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实数 单元同步练习卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，数轴上的点表示的无理数可能是（ ）
A． B． C． D．
2．在实数 ， ， ， （每两个相邻的2中间依次多一个0）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知，那么的值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．计算 的结果是（ ）
A． B．3 C． D．81
5．|﹣125|的立方根为（ ）
A．﹣5 B．5 C．25 D．±5
6．下列实数，介于5和6之间的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列各式计算正确的是( )
A． B． C． D．
8．下列数中：8， ， ， ， ，0， ，0.6666……（数字6无限循环），9.181181118……（相邻两个8之间依次多一个1）无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（ ）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3
C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
10．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a>–4 B．bd>0 C．|a|>|d| D．b+c>0
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．规定用符合[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3，[]=1，按此规定[-1]= .
12．如图所示，把半径为2个长度单位的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是 ．
13．比较大小： （填“”，“”或“” .
14．= ，36的平方根是 ．
15．如图，正方形和正方形的面积分别是7和9，以原点O为圆心，，为半径画弧，与数轴交于两点，这两点在数轴上对应的数字分别为a、b，则 ．
16．若都为实数，且，则 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．若是的整数部分，求的平方根．
18．已知的立方根是，的两个平方根分别为和.求，的值.
19．把下列各数在数轴上表示出来，并用“”号把它们连接起来．
，，，，
20．如图，把图1中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为 16 cm2 的大正方形纸片(如图2).
（1）原小正方形的边长为 cm.
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为2：1，且面积为12 cm2 若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由.
（3）图3是由5个边长为1 的小正方形纸片组成的图形，能否把它剪开并拼成一个大正方形 若能，请画出示意图，并写出边的长度；若不能，请说明理由.
21．下面是某同学提交的作业。
填空：①（-2)3=-2。②（-3)2=-3。的平方根是±4。
请依次判断结果是否正确，若不正确，请写出正确的结果。
22．正数x的两个平方根分别为3和．
（1）求a的值；
（2）求的立方根．
23．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．
（1）仿照以上方法计算：= ；= ．
（2）若，写出满足题意的x的整数值 ．
（3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
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实数 单元同步练习卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，数轴上的点表示的无理数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，令数轴上的点表示的无理数为，则，
A、由可得，则数轴上的点表示的无理数可能是，符合题意；
B、由可得，则，故数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意；
C、由可得，则数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意；
D、由可知数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意；
故选：A．
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
2．在实数 ， ， ， （每两个相邻的2中间依次多一个0）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】 ， ，0.2020020002…(每两个相邻的2中间依次多一个0)是无理数，
故答案为：C.
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
3．已知，那么的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，求出x，y，再将值代入计算即可.
4．计算 的结果是（ ）
A． B．3 C． D．81
【答案】B
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】利用算术平方根的定义计算即可。
5．|﹣125|的立方根为（ ）
A．﹣5 B．5 C．25 D．±5
【答案】B
【解析】【解答】解：|﹣125|=125．
∵53=125，
∴125的立方根为5，即|﹣125|的立方根为5．
故选：B．
【分析】先算绝对值，然后根据立方根的定义求解即可．
6．下列实数，介于5和6之间的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、4＜＜5，A选项不符合题意；
B、5＜＜6，B选项符合题意；
C、6＜＜7，C选项不符合题意；
D、=4，D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用“夹逼法”，在、、的左右两边分别找到最近的可以开方的正整数，即可得出其范围；64的立方根为4. 据此判断即可得出正确答案.
7．下列各式计算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：选项A，，错误；
选项B，在实数范围内没有意义，错误；
选项C，，错误；
选项D，，正确。
故答案为：D.
【分析】首先，二次根式里面的数是非负数，否则该式在实数范围内没有意义；其次，二次根式计算出来的结果都是非负数。据此即可判断出正确的选项.
8．下列数中：8， ， ， ， ，0， ，0.6666……（数字6无限循环），9.181181118……（相邻两个8之间依次多一个1）无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：无理数有： ， ，9.181181118……（相邻两个8之间依次多一个1），共有3个，
故答案为：C.
【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.
9．代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（ ）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3
C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
【答案】C
【解析】【解答】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；
当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；
当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3.
∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，
∴a＝3，b＝﹣3.
故答案为：C.
【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值.
10．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a>–4 B．bd>0 C．|a|>|d| D．b+c>0
【答案】C
【解析】【解答】A、由图可知： ，所以A不符合题意；
B、由图可知： ，则 ，所以B不符合题意；
C、由图可知： ，所以C符合题意；
D、由图可知： ，且 ，因此 ，所以D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】本题考查了实数与数轴.根据数轴上点的位置关系，可得a，b，c，d的大小，根据有理数的运算，绝对值的性质，可得答案．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．规定用符合[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3，[]=1，按此规定[-1]= .
【答案】3
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∴[-1]=3，
故答案为：3.
【分析】先利用估算无理数大小的方法求出，再结合题干中的定义及计算方法求出[-1]=3即可.
12．如图所示，把半径为2个长度单位的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是 ．
【答案】﹣4π
【解析】【解答】解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A′在A的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为：-4π．
【分析】圆形纸片上的A点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，点A到达点A′的位置，那么AA'的长就是圆的周长，故求出圆的周长即可得出A'点所表示的数。
13．比较大小： （填“”，“”或“” .
【答案】＜
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】首先分别对两个数据进行平方，然后进行比较.
14．= ，36的平方根是 ．
【答案】2；
【解析】【解答】解：，
36的平方根是．
故答案为：2，．
【分析】利用算术平方根和平方根的计算方法求解即可。
15．如图，正方形和正方形的面积分别是7和9，以原点O为圆心，，为半径画弧，与数轴交于两点，这两点在数轴上对应的数字分别为a、b，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：正方形和正方形的面积分别是7和9，
，
以原点O为圆心，，为半径画弧，
，
．
故答案为：．，
【分析】已知正方形的面积，由算术平方根可以分别求出两个正方形的边长为和3，则所画圆的半径即为和3，所以a=0+，b=0+3，带入即可求解.
16．若都为实数，且，则 ．
【答案】26
【解析】【解答】解：∵等式中同时出现与，若x≠5，则两个算术平方根中必有一个没有意义.
∴x=5.
∴y=1.
∴.
故答案为：26.
【分析】根据算出平方根的定义，判断出x的值是关键.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．若是的整数部分，求的平方根．
【答案】解：∵
∴
又∵是的整数部分，
故的平方根为；
【解析】【分析】利用估算无理数的大小，可得到y+1的值，解方程求出y的值，然后代入计算求出1+4y的平方根.
18．已知的立方根是，的两个平方根分别为和.求，的值.
【答案】解：∵的立方根是，
∴，
解得
∵的两个平方根分别为和，
∴，
解得，
∴
【解析】【分析】根据立方根的定义列关于的一元一次方程，即可求出；根据一个数的平方根互为相反数列关于m的一元一次方程，求出m即可求出b值.
19．把下列各数在数轴上表示出来，并用“”号把它们连接起来．
，，，，
【答案】解：如图所示：
用“”连接为：．
【解析】【分析】根据绝对值的概念可得|-3|=3，根据相反数的概念可得-(-2)=2，然后将各数表示在数轴上，再根据数轴上左边的数小于右边的数进行比较.
20．如图，把图1中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为 16 cm2 的大正方形纸片(如图2).
（1）原小正方形的边长为 cm.
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为2：1，且面积为12 cm2 若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由.
（3）图3是由5个边长为1 的小正方形纸片组成的图形，能否把它剪开并拼成一个大正方形 若能，请画出示意图，并写出边的长度；若不能，请说明理由.
【答案】（1）
（2）解：不能.
理由如下：因为长方形的长宽之比为2：1，且面积为12 cm2 ，
设长为2x，宽为x，则2x2=12，解得x=，
则该长方形的长为2，宽为，长方形的长大于正方形的边长4，因此无法剪出 一个长方形，使剪出的长方形的长宽之比为2：1，且面积为12 cm2.
（3）解：能.
示意图如下：
大正方形的边长为.
【解析】【解答】解：(1)因为每个小正方形的面积是大正方形的面积的一半，所以小正方形的面积为16÷2=8，则正方形的边长为.
故填：.
【分析】(1)因为两个小正方形拼成一个面积为16cm2的大正方形，则每个小正方形的面积为8，即可求出边长；
(2)求出满足长宽之比为2：1，且面积为12 cm2的长方形的长与宽，再结合大正方形的边长判断即可；
(3)拼接画出示意图即可，大正方形由5个 边长为1 的小正方形 ，可知大正方形的面积，进而可求得大正方形的边长.
21．下面是某同学提交的作业。
填空：①（-2)3=-2。②（-3)2=-3。的平方根是±4。
请依次判断结果是否正确，若不正确，请写出正确的结果。
【答案】解：①不正确；②不正确；③不正确；④不正确；
正确结果为：① （-2)3=-8；② （-3)2=9；③；④的平方根是±2。
【解析】【分析】首先根据立方，平方，绝对值，算术平方根及平方根的性质，可分别判断各小题的对错，进而得出正确答案即可。
22．正数x的两个平方根分别为3和．
（1）求a的值；
（2）求的立方根．
【答案】（1）解：∵正数x的两个平方根是3和，∴，
解得：；
（2）解：∵，∴，
∴这个正数是，
即，
∴，
∴27的立方根是3，
即这个数的立方根为3．
【解析】【分析】（1）由正数x的两个平方根是3和，根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，得到，求得a的值，即可得到答案；
（2）由（1）求出x的值，得到，结合立方根的定义，即可求解．
（1）解：∵正数x的两个平方根是3和，
∴，
解得：；
（2）∵，
∴，
∴这个正数是，
即，
∴，
∴27的立方根是3，
即这个数的立方根为3．
23．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．
（1）仿照以上方法计算：= ；= ．
（2）若，写出满足题意的x的整数值 ．
（3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】（1）2；5
（2）1，2，3
（3）解：第一次：，第二次：，第三次：，
∴第3次之后结果为1；
（4）255
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，
∴，，
故答案为：2，5；
（2）解：∵，，，
∴或或，
故答案为：1，2，3；
（3）解：由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，
∴只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255．
故答案为：255.
【分析】（1）根据算术平方根的定义、估算无理数大小的方法和新规定可得答案；
（2）根据，，即可得；
（3）根据新规定逐步计算即可；
（4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255．
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