级均为“优良”，
所以从抽取的 20 天中随机抽取 3 天, 至少有一天两地空气质量等级均为 “优良” 的概率
所以至少有一天两地空气质量等级均为 “优良” 的概率为 .
19.( 1 )由题意， 到 的距离与 到直线 的距离相等，
所以准线 ,即 ,解得 ,
所以抛物线 的方程为 .
(2)证明:联立 ，可得 ， ，
设 ,则 ,
以 为直径的圆的方程为 ,
且 ,
则 ,
代入圆方程得 ,该圆方程过原点,坐标为 .
(3)证明:由对称性不妨设 在第一象限，则有 ， .
则 ,所以 ,即 ,
延长 交 轴于点 ,连接 ,
由 ,可知 ,
又因为 ,则可得 ,
所以 四点共圆,且 为直径,所以 ,
直线 的方程为 ,令 ,则 .
由 ,得 ,即 ,
且 ,化简可得 ,且 ,
即可得 ,解得 ,故 , 则 ， ，
所以 ,又 ,
所以 .
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