8.2 特殊的平行四边形 （含答案）初中数学苏科版（新教材）八年级下册

8.2《特殊的平行四边形》
一、单选题
1．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中， ABC为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，∠B=90 ，点的坐标为，将 ABC沿翻折．点落在点位置，交轴于点，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ）
A．13 B．28 C．34 D．36
4．如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（ ）
A．10 B．20 C． D．
5．如图，正方形的边长为6，为等腰直角三角形，，，连接、，点为的中点，连接的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题
6．如图，在菱形中，已知，则_______．
7．如图，已知点P是正方形外一点，且，，则的最大值是______．
8．如图，出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则_______．
9．如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于__________．
10．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小红家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，则的长是______．
11．在长方形中，，，是边上一点，连接，把 BEC沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为____
12．如图，正方形中，，点E在边上，且，将 ADE沿对折至，延长交边于点G，连接、．下列结论：①点G是中点；②；③．其中正确的有_______．
三、解答题
13．如图，点O是矩形的对角线的交点，菱形的周长为4，求矩形的面积．
14．如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形．
15．【阅读材料】
老师的问题 如图，在 ABC中，，是 ABC的外角的平分线．求作：矩形，使点，分别在，上． 小张的作法 （1）作的平分线交于点； （2）以为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）连接，四边形就是所求作的矩形．
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形是矩形．
16．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)过点作，过点作，两线交于点，求证：四边形是菱形．
17．如图，在四边形中，，，E为边上一点，，连接、．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，，，求的长．
18．（1）如图，在 ABC中，用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线与的垂直平分线，它们相交于点D．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中，若，，且，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图）
19．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．在“三角形”一章学习中，我们曾做过“折纸”的数学活动，它常常能为证明一个命题提供思路和方法．
【操作】
操作①：取一张矩形纸，将边折叠到边上，折痕为，点A的对应点为C．（如图1）
操作②：将折叠到边上，折痕为．（如图2）
（1）填空：如图2中，若与恰好重合，则________；
【思考】
在操作①中，沿剪开，易得一张正方形纸．
操作③：把正方形对折后再展开，折痕为；
操作④：点N在边上，翻折，使得点B落在折痕上的点H处，连接．（如图3）
（2）求证：是等边三角形；
【探究】
操作⑤：把正方形对折后再展开，折痕为：
操作⑥：将沿翻折到位置，延长交于点Q，则点Q是的三等分点．（如图4）
（3）探究：点Q是的三等分点吗？为什么？
20．如图，在矩形中，，为边上一点，点在线段上，且满足，延长交边于点．
(1)若点为的中点，线段的长为________（用含的代数式表示）；
(2)连接，若，求证；
(3)当，时，求的最小值．
参考答案
一、单选题
1．D
解：∵四边形是平行四边形，
∴当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形，
逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合．
故选：D．
2．B
解：如图，过点D作轴于点M，作轴于点N，
∴四边形是矩形，
∴，
∵、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，
∴，
由翻折的性质得：，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴点E的坐标为．
故选：B
3．C
解：作轴于．
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，，
，
，
正方形的面积，
故选：C．
4．C
解：由作图痕迹得到平分，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，交于点O，如图，
∵，
而，
∴四边形为菱形，
∴，，，
在中，，
∴．
故选：C．
5．D
解：如图，延长至点G，使，交于点K，连接，设交于点M，过点F作，垂足为点N，则，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形的边长为6，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴ BCE≌ DCG，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最小时，最小，此时取得最小值，为，
∵，
∴当点B，E，C三点共线时，取得最小值，为3，
此时，
∴的最小值为．
故选：D
二、填空题
6．64
解：∵菱形中，，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∴．
故答案为：64．
7．
解：过点B作，使，连接，
根据勾股定理，得，
由三角形的三边关系得，当点A，P，E三点共线时，，此时取最大值，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值是．
故答案为：．
8．
解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
9．
解：如图，连接交于点O，
∵四边形是菱形，，
∴，，，，，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵垂直平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
10．
解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
解：如图，过点作于点，
由翻折可得，
四边形为长方形，
，
为的平分线，，
．
在中，，，
由勾股定理得，．
设，则．
，
即，
．
的长度为．
故答案为：．
12．①③
解：∵正方形中，，，
∴，，
∵ ADE沿对折至，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
即，
解得，，
∴，
∴，
即点G是中点，故①正确；
∴，
∴，
又∵，
∴不是等边三角形，
∴，故②错误；
的面积，
∵，
∴，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③．
故答案为：①③．
三、解答题
13．解：∵菱形的周长为4，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴矩形的面积．
14．（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵平分，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
15．证明：，平分，
，，
，
是 ABC的外角的平分线，
，
，
，
以为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形．
16．（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
由（1）可知，四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴平行四边形是菱形．
17．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
18．（1）解：如图，点D即为所求；
（2）解：如图，连接，，过点D作于点E，交的延长线于点F．
∵平分，
∴，
∵点D在线段的垂直平分线上，
∴，
∴（），
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
19．（1）解：四边形是矩形，
，
∵折叠，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
根据折叠可知，
，
，
故答案为：．
（2）证明：点N在边上，翻折，使得点B落在折痕上的点H处，
，
把正方形对折后再展开，折痕为；
，
，
是等边三角形；
（3）解：设正方形的边长为，
则，
根据折叠可得，，，
则，
连接，如图所示，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，即点Q是的三等分点．
20．（1）解：∵，点E为的中点，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图，延长、交于点F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，取的中点H，连接、，
∵，
∴，
在中，，
又∵，当B、P、H三点共线时，的值最小，
∴．