黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题（含解析）

2025~2026 学年度高一年级第二学期开学考试 数学
考生注意:
1.满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、 草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围: 人教 A 版必修第一册.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知角 ,则角 为( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
2. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
3. 若函数 图象的相邻两个对称中心的距离为 ，则 ( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4. 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 某公司为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该公司 2025 年全年投入科研经费 1700 万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长 13%，则该公司全年投入的
科研经费开始超过 2500 万元的年份是 ( )
(参考数据: )
A. 2027 年 B. 2028 年 C. 2029 年 D. 2030 年
7. 函数 的值域为( )
A. B. C. D.
8. 若 ,则( )
A. B.
C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若 ,则 ( )
A. B.
C. D.
10. 已知函数 满足: ,且当 时, ,则下列说法正确的是( )
A.
B. 为周期函数
C. 为偶函数
D. 关于 的方程 恰有 5 个解
11. 已知函数 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 的图象是中心对称图形
B. 在 上单调递增
C. 当 时,
D. 若 ,且 ,则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.
13. 已知 ，且 ，则 的最大值为_____.
14. 已知函数 在区间 上恰有两个零点，则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. ( 1 )已知 ，求 的值；
(2)若 是第一象限角，且 ，求 的值.
16. 已知函数 .
(1)求 的最小正周期及单调递减区间；
( 2 )若 ，且 ，求 的值.
17. 某同学用 “五点法” 画函数 在某一个周期内的图象时， 列表并填入了部分数据，如下表:
0
-6
(1)求函数 的解析式；
(2)求不等式 的解集；
(3)将 图象上的所有点向右平移 个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原
来的 (纵坐标不变),得到函数 的图象. 若 满足 ,求 的最小值.
18. 已知函数 ,函数 .
(1)求 的定义域；
(2)判断 在 上的单调性,并用定义证明;
(3)若 ， ，使得 成立，求 的取值范围.
19. 已知函数 的定义域为 ,且 是偶函数， 是奇函数.
(1)求 的解析式；
(2)已知函数 .
(i) 证明: 函数 有且只有一个零点;
(ii) 记函数 的零点为 ,证明: .
1. B
已知角 ,所以 ,故角 为第二象限角. 故选 B.
2. C
由题意知 ,又 ,所以 . 故选 C.
3. C
因为函数 图象的相邻两个对称中心的距离为 ,所以 的最小正周期 ,又 ,所以 . 故选 C.
4. D
因为 ,所以 ,所以 . 故选 D.
5. B
若 ,此时 ,但是 ,故 “ ” 不是 “ ” 的充分条件; 若 ,则 ,故 “ ” 是 “ ” 的必要条件. 综上, " " 是 " "的必要不充分条件. 故选 B.
6. C
取 2026 年是第 1 年,根据题意得第 年该公司全年投入的科研经费为
,令 ,即 ,即 ,两边取对数可得: ,即 ,则 ,则第 4 年,即 2029 年该公司全年投入的科研经费开始超过 2500 万元.故选 C.
7. D
因为 ,所以 ,所以
,又 ,所以 ,所以 ,即函数 的值域为 . 故选 D.
8. A
因为 ,而当 时, ,当 时, ,所以 ; 因为 ,而当 时, ,所以 ; 因为 ,而当 时, , 所以 . 由 ,得 ,所以 为 和 图象交点的横坐标, 为 和 图象交点的横坐标,在同一个平面直角坐标系作出 和 的图象,如图所示,
由图可得 . 综上， . 故选 A.
9. BD
当 时,显然不成立,故 错误; 因为 ,所以 ,即 ,故 正确；当 满足 ,但是 ,故 错误; 因为 ,所以 ,而 ,所以 ,故 正确. 故选 BD.
10. BC
在 中,令 ,得 ,又当 时, , 所以 ,所以 ,解得 ,故 A 错误; 由 ,得 ,所以 ,所以 是周期为 2 的周期函数,故 正确; 当 时, ,又 , 显然当 时，函数 为偶函数，又因为函数 的周期为 2，所以函数 是实数集上的偶函数,故 正确; 函数 的图象如下图所示:
由图可知函数 的图象与 的图象有 6 个交点,故关于 的方程 恰有 6 个解, 故 D 错误.故选 BC.
11. ABD
因为 ,所以 的图象是中心对称图形,故 A 正确; ,又 均在 上单调递增,所以 在 上单调递增,故 正确; 易得 在 上单调递增,又当 时, ,所以 , 故 C 错误; 由 ,得 ,即 , 又 ,所以 ,所以 ,故 D 正确. 故选 ABD.
12.
.
13.
由题可得 ,所以
,而 ,当且仅当 ,即 时取等号,所以 ,即 的最大值是 .
14.
函数 在区间 上恰有两个零点,则 在区间 上有两个实数解,所以 ,又 ,所以 在 上有两个不同的实数解,当 时, ,所以 解得 ,即 的取值范围是 .
15. (1)
解: (1) 由题意知 ,所以
(2)因为 ，又 是第一象限角，易得 ，
所以
16.
(2) .
解: (1) 由题意知
,
所以 的最小正周期为 ,
令 ,
解得 ,所以函数的单调递减区间为 .
(2)由题意知 ，
又 ,所以 ,若 ,则 ,不符合题意;
所以 ,所以 ,
所以
17.
(2)
(3)
解: (1) 由题意知
解得 ,
又 ,解得 ,
所以 .
( 2 )由 ，得 ，所以 ， 解得 ,即不等式 的解集为 .
(3)将 的图象向右平移 个单位长度，得到
的图象,再将图象上所有点的横坐标变为原来的
(纵坐标不变),
得到 的图象,
因为 ,所以 的图象关于 中心对称,
所以 ,
解得 ,
因为 ,所以当 时,此时 取得最小值为 .
18.
解: (1) 由题意知 ,整理得 ,所以 ,解得 ,即 的定义域为 .
(2) 在 上单调递增.
证明: 任取 ,且 ,所以
又 ,所以 ,所以 ,即 ,所以 在 上单调递增.
(3)若 ，使得 成立，则 .
由( 2 )知 在 上单调递增，所以 .
记 ,因为 ,所以 ,所以 , 当 时， ，则 ，所以 ，所以 或 ,又 ,所以 ;
当 时， ，则 ，所以 ，所以 ,又 ,所以 .
综上, 的取值范围为 .
19.
(1) 解: 因为 是偶函数,所以 ,所以 ,又 是奇函数,所以 ,所以 ,所以 ,即 .
(2)证明:(i)由题意知
,当 ,则 ,此时 在 上单调递增,
又 在 上单调递增,所以 在 上单调递增,
又 ,所以 在 上有唯一零点;
当 ,所以 ,
所以 在 上没有零点;
当 时, ,所以 ,所以 ,
所以 在 上没有零点.
综上, 有且只有一个零点.
(ii) 由题意知 ,且 ,所以 ,所以 ,
令 ,因为 ,所以 ,又 , 则 ,
所以
即 .