黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）

2025-2026 学年度高二下学期开学考试 数学试题
考试时间:120 分钟；满分 150 分
注意事项:
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ( 为虚数单位),则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知双曲线 的焦距与其虚轴长之比为3 :2,则 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
4. 已知单位向量 与 的夹角为 ,则 ( )
A. 1 B.
C. 2 D.
5. 已知 在 上是周期为 4 的奇函数,当 时, ,则 等于 ( )
A. -2 B. 2 C. -98 D. 98
6. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 设抛物线 的焦点为 ,过点 作直线 交抛物线于 两点,已知 , 则 ( )
A. B. C. D. 3
8. 已知点 在圆 上,点 在直线 上,点 为 中点, 若 ，则 的最小值为( )
A. 1 B. C. 2 D. 3
二、多选题
9. 已知 ,且 ,则()
A. B. C. D.
10. 等差数列 的前 项和为 ,已知 ,则下列选项中正确的是 ( )
A. B. 等差数列 的公差
C. 使 成立的 最小为 10 D. 当 时, 取得最小值
11. 已知向量 ，则())
A. B.
C. 向量 在向量 上的投影向量是 D. 是向量 的单位向量
三、填空题
12. 已知等比数列的首项为 -1,前 项和为 ,若 ,则 的值为_____.
13. 已知 是一个随机试验中的两个事件,且 , 则 _____.
14. 2024 年 8 月 20 日国产第一款 3A 游戏《黑神话:悟空》上线，首日销量超 450 万份， 总销售额超过 15 亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图 1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥,如图 2,已知正六棱锥的高为 ,其侧面与底面夹角为 ,则六棱锥的体积为_____.
图1
图2
四、解答题
15. 已知数列 是公差不为 0 的等差数列,若 ,且 成等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ；
16. 如图,已知 均是边长为 2 的等边三角形，且平面 平面 ， 为 的中点,且 .
(1)证明: ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的大小.
17. 在 中，角 的对边分别是 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ,且 ,求 的面积.
18. 已知数列 的前 项和为 ， ，当 时，
(1)证明数列 为等差数列，并求 ；
(2)求数列 的前 项和为 .
19. 已知曲线 到两个定点 和 的距离和为定值 4 .
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 (斜率存在且不为 0 )与 交于 两点， 关于 轴的对称点为 . 已知 .
(i) 证明: 三点共线;
(ii) 求 的取值范围.
1. D
集合 ,则 ,
所以 .
故选: D
2. D
解: 因为复数 满足 ( 为虚数单位),所以
故选: D.
3. C
由题意可知, ,则 ,设 ,则 ,
所以 ,故 的离心率为 .
故选: C.
4. B
.
故选: B.
5. A
因为 是 4 为周期的周期函数
所以 ,
因为 在 上是奇函数,则 ,
又因为当 时, ,则
故选: A.
6. B
因为 ,
则 ,即 ,
所以 ,
则 .
故选: B.
7. B
由题可得 ,
设直线 的方程为 ,
,可得 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
,
故选: B.
8. A
由题意可得圆的标准方程为 ,
设圆心为 ,半径为 ,则 ,
所以由垂径定理可得 ,故点 在以 为圆心,1 为半径的圆上,
因为点 到直线 的距离 ,
所以 的最小值为 ,
故选: A
9. BCD
选项 A: 取 ,则 ,故 , A 错误.
选项 B: ,由 得 ,故 ,
当且仅当 时取等号, 正确.
选项 C: ,由 得 ,
当且仅当 时取等号, 正确.
选项 D: ,由 得 ,
当且仅当 时取等号, 正确.
故选: BCD
10.
对于 选项,因数列 为等差数列, ,则 ,且 , 则 ,所以 , A 错误;
对于 选项，由 知 ，则 ，则 ，
则公差 , B 正确;
对于 选项,由 ,得 或 ,因为 为正整数,所以 最小值为 正确;
对于 选项，因为 为正整数，所以 错误.
故选: BC.
11. AD
解: 对于 ,则 ,
所以 ,故 正确;
对于 ,则 ,故 错误;
对于 ,向量 在向量 上的投影向量为 ,
故 C 错误;
对于 ,因为向量 的模等于 1,
,所以向量 与向量 共线,故 是向量 的单位向量, 故 D 正确.
故选: AD.
12.
当 时, ,所以 .
当 时, ,所以 .
故答案为:
13.
因为 ,
解得 .
故答案为: 0.4 .
14.
正六棱锥 ,如图所示, 为底面中心,
取 的中点 ,连接 ,因为 为正六棱锥,
所以 ,
所以 为侧面 与底面 的夹角,所以 ,
又 底面 底面 ,所以 ,
所以 ，又底面 为正六边形，所以 为等边三角形，
所以 ，则 ，
所以 ,
所以 ,
所以六棱锥的体积为 .
故答案为:
15.
(2) .
(1)设等差数列 的公差为 ，
因为 成等比数列,
所以 .
即 ,
即 ,又 ,且 ,解得
所以 .
(2)由(1)知: ，
则 ,
即 .
16.(1) 连接 ,
均为正三角形, 为 的中点, ,
平面 平面 ,
平面 ,
平面 平面 ,
平面 .
(2):平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ,
平面 平面 ,
故以 为原点, 分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系,
则 ,
,且 平面 平面 平面 ,
由 平面 ,则 ,又 ,
平面 平面 ,
设平面 的法向量为 ,则
令 得 是平面 的一个法向量,
显然平面 的一个法向量为 ,
故所求角为 .
17.
(2)
(1)由 ，
根据正弦定理可得 ,
即 ,
即 ,
所以 ,又 ,则 .
(2)由 ，可得 ， ，
因为 ,所以 ①，
因为 ,所以 ②,
联立①②可得 ，解得 .
故 的面积为 .
18. (1) 解: 当 时,由 ,得 ,
所以数列 是以 为首项,1为公差的等差数列. 所以 ,即 .
(2)解:由(1)知 ，
所以 ,①
所以 ,②
①-②得
,
所以 .
19.(1) 因为 ,由椭圆定义可知,曲线 为以 和 为两焦点的椭圆, 其中 ,解得 ,故 的方程为 ;
(2)(i)依题意可设直线 的方程为 .
联立 得 ,
由韦达定理得 ,
则直线 的方程为 ,
即 ,
其中
则直线 的方程为 ,
故直线 过定点 ，即 三点共线；
(ii) ,
,
因为 ,所以 ,
所以 的取值范围为 .