黑龙江省绥化市青冈县哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025-2026学年高二下学期开学初考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省绥化市青冈县哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025-2026学年高二下学期开学初考试数学试题（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 256.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-12 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
哈师大青冈实验中学 2025-2026 学年度学期初考试 高二数学试题
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求)
1. 经过点 ,倾斜角为 的直线方程为( )
A. B.
C. D.
2. 设 存在导函数且满足 ,则曲线 上的点 处的切线的斜率为( )
A. -1 B. -3 C. 1 D.
3. 各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ,且 成等差数列,若 ,则 ( )
A. 或 15 B. 15
C. 或 -15 D.
4. 已知 ，点 在平面 内，则 的值为( )
A. -4 B. 1 C. 10 D. 11
5. 已知圆 与圆 相交所得的公共弦长为 , 则圆 的半径 ( )
A. 1 B. C. 或 1 D.
6. 设数列 的前 项之积为 ,满足 ,则 ( )
A. B. 4049
C. D.
7. 已知 为非零常数，函数 ，则 ( )
A. -2 B. 0 C. 2 D. 4
8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有 1000 多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为 的圆，圆心到伞柄底端距离为 ，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时，北京的阳光与地面夹角为 )，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、选择题(本题共小 3 题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得部分)
9. 若方程 所表示的曲线为 ,下列说法正确的是 ( )
A. 苦 为椭圆,则 B. 若 为双曲线,则 或
C. 曲线 可能是圆 D. 若 为焦点在 轴上的椭圆,则
10. 下列结论正确的是( )
A. 若 三点共线,则 的值为 0
B. 经过点 ,且在两坐标轴上的截距相反的直线方程为
C. 已知两点 ,过点 的直线 与线段 有公共点,则 的斜率 的取值范围为
D. 经过直线 和直线 的交点,且和原点相距为 1 的直线一共有三条
11. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,则下列结论中正确的是( )
A.
B. 是等比数列
C.
D. 是递增数列
三、填空题(共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 如图，在棱长为 2 的正四面体 中， 分别为棱 的中点，则 _____.
13. 已知 ,直线 与 相交于 点, 是抛物线 上一点,则 的最小值为_____.
14. 已知函数 ,存在直线过点 与曲线 和 都相切,则 _____.
四，解答题(本题共 5 个小题，其中 15 小题 13 分，16.17 小题每题 15 分，18.19 小题每题 17 分, 共 77 分, 解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤.)
15. 已知曲线 .
(1)求曲线过点 的切线方程；
(2)求满足斜率为 的曲线的切线方程.
16. 在平面直角坐标系 中,已知圆 上存在两点关于直线 对称.
(1)求 的半径；
(2)过坐标原点 的直线 被 截得的弦长为 2，求 的方程.
17. 如图,在四棱锥 中, 平面 为等边三角形, , ，平面 交平面 直线 分别为棱 的中点.
(1)求证: ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
(3)在棱 上是否存在点 ,使得 平面 若存在,求 的值,若不存在,说明理由.
18. 已知数列 的前 项和为 且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2) 设 ,求数列 的前 项和 .
19. 已知点 在双曲线 上,直线
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)当 且 时，直线 与双曲线 分别交于 两点， 关于 轴的对称点为 . 证明: 直线 过定点;
(3)当 时，直线 与双曲线 有唯一的公共点 ，过点 且与 垂直的直线分别交 轴， 轴于 ， 两点. 当点 运动时，求点 的轨迹方程.
1. A
由于倾斜角为 ,所以 ,
所以直线方程为: ,
整理得: ,
故选: A
2. D
解: 因为 , 所以 ,
故选: D
3. B
设等比数列 的公比为 ,由数列 为正项数列,则 ,
由 为等差数列,则 ,即 ,即 ,
解得 或 (舍去),又 ,所以 .
故选: B
4. D
: 点 在平面 内, 存在实数 ,使得等式 成立,
,
,
,解得 .
故选: D
5. C
两圆相减得公共弦方程为: ,
根据题意可知,圆 的圆心到公共弦的距离 ,
解得: 或 ,
当 时,圆 的标准方程为: ,
当 时,圆 的标准方程为: ,
所以 或 .
故选:
6.
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,所以 是公差为 2 的等差数列,
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
故选: C.
7. C
函数 ,
则 ,
故 .
故选: C.
8. A
如图,伞的伞沿与地面接触点 是椭圆长轴的一个端点,伞沿在地面上最远的投影点 是椭圆长轴的另一个端点,
对应的伞沿为 为伞的圆心, 为伞柄底端,即椭圆的左焦点,令椭圆的长半轴长为 ,半焦距为 ,
由 ,得 ,
在 中， ，则 ，
,
由正弦定理得， ，解得 ，则 ，
所以该椭圆的离心率 .
故选: A
9.
因为方程 ,即 所表示的曲线为 ,
对于 ,若 为椭圆,则 且 ,故 错误;
对于 ,若 为双曲线,则 或 ,故 正确;
对于 ,当 ,即 时,曲线 为圆,故 正确;
对于 ,若 为焦点在 轴上的椭圆,则 ,故 错误. 故选: BC.
10. AC
共线时,意味着直线 重合,此时 ,即 , 解得 , A 选项正确;
当直线经过原点和 时,方程为 ,在横纵坐标上截距都是 0,也互为相反数,符合题意, 答案不完整, 因此 B 选项错误;
如图， ， ，于是结合图形可知， 的取值范围为 ， C 选项正确;
先求得 和直线 的交点为 ,
当直线斜率不存在时, ,显然和原点距离是 1 ;
当斜率存在时,设 ,由原点到直线的距离是 ,
解得 ,即符合题意的直线有 ,共两条, 选项错误.
故选: AC
11. ACD
对于 ,由 得,
,所以 . A 正确;
对于 ,将 与 整体相减得, ,
所以 ,
又 ,即 ,
所以 .
因此 不是等比数列, B 错误;
对于 ,因为 ,
所以当 时, .
当 时， .
当 时, ,因此 , 正确;
对于 ,因为 ,
所以 ,
所以 ,
因此 是递增数列, 正确;
故选:ACD.
12.
依题意可得 ,
所以
故答案为:
13.
,
由 得: 恒过定点 ;
由 知: 恒过定点 ;
点轨迹是以 为圆心,半径 的圆 (不含点 );
设 ,
则当 ,即 时, .
故答案为: .
14.
设直线与曲线 相切于点 ,与曲线 相切于点 ,
由 ,则 ,则 ,则切线为 ,
又切线过点 ,所以 ,即 ,所以 ,
所以切线方程为 ,由 ,则 ,
则 ,解得 .
故答案为:
15. (1) .
(2) 或 .
(1)
又 不在曲线 上.
设过点 的切线的切点为 ,
则 ,即该切线的斜率为 .
因为点 在切线上,
所以 ,
解得 . 故切线的斜率 .
故曲线过点 的切线方程为 ,即 .
(2)设斜率为 的切线的切点为 ，
由(1)知， ，得 .
所以切点坐标为 或 .
故满足斜率为 的曲线的切线方程为
或 ,
即 或 .
16.
(2) 或
(1) 圆 ,即 ,
则圆心为 ,半径 ,
因为 上存在两点关于直线 对称,所以点 在直线 上,
所以 ,解得 ,
所以 的半径 ;
(2)由(1)可得 ，圆心为 ，
因为过坐标原点 的直线 被 截得的弦长为 2,所以圆心 到直线的距离
若直线 的斜率不存在,则直线 的方程为 ,此时圆心 到直线的距离 ,符
合题意;
若直线 的斜率存在,设直线 的方程为 ,则 ,解得 ,
所以直线 的方程为 ,即 ;
综上可得直线 的方程为 或 .
17.(1)因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ,
又因为 平面 ,平面 平面 直线 ,
所以 .
(2)取 的中点 ，连接 ，
由题意可得: ，且 ，
则 为平行四边形,可得 ,
且 平面 ,则 平面 ,
由 平面 ,则 ,
又因为 为等边三角形,则 为 的中点,可得 ,
平面 ,则 平面 ,
如图,以 为坐标原点, 分别为 轴建立空间直角坐标系,
则 ,
可得 ,
设平面 的法向量 ,则 ,
令 ,则 ,即 ,
由题意可知: 平面 的法向量 ,
可得 ,
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 .
(3)由(2)可得: ，
设 ,则 ,
可得 ,解得 ,
即 ,可得 ,
若 平面 ,则 ,
可得 ,解得 ,
所以存在点 ,使得 平面 ,此时 .
18.
(2)
(1)由 ,得 ,
所以 ,
又 ,
所以数列 是以 -2 为首项,3 为公比的等比数列,
所以 ,
当 时, ,
当 时,上式不成立,
所以 ;
(2)由(1)得 ，
则 ,
即 ,
,
两式相减得 ,
所以 .
19. (1) 由点 在双曲线 ,
即 ,解得 ,
所以双曲线方程为 ;
(2)
由已知 ,设 ,
联立直线与双曲线 ,得 ,
则 ,即 ,且 ,
又点 与 关于 轴的对称,
则 ,
所以 ,
即
,
即 ,恒过定点 ;
(3)由已知直线 ，且 ，
联立直线与双曲线 ,可得 ,
则 ,
即 ，
所以 ,代入直线可得 ,
即 ,
所以直线 ,即 ,
所以 ,
即 ,可得 .
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求)
1. 经过点 ,倾斜角为 的直线方程为( )
A. B.
C. D.
2. 设 存在导函数且满足 ,则曲线 上的点 处的切线的斜率为( )
A. -1 B. -3 C. 1 D.
3. 各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ,且 成等差数列,若 ,则 ( )
A. 或 15 B. 15
C. 或 -15 D.
4. 已知 ，点 在平面 内，则 的值为( )
A. -4 B. 1 C. 10 D. 11
5. 已知圆 与圆 相交所得的公共弦长为 , 则圆 的半径 ( )
A. 1 B. C. 或 1 D.
6. 设数列 的前 项之积为 ,满足 ,则 ( )
A. B. 4049
C. D.
7. 已知 为非零常数，函数 ，则 ( )
A. -2 B. 0 C. 2 D. 4
8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有 1000 多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为 的圆，圆心到伞柄底端距离为 ，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时，北京的阳光与地面夹角为 )，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、选择题(本题共小 3 题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得部分)
9. 若方程 所表示的曲线为 ,下列说法正确的是 ( )
A. 苦 为椭圆,则 B. 若 为双曲线,则 或
C. 曲线 可能是圆 D. 若 为焦点在 轴上的椭圆,则
10. 下列结论正确的是( )
A. 若 三点共线,则 的值为 0
B. 经过点 ,且在两坐标轴上的截距相反的直线方程为
C. 已知两点 ,过点 的直线 与线段 有公共点,则 的斜率 的取值范围为
D. 经过直线 和直线 的交点,且和原点相距为 1 的直线一共有三条
11. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,则下列结论中正确的是( )
A.
B. 是等比数列
C.
D. 是递增数列
三、填空题(共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 如图，在棱长为 2 的正四面体 中， 分别为棱 的中点，则 _____.
13. 已知 ,直线 与 相交于 点, 是抛物线 上一点,则 的最小值为_____.
14. 已知函数 ,存在直线过点 与曲线 和 都相切,则 _____.
四，解答题(本题共 5 个小题，其中 15 小题 13 分，16.17 小题每题 15 分，18.19 小题每题 17 分, 共 77 分, 解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤.)
15. 已知曲线 .
(1)求曲线过点 的切线方程；
(2)求满足斜率为 的曲线的切线方程.
16. 在平面直角坐标系 中,已知圆 上存在两点关于直线 对称.
(1)求 的半径；
(2)过坐标原点 的直线 被 截得的弦长为 2，求 的方程.
17. 如图,在四棱锥 中, 平面 为等边三角形, , ，平面 交平面 直线 分别为棱 的中点.
(1)求证: ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
(3)在棱 上是否存在点 ,使得 平面 若存在,求 的值,若不存在,说明理由.
18. 已知数列 的前 项和为 且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2) 设 ,求数列 的前 项和 .
19. 已知点 在双曲线 上,直线
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)当 且 时，直线 与双曲线 分别交于 两点， 关于 轴的对称点为 . 证明: 直线 过定点;
(3)当 时，直线 与双曲线 有唯一的公共点 ，过点 且与 垂直的直线分别交 轴， 轴于 ， 两点. 当点 运动时，求点 的轨迹方程.
1. A
由于倾斜角为 ,所以 ,
所以直线方程为: ,
整理得: ,
故选: A
2. D
解: 因为 , 所以 ,
故选: D
3. B
设等比数列 的公比为 ,由数列 为正项数列,则 ,
由 为等差数列,则 ,即 ,即 ,
解得 或 (舍去),又 ,所以 .
故选: B
4. D
: 点 在平面 内, 存在实数 ,使得等式 成立,
,
,
,解得 .
故选: D
5. C
两圆相减得公共弦方程为: ,
根据题意可知,圆 的圆心到公共弦的距离 ,
解得: 或 ,
当 时,圆 的标准方程为: ,
当 时,圆 的标准方程为: ,
所以 或 .
故选:
6.
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,所以 是公差为 2 的等差数列,
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
故选: C.
7. C
函数 ,
则 ,
故 .
故选: C.
8. A
如图,伞的伞沿与地面接触点 是椭圆长轴的一个端点,伞沿在地面上最远的投影点 是椭圆长轴的另一个端点,
对应的伞沿为 为伞的圆心, 为伞柄底端,即椭圆的左焦点,令椭圆的长半轴长为 ,半焦距为 ,
由 ,得 ,
在 中， ，则 ，
,
由正弦定理得， ，解得 ，则 ，
所以该椭圆的离心率 .
故选: A
9.
因为方程 ,即 所表示的曲线为 ,
对于 ,若 为椭圆,则 且 ,故 错误;
对于 ,若 为双曲线,则 或 ,故 正确;
对于 ,当 ,即 时,曲线 为圆,故 正确;
对于 ,若 为焦点在 轴上的椭圆,则 ,故 错误. 故选: BC.
10. AC
共线时,意味着直线 重合,此时 ,即 , 解得 , A 选项正确;
当直线经过原点和 时,方程为 ,在横纵坐标上截距都是 0,也互为相反数,符合题意, 答案不完整, 因此 B 选项错误;
如图， ， ，于是结合图形可知， 的取值范围为 ， C 选项正确;
先求得 和直线 的交点为 ,
当直线斜率不存在时, ,显然和原点距离是 1 ;
当斜率存在时,设 ,由原点到直线的距离是 ,
解得 ,即符合题意的直线有 ,共两条, 选项错误.
故选: AC
11. ACD
对于 ,由 得,
,所以 . A 正确;
对于 ,将 与 整体相减得, ,
所以 ,
又 ,即 ,
所以 .
因此 不是等比数列, B 错误;
对于 ,因为 ,
所以当 时, .
当 时， .
当 时, ,因此 , 正确;
对于 ,因为 ,
所以 ,
所以 ,
因此 是递增数列, 正确;
故选:ACD.
12.
依题意可得 ,
所以
故答案为:
13.
,
由 得: 恒过定点 ;
由 知: 恒过定点 ;
点轨迹是以 为圆心,半径 的圆 (不含点 );
设 ,
则当 ,即 时, .
故答案为: .
14.
设直线与曲线 相切于点 ,与曲线 相切于点 ,
由 ,则 ,则 ,则切线为 ,
又切线过点 ,所以 ,即 ,所以 ,
所以切线方程为 ,由 ,则 ,
则 ,解得 .
故答案为:
15. (1) .
(2) 或 .
(1)
又 不在曲线 上.
设过点 的切线的切点为 ,
则 ,即该切线的斜率为 .
因为点 在切线上,
所以 ,
解得 . 故切线的斜率 .
故曲线过点 的切线方程为 ,即 .
(2)设斜率为 的切线的切点为 ，
由(1)知， ，得 .
所以切点坐标为 或 .
故满足斜率为 的曲线的切线方程为
或 ,
即 或 .
16.
(2) 或
(1) 圆 ,即 ,
则圆心为 ,半径 ,
因为 上存在两点关于直线 对称,所以点 在直线 上,
所以 ,解得 ,
所以 的半径 ;
(2)由(1)可得 ，圆心为 ，
因为过坐标原点 的直线 被 截得的弦长为 2,所以圆心 到直线的距离
若直线 的斜率不存在,则直线 的方程为 ,此时圆心 到直线的距离 ,符
合题意;
若直线 的斜率存在,设直线 的方程为 ,则 ,解得 ,
所以直线 的方程为 ,即 ;
综上可得直线 的方程为 或 .
17.(1)因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ,
又因为 平面 ,平面 平面 直线 ,
所以 .
(2)取 的中点 ，连接 ，
由题意可得: ，且 ，
则 为平行四边形,可得 ,
且 平面 ,则 平面 ,
由 平面 ,则 ,
又因为 为等边三角形,则 为 的中点,可得 ,
平面 ,则 平面 ,
如图,以 为坐标原点, 分别为 轴建立空间直角坐标系,
则 ,
可得 ,
设平面 的法向量 ,则 ,
令 ,则 ,即 ,
由题意可知: 平面 的法向量 ,
可得 ,
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 .
(3)由(2)可得: ，
设 ,则 ,
可得 ,解得 ,
即 ,可得 ,
若 平面 ,则 ,
可得 ,解得 ,
所以存在点 ,使得 平面 ,此时 .
18.
(2)
(1)由 ,得 ,
所以 ,
又 ,
所以数列 是以 -2 为首项,3 为公比的等比数列,
所以 ,
当 时, ,
当 时,上式不成立,
所以 ;
(2)由(1)得 ，
则 ,
即 ,
,
两式相减得 ,
所以 .
19. (1) 由点 在双曲线 ,
即 ,解得 ,
所以双曲线方程为 ;
(2)
由已知 ,设 ,
联立直线与双曲线 ,得 ,
则 ,即 ,且 ,
又点 与 关于 轴的对称,
则 ,
所以 ,
即
,
即 ,恒过定点 ;
(3)由已知直线 ，且 ，
联立直线与双曲线 ,可得 ,
则 ,
即 ，
所以 ,代入直线可得 ,
即 ,
所以直线 ,即 ,
所以 ,
即 ,可得 .
同课章节目录