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图形的相似 单元模拟测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．△ABC中，AB=6，BC=10，CA=12，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ）
A．12 B．18 C．20 D．27
2．下列判断中，不正确的是( )
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
3．如图， 中， ， ，点D在 的延长线上，且 ，连接 并延长，作 于 ，若 ，则△ 的面积为（ ）
A．8 B．10 C． D．16
4．如图，下列四个三角形中，与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中，，点D是上一动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接，当面积最大时，的长为（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6m，OA＝2.4m，OB＝6m，则树高为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．7m
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．（0，0），2 B．（2，2），
C．（2，2），2 D．（1，1），
8．如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF.将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 时，则 为（ ）
A． B．2 C． D．4
9．搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD．AN．CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（ ）
A．96cm2 B．48cm2 C．24cm2 D．以上都不对
10．如图，在矩形OABC中， ， ，把矩形OABC绕点A旋转，得到矩形ADEF且点D恰好落在BC上，连接OF交AD于点G．则点G的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 若，则的值为 .
12．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（），若线段的长为，则BP的长为 ．
13．已知线段a、b、c、d，如果，那么= ．
14．如图，在中，D是上一点，，则 ．
15．如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF分别交AC、CD于P、E，则图中的位似三角形共有 对．
16．如图，在 中，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，AD、BE交于点G， ，则S△DGF：S四边形FGEC= ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知，求下列各式的值．
（1）
（2）
18．在四边形ABCD中， ， ， ， ， 的平分线分别交AD、AC于点E、F，求 的值．
19．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？” .其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B出有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，求正方形城池的边长.
20．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持一定的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m处，小林驾驶一辆小轿车距大车车尾xm，此时红灯、大巴车车顶和小张的眼睛三点刚好在一条直线上，若大巴车车顶高于小林的水平视线0.8m，红灯下沿高于小林的水平视线3.2m，求x的值．
21．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，P是边AB上一点，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，已知AB=3，BC=3，BE=5．求DE的长．
22． 如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，点C在OP上，满足∠CBP＝∠ADB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．
23．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且∠ADE=45度．
（1）求证：△ABD∽△DCE．
（2）当D在什么位置时，△ABD≌△DCE．
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图形的相似 单元模拟测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．△ABC中，AB=6，BC=10，CA=12，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ）
A．12 B．18 C．20 D．27
【答案】B
【解析】【解答】解：设另一个和它相似的三角形最短的一边是x，
∵△ABC中，AB=6，BC=10，CA=12，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，
∴，
解得x=18.
故答案为：B.
【分析】设另一个和它相似的三角形最短的一边是x，然后根据相似三角形对应边成比例进行求解.
2．下列判断中，不正确的是( )
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
【答案】B
【解析】【解答】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故选项A不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故选项B说法错误，符合题意；
C、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故选项C不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则他们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故选项D不合题意；
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定依次判断可得到答案．
3．如图， 中， ， ，点D在 的延长线上，且 ，连接 并延长，作 于 ，若 ，则△ 的面积为（ ）
A．8 B．10 C． D．16
【答案】B
【解析】【解答】如图，过点B作BH⊥DC于H，
∵ ， ，
∴∠BCH+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCH=∠CAE，
在△BCH和△CAE中，
，
∴△BCH≌△CAE，
∴BH=CE，CH=AE=4，
由BH⊥DC， 可知AE∥BH，
∴△DBH∽△DAE，
∴ ，
由 可知 ，
∴ ， ，即
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】过点B作BH⊥DC于H，通过全等得到BH=CE，HC=AE，再由 ， 可以求出BH和DC的长，即可得到△ 的面积.
4．如图，下列四个三角形中，与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】由题图可知， ， 所以∠B=∠C=75°，
所以 ．根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似知，与 相似的是 项中的三角形
故答案为：C．
【分析】△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，结合各选项是否符合相似的条件即可．
5．如图，中，，点D是上一动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接，当面积最大时，的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接点A和中点F，过点F作，垂足为点H，连接，
∵点F为中点F，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则点H、F、E三点共线，
故为的高，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
，
∴当面积最大时，
故答案为：C.
【分析】连接点A和BC的中点F，过点F作FH⊥AB，垂足为点H，连接EF，由中点的概念可得BF=CF=1，由同角的余角相等可得∠ACD=∠FCE，证明△ACD≌△FCE，得到∠CFE=∠CAD，由同角的余角相等可得∠BFH=∠CAD，则∠BFH=∠CFE=∠CAD，推出点H、F、E三点共线，故EF为△BED的高，设AD=x，则EF=x，根据勾股定理可得AB，然后表示出BD，证明△BFH∽△ABC，根据相似三角形的性质可得FH，由EG=FH+EF可得EH，根据三角形的面积公式表示出S△BDE，再利用二次函数的性质进行解答.
6．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6m，OA＝2.4m，OB＝6m，则树高为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．7m
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠COA=90°-∠COF，∠DOB=90°-∠DOF，∠COF=∠DOF，
∴∠COA=∠DOB，
又∵∠CAO=∠OBD=90°，
∴△ACO∽△BDO，
∴，
∵AC=1.6m，OA=2.4m，OB=6m，
∴
∴BD=4m，
∴树高为4m，
故答案为：A.
【分析】根据入射角等于反射角得出∠COF=∠DOF，从而得出∠COA=∠DOB，由相似三角形的判定定理可得出△ACO∽△BDO，再根据相似三角形的对应边成比例得出，代入数值进行计算，得出BD的长，即可得出答案．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．（0，0），2 B．（2，2），
C．（2，2），2 D．（1，1），
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2），
k的值为： = ．
故选：B．
【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比．
8．如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF.将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 时，则 为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
设重叠的菱形边长为x，BE＝BF＝y，
由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，
∴AE＝EM，EN＝BE＝y，EM＝x+y，
∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 ，且两个菱形相似，
∴AB＝4MN＝4x，
∴AE＝AB﹣BE＝4x﹣y，
∴4x﹣y＝x+y，
解得：x＝ y，
∴AE＝ y，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】设重叠的菱形边长为x，BE＝BF＝y，易得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，则AE＝EM，EN＝BE＝y，EM＝x+y，由题意可得AB＝4MN＝4x，则AE＝4x-y，然后根据AE＝EM可得x与y的关系，表示出AE，据此解答.
9．搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD．AN．CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（ ）
A．96cm2 B．48cm2 C．24cm2 D．以上都不对
【答案】B
【解析】【解答】解：找到CD的中点E，找到AD的中点F，连接CF，AE，
则CM∥EA，AN∥FC，△BOM∽△BKA，
∴ ＝ ＝ ，
同理可证： ＝ ＝ ，
故DK＝KO＝OB，
∴△BOC和△BOA的面积和为 正方形ABCD的面积，
∵CN＝NB＝AM＝BM，
∴△OCN的面积为 △BOC和△BOA的面积和，
∴△OCN的面积为 ＝48cm2，
故选B
【分析】先证明BO为正方形ABCD的对角线BD的 ，再求证△CNO，△NBO，△AMO，△BMO的面积相等，即△CON的面积为正方形面积的 ．本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO＝ BD，△OCN的面积为 △BOC和△BOA的面积和
10．如图，在矩形OABC中， ， ，把矩形OABC绕点A旋转，得到矩形ADEF且点D恰好落在BC上，连接OF交AD于点G．则点G的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过D作DM⊥OA于M，FN⊥OA于N，则∠DMA=∠FNA=90°，
∵在矩形OABC中，A（5，0）．C（0，3），
∴OA=BC=5，AB=OC=3=DM，
∵把矩形OABC绕点A旋转，得到矩形ADEF且点D恰好落在BC上，
∴AD=OA=5，∠OAB=∠DAF=90°，AF=AB=3，
∴∠DAM=∠BAF=90°-∠DAB，
∵∠BAO=∠FNA=90°，
∴∠BAF=∠AFN，
∴∠DAM=∠AFN，
在Rt△DMA中，由勾股定理得：AM=
∴CD=OM=5-4=1，
即点D坐标是（1，3），
∵∠DMA=∠FNA，∠DAM=∠AFN，
∴△DAM∽△AFN，
∴ ，
∴ ，
解得：FN= ，AN= ，
∴ON=5+ = ，
即F点的坐标是（ ， ），
设直线AD的解析式是y=kx+b，
把A（5，0），C（1，3）代入得：
，
解得：k=- ，b= ，
∴直线AD的解析式是y=- ，
设直线OF的解析式是y=ax，
把F（ ， ）代入得： ，
解得：a=
∴直线OF的解析式是y= ，
解方程组 得： ，
即点G的坐标是（ ， ），
故答案为：A．
【分析】过D作DM⊥OA于M，FN⊥OA于N，则∠DMA=∠FNA=90°，求出OA=5，AB=3，根据勾股定理求出AM，求出点D坐标，求出△DAM∽△AFN，求出AN和FN，求出F坐标，求出直线AD和OF的解析式，再求出交点G的坐标即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 若，则的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先求出，再将其代入计算即可.
12．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（），若线段的长为，则BP的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵点P是的黄金分割点（），线段的长为，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由于点P是的黄金分割点（），可得，据此即可求解.
13．已知线段a、b、c、d，如果，那么= ．
【答案】
【解析】【解答】解：由等比性质，得
=，
故答案为：．
【分析】根据等比性质： ，可得答案．
14．如图，在中，D是上一点，，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，∠B=∠ACD，
∴△ACD∽△ABC
∴
∵AB=AD+BD=3+2=5，
∴AC2=3×5=15，
∴；
∴即
故答案为：
【分析】利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可求出AC的长，然后求出CD与BC的比值.
15．如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF分别交AC、CD于P、E，则图中的位似三角形共有 对．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△ABP∽△CEP，△APF∽△CPB，△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，
∴△ABF∽△CEB，
∴此图中共有5对相似三角形．
故答案为5
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，则可得AD∥BC，AB∥CD，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可证得：△ABP∽△CEP，△APF∽△CPB，△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，继而可得△ABF∽△CEB，则可求得答案
16．如图，在 中，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，AD、BE交于点G， ，则S△DGF：S四边形FGEC= ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接DE．
∵AD、BE分别是BC、AC边上的中线，
∴BD=DC，AE=EC， DE∥AB，
，
∵GF∥AC，
，
设 则
设 则
为 的中点，
故答案为
【分析】连接DE，由BD=DC，AE=EC，推出DE//AB，推出DG：AG=DE：AB=1：2，由GF//AC，推出△DGF∽△DAC，推出，即可解决问题。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知，求下列各式的值．
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵x：y=4：3，
∴设=4k，y=3k，
∴.
（2）解：∵x：y=4：3，
∴设=4k，y=3k，
∴.
【解析】【分析】（1）根据等比性质设x=4k，y=3k，代入即可求解；
（2）根据等比性质设x=4k，y=3k，代入即可求解.
18．在四边形ABCD中， ， ， ， ， 的平分线分别交AD、AC于点E、F，求 的值．
【答案】解：作FG⊥AB于点G，
∵∠DAB=90°，
∴EA∥FG，
∴ = ，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又BE是∠ABC的平分线，
∴FG=FC，
在 中，
，
，
∴CB=GB，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴AB= BC，
∴ = = =( －1)．
【解析】【分析】先求出 ∠ACB=90°， 再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
19．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？” .其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B出有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，求正方形城池的边长.
【答案】解：依题意得AB=30步，CD=750步.
设AE为x步，则正方形边长为2x步，根据题意，
Rt△ABE∽Rt△CED
∴ 即 .
解得x1=150，x2=-150（不合题意，舍去），
∴2x=300
∴正方形城池的边长为300步.
【解析】【分析】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例，列出方程，通过解方程即可求出小城的边长.
20．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持一定的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m处，小林驾驶一辆小轿车距大车车尾xm，此时红灯、大巴车车顶和小张的眼睛三点刚好在一条直线上，若大巴车车顶高于小林的水平视线0.8m，红灯下沿高于小林的水平视线3.2m，求x的值．
【答案】解：当红灯A、大巴车车顶C和小张的眼睛E三点刚好在一条直线上，大巴车车顶高于小林的水平视线0.8m，红灯下沿高于小林的水平视线3.2m，如下图，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EAB，
∴，
∴，
解得，
∴．
【解析】【分析】先证明△ECD∽△EAB，可得，将数据代入可得，再求出x的值即可。
21．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，P是边AB上一点，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，已知AB=3，BC=3，BE=5．求DE的长．
【答案】解：如右图，
∵∠ACB=90°，AB=3，BC=3，
∴AC=3，
同理可求CE=2，
∵AD⊥CP，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
又∵∠BEC=∠ADC=90°，
∴△ACD∽△CBE，
∴AC：CD=CB：BE，
∴3：CD=3：5，
∴CD=，
∴DE=2﹣=．
【解析】【分析】由于∠ACB=90°，AB=3，BC=3，利用勾股定理可求AC=3，同理可求CE=2，而AD⊥CP，吗，那么∠DAC+∠ACD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，根据同角的余角相等可得∠DAC=∠BCE，再结合∠BEC=∠ADC=90°，易证△ACD∽△CBE，于是AC：CD=CB：BE，易求CD，进而可求DE．
22． 如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，点C在OP上，满足∠CBP＝∠ADB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．
【答案】（1）证明：连接OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠A+∠ADB＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵∠CBP＝∠ADB，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，
∴BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OA＝2，
∴AD＝2OA＝4，
∵OP⊥AD，
∴∠POA＝90°，
∴∠P+∠A＝90°，
∴∠P＝∠D，
∵∠A＝∠A，
∴△AOP∽△ABD，
∴＝，即＝，
解得：BP＝7．
【解析】【分析】（1）连接OB，先根据圆周角定理得到∠ABD的度数，进而根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠OBA，从而结合题意进行角的运算得到∠OBC=90°，从而根据切线的判定即可求解；
（2）先根据题意证明∠P＝∠D，进而根据相似三角形的判定与性质证明△AOP∽△ABD得到＝，代入即可求解。
23．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且∠ADE=45度．
（1）求证：△ABD∽△DCE．
（2）当D在什么位置时，△ABD≌△DCE．
【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠B=∠C=45°，又因为∠DEC=∠ADE+∠CAD=45°+∠CAD（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），同理∠ADB=∠C+∠CAD=45°+∠CAD，∴∠DEC=∠ADB又∠ABD=∠DCE=45°，
∴△ABD∽△DCE
（2）解：在Rt△ABC内，作∠BAD=22.5°，（即∠A的四等份线）交BC于D，则点D即为所求．∵△ABD∽△DCE当AB=CD时，△ABD≌△DCE，∵AB=AC，
∴CD=AC从而∠ADC=∠CAD．
又∵∠C=∠B=45°，∠ADE=45°，
∴∠EDC=22.5°
【解析】【分析】（1）由题意易得∠DEC=∠ADB，又∠ABD=∠DCE，根据“两角对应相等，两个三角形相似”，可得△ABD∽△DCE。（2）由（1）知，△ABD∽△DCE，再加一个条件“AB=CD”即可证明全等，可得∠ADC=∠CAD，最后求得∠EDC。
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