8.1 平行四边形 同步练习（含答案）初中数学苏科版（新教材）八年级下册

8.1《平行四边形》
一、单选题
1． 中，：：：可以为（ ）
A．：：： B．：：： C．：：： D．：：：
2．如图，四边形的对角线交于点，已知，添加下列其中一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，分别平分，那么的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．以上都不对
5．如图，在平面直角坐标系中，将 放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，则 的面积为（ ）
A．10 B． C．5 D．
6．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，在中，，，平分交边于点E，则的长为_____．
8．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则平行四边形的周长为________．
9．如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________．
10．如图，在中，，，E、H分别为边上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C，若，，则的长度为________．
11．如图，在平行四边形中，，于点E，M是的中点，，则____________．
12．如图，在四边形中，，，，E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为______．
三、解答题
13．如图，平行四边形中，的平分线交于的平分线交于点．求证：．
14．如图，的两条对角线、相交于点，点、分别是、上的中点．连接、．求证：．
15．如图1，在中，．以为一边，在外作等边三角形是的中点，连接并延长交于E．
(1)求点B的坐标；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长．
16．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
17．我们规定：如果一个四边形的对角线长度相等，则称该四边形为“等角线四边形”．
(1)下列一定是“等角线四边形”的有_____（填写序号）；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；
(2)如图①，四边形为“等角线四边形”，是的中点，若它的对角线可绕点旋转与重合，证明：；
(3)如图②，四边形为“等角线四边形”，则它的对角线可绕点旋转与重合，请用无刻度的直尺和圆规作出满足条件的一个点（保留作图痕迹，并写出简要的作图步骤）
18．如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是．
(1)请直接写出点B的坐标　　　　　　；
(2)已知点D是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标；
(3)已知直线：正好将分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式．
19．（1）模型建立：
①旋转：如图1，已知线段，将线段绕着点A顺时针旋转到，直线经过点A，过C作于D，过B作于E，易证：（不用写出证明过程）；
②平移：如图2，在中，，，，则D（ ， ）．
（2）模型应用：
模型应用：
①如图3，已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，过点A，C作直线，求直线的函数表达式；
②如图3，在直线上有一动点P，在y轴上有一动点Q，以B、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请求出点Q的坐标．
20．如图，在中，为对角线的中点，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连接并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，设点的运动时间为．
(1)当点在边上运动时，求证：；
(2)当点在内部时，求的取值范围；
(3)当 PQE与重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值．
参考答案
一、单选题
1．D
解：平行四边形对角相等，
对角的比值应该相等，
其中A，B，C都不满足，只有D满足．
故选D．
2．B
解：添加，能判定四边形是平行四边形的是，理由如下：
，
又，
四边形是平行四边形，
只有B选项符合题意，其他选项不能判定四边形是平行四边形，
故选：B．
3．（A
解：A、∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故A符合题意；
B、现有条件无法判断四边形是平行四边形，故不符合题意；
C、当时，，与已知条件重复，不能判定平行四边形，故不符合题意；
D、当，时，四边形为平行四边形或等腰梯形，故不符合题意；
故选：A．
4．B
解：四边形为平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
同理，
，
故选：B．
5．A
解：由图象可知，直线经过时移动距离为，经过时移动距离为，经过时移动距离为，
∴．
如图，当直线经过点时，交于点，作垂直于于点，由图可知
∵直线与夹角为，
∴，
∴面积为．
故选；．
6．B
解：如图，过点作交于，交于，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
，，
∵
，
，
．
故选：B．
二、填空题
7．2
解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
8．32
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长为：，
故答案为：32．
9．
解：如图，设，交于点，过点作于点，
连接，
四边形是平行四边形，
，，
∵点D是的中点，为定点，
∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小，
即当重合时，最小，
∴的最小值为，
，
∴，
∵，即
∴
，
∴的最小值为
的最小值为
故答案为：．
10．
解：延长与交于点M，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
则
即
∴，
由折叠知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
解：延长与的延长线交于点F，连接，如图所示，
，
，
是的中点，
，
∵四边形是平行四边形，，
，
，
在和中
，
，
，
∴点M为的中点，
，
∴，
，
，
又∵M为中点，，
，
，
，
．
故答案为：．
12．2秒或秒
解：∵E是的中点，
∴，
∵，
∴时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，
则，，
∴，，
∵，
∴，解得；
②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，
则，，
∴，，
∵，
∴，解得；
综上，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：2秒或秒．
三、解答题
13．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，即．
14．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵点、分别是、上的中点，
∴，，
∴，
∴
即，
在 ADE和 CBF中，
，
∴，
∴．
15．（1）解：在中，，，，
，
点的坐标为；
（2）证明：，
轴，
轴轴，
轴，即，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
即，
四边形是平行四边形；
（3）解：设的长为，
，
，
由折叠的性质可得：，
在中，，
即，
解得：，
即．
16．（1）证明：由题意得：，，，
∵∠B=90 ，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图所示：当时，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：；
如图所示，当时，
由（1）可得：四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
解得：；
综上所述：或，为直角三角形．
17．（1）解：矩形，正方形的对角线相等，平行四边形、菱形的对角线不相等，
矩形，正方形为“等角线四边形”．
故答案为：②④．
（2）证明：连接，，如图，
四边形为“等角线四边形”，
，
是的中点，
，
四边形的对角线可绕点旋转与重合，
，，
，
，，
，
，
．
（3）分别作，的垂直平分线，，与交于点，如图，
则点满足条件的一个点．
18．（1）解：点坐标是，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点坐标是，
∴；
（2）解：∵点是线段上一个动点，
∴设，
①当时，三角形是等腰三角形，根据勾股定理得，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
②当时，三角形是等腰三角形，
则点在的垂直平分线上，
∴，
③时，根据勾股定理得，
∴，
∴（不合题意舍去），（不合题意舍去），
综上所述，或；
（3）解：如图，连接，交于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点坐标是，点坐标是，
∴，
∵正好将平行四边形分成面积相等的两部分，
∴直线过，
∴
∴，
即与的函数关系式为．
19．解：（1）①∵旋转，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴B向右平移4个单位，向上平移2个单位得到A，
在中，，，
∴向右平移4个单位，向上平移2个单位得到，即，
故答案为：3，2；
（2）①当时，，
当时，，解得，
∴，，
∴，，
过C作于D，
同（1）可证，
∴，，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，
则，
解得，
∴直线的函数表达式为；
②设，，
以、为对角线，如图，
此时，，
∴，
解得，
∴；
以、为对角线，如图，
此时，，
∴，
解得，
∴；
以、为对角线，如图，
此时，，
∴，
解得，
∴；
综上，点Q的坐标为或．
20．（1）证明：在中，为对角线的中点，
，，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
①当点与点重合时，如图，
线段绕着点逆时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
∴2t=4，
解得；
②当点落在边上时，如图，
是等边三角形，
，
，
∵AD∥EQ，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和 中，
，
，
，
，
，
解得．
综上可知，当点在内部时，的取值范围为；
（3）解：①如图，当点在边上运动时，经过点时， PQE与重叠部分图形是轴对称的三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
解得；
②如图，当点在边上运动时，如果，则 PQE与重叠部分图形是轴对称的三角形，
，
，
，
，
，
解得．
综上可知，当 PQE与重叠部分图形是轴对称的三角形时，的值为或．