黑龙江佳木斯市桦南县第一中学2025-2026学年高一第二学期开学考试数学试题（含解析）

2025-2026 学年度第二学期开学考试卷 高一数学
考试时间:120 分钟
第I卷(选择题，共 58 分)
一、单项选择题:(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求.)
1. 由单词 “Chinese” 中的字母作为集合 中的元素，则集合 中的元素个数为( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
2. 已知 ,则角 的终边位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好， 隔裂分家万事休. 在数学的学习和研究中, 经常用函数的图象研究函数的性质, 也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征. 函数 的图象大致是 ( )
A.
B.
C.
D.
4. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为( )
A. B. C. D.
6. 已知扇形 的周长是 ,则扇形 的面积最大时圆心角的弧度数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知 ,且 ,则 的最大值为( )
A. 6 B. C. D.
8. 已知函数 有三个不同的零点 ,且 , 则 的范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: (本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的 得 0 分.)
9. 已知 是 的充分不必要条件, 是 的充分条件, 是 的充要条件, 是 的必要条件, 则 ( )
A. 是 的充要条件 B. 是 的充分不必要条件
C. 是 的充分不必要条件 D. 是 的充要条件
10. 关于 的不等式 的解集是 ,则()
A.
B.
C. 不等式 的解集是
D. 方程 的解集是
11. 已知函数 则下列结论正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 在 上单调递增,则 的值可以为
C. 存在 ,使得 在 上单调递减
D. 若 的值域为 ,则 的取值范围为
第II卷(共92分)
12. 命题“ ”的否定是_____.
13. 已知实数 ，满足 ，则 的范围是_____.
14. 已知 在区间 上是严格增函数，则 的取值范围是_____.
四、解答题:(本大题共 5 小题，共计 77 分)
15. 已知集合 ，集合 .
(1)求集合 中 的取值范围.
(2)若 是 的充分不必要条件,求 取值范围.
16. 函数 是定义在 上的奇函数,且 .
(1)证明 在 上的单调性;
(2)解关于 的不等式 .
17. 已知函数 的图象过点 .
(1)求函数 的解析式；
( 2 )若函数 的定义域为 ，求 的值域.
18. 已知 .
( 1 )若函数 的图象过点( 1,1 )，求函数 的解析式；
( 2 )若函数 只有一个零点，求实数 的取值范围.
19. 我们将满足下列条件的函数 称为 “ 伴随函数”:存在一个正常数 ，对于任意的 都有 且 .
(1)是否存在正常数 ，使得 是 “ 伴随函数” ？若存在，请求出一个 的值；若不是, 请说明理由;
(2)已知 是 “ 伴随函数”，且 的最小值为 .
(i) 求 的解析式;
(ii) 若 为方程 在 上的根,求 的值.
1. C
根据集合中元素的互异性, .
即 中的元素个数为 6,
故选:
2. C
根据三角函数的符号与角的象限间的关系,
由 ,可得角 的终边位于第三象限.
故选:
3. A
,所以 BD 选项错误.
,所以 C 选项错误.
故选: A
4. B
由 .
故选: B.
5. B
因为函数 的定义域为 ,则函数 的自变量满足: ,解得 ,
所以函数 的定义域为 ,
故选: B
6. B
设半径为 ,圆心角的弧度数为 ,则 ,即 则扇形 的面积为 当 时,扇形 的面积最大,此时圆心角的弧度数为
故选: B
7. C
由 ,可得
且 ,得 ,
当且仅当 ,即 时取等号,
因此 ,所以 的最大值为 .
故选: C.
8. D
令 ,当 时, 的图象如图所示,
由对称性可知 ,
又 ,
,
,故 ,
,
故选: D.
9.
因为 是 的充分不必要条件, 是 的充分条件,
所以 . 因为 是 的充要条件,所以 .
因为 是 的必要条件,所以 .
综上可得, ,但 ,
即 是 的充要条件, 是 的充分不必要条件.
故选: AB.
10. BC
由题意可知 ,所以 ,故 不正确, 正确;
不等式 可化为 ,即 ,
所以解集为 ,故 正确;
方程 可化为 ,即 ,
所以方程 的解集是 ,故 不正确.
故选: BC.
11. ABD
由题意得 ,得 ,得 , A 正确; 若 在 上单调递增,则 ,得 , B 正确; 若 在 上单调递减,则 ,不等式组无解, 错误; 若 的值域为 ,则 ,得 在 上单调递增.
当 时， 在 上单调递增，则 ，得 ，即 . 当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,则 ,得 恒成立,即 .
综上, 的取值范围为 , D 正确.
故选: ABD.
12.
根据全称量词命题的否定可知,命题“ ”的否定是 " ".
13.
由题意,实数 满足 ,
令 ,即
可得 ,解得 ,
所以 ,
则 ,
所以 .
故答案为: .
14.
,
因为 在区间 上是严格增函数,
所以 ,即 .
故答案为: .
15. (1)
(2)
(1) 因为 ,所以 ,解得 或 ,
所以 的取值范围是 .
(2)因为 恒成立,所以 或 ，
所以 或 ,
又因为 是 的充分不必要条件,所以 ,
所以 ,解得 ,
当 或 时, ,所以满足要求,
综上所述， 的取值范围是 .
16. (1) 因为函数 是定义在 上的奇函数,所以 ,解得 ; 又 ,则 ,解得 ;
函数 的定义域为 ,定义域关于原点对称,
所以函数 为奇函数,所以 .
设 ,
则 .
又 ,则 ,
则 ,即 ,
则函数 在 上为增函数.
(2)由(1)知 为奇函数且在 上为增函数，
所以 ,即 ,也即 ,
所以 ,解得 ,
故不等式的解集为 .
17. (1)
(2)
(1) 由题意得, ,即 ,则 ,
所以 .
(2)令 ，因为 ，则 ，
则 ,所以 在 上单调递减,
因为 ,所以 ,即 的值域为 .
18. (1)
(2) 或
( 1 ) 函数 的图象过点 ,
,解得
此时
(2)
函数 只有一个零点,
只有一解,
将 代入 ，得 ，
关于 的方程 只有一个正根
(1)当 时，
(2)当 时:
①若 有两个相等的实数根，
由 ,解得 ,此时 ,满足题意;
②若方程 有两个相异实数根，即一正一负，则两根之和与积为一 ，所以 此时方程有一个正根,满足题意
综上: 或
19.(1)存在正常数 ，使得 是 “ 伴随函数”.
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 , 所以一个 的值为 .
(2)(i) 由 得， ，
所以 是周期为 的函数,且最小正周期为 .
所以 .
由 得, ,所以 为 的一条对称轴,
所以 .
因为 ,所以 ,所以 .
(ii) 易知 在 上的图象如图所示,
根据周期性结合图象,可知方程 在 上的根之和为:
当 时, ;
当 时, ;
当 时, .