8.3 三角形的中位线 （含答案）初中数学苏科版（新教材）八年级下册

8.3《三角形的中位线》
一、单选题
1．如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，若，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法不正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形
3．如图， ABC中，，，，，，则的值为（ ）
A．6 B． C．7 D．8
4．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
5．如图，是 ABC内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
6．如图， ABC中，，点M、N分别为边、的中点，连接、、，若，则的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
7．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若点E，F分别为，的中点，连接，，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C．40 D．24
二、填空题
8．如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为_____ ．
9．如图，在中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是___________．
10．在四边形中，，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______．
11．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接，取的中点F，连接，若，则等于_____ ．
12．如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为_________．
13.如图，在平行四边形中，是边的中点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，若，则的长等于__________．
14．如图，在菱形中，、分别是边、上的动点（点、均不与点重合），连接分别是的中点，连接．若，则的最小值是_____
15．如图，在菱形中，为中点，是的中点，交对角线于点，连接，取中点，取中点，连接，若，，则的长度为______．
16．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接，则线段的最小值为____________．
三、解答题
17．如图，在 ABC中，是高，是中线，且是的中点．
(1)求证：DG CE；
(2)若，求的长．
18．如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，时，求的长．
19．如图，为 ABC的中线，为的中线．
(1)在中作边上的高，垂足为F；
(2)若 ABC的面积为，．
①的面积为_________；
②求中边上的高的长；
(3)过点E作，交于点，连接、且相交于点，若，，求．（用含m、n的代数式表示）
20．某初中数学小组在学完“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后分组进行了交流，请你根据各小组的内容解答问题．
(1)经典小组的同学们对该性质进行了证明：①下面是该小组的小亮截取的教材中的证明过程：
已知：如图1，在中，，CD是斜边AB上的中线． 求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵是斜边上的中线，∴．又∵， ∴四边形是平行四边形 I 又∵，∴四边形是矩形， Ⅱ ∴，∴．
该证明过程中：I处的判定定理是_______；Ⅱ处的判定定理是________；
②该小组的小红提供了另一种证明方法，请你根据下面的思路，完成证明．
如图2，取的中点D，连接，根据中位线定理和其他知识进行证明．
(2)创新小组在定理应用上进行了拓展：如图3，在四边形中，，，E，F分别为的中点，连接．若，平分，，过点E作于G，求的长．
21．如图，在 ABC中，，点D，E分别在，边上，分别连接、，点M、N、H分别是、、的中点，连接、、．
(1)试猜想是何特殊三角形，并说明理由；
(2)若，，求线段的长．
22．D、E分别是不等边三角形（即）的边、的中点．O是所在平面上的动点，连接、，点G、F分别是、的中点，顺次连接点D、G、F、E．

(1)如图，当点O在的内部时，求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，则与应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）
23．在正方形中，对角线与相交于点O，点F是线段上的动点，交线段于点E．
(1)如图1，若平分，
①求证：．
②若，求的长．
(2)如图2，连接．当时，请猜想与的数量关系，并说明理由．
24．如图①，在四边形中，如果对角线和相交且互相垂直，那么我们把这样的四边形称为垂角线四边形．
(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，______一定是垂角线四边形（填写图形名称）
②若M、N、P、Q分别是垂角线四边形的边、、、的中点，当对角线、还需要满足______时，四边形是正方形；
(2)已知在垂角线四边形中，，，，则
①如图②，当时，四边形的面积是______；
②如图③，当时，求四边形的面积；
参考答案
一、单选题
1．D
解：点，分别是，的中点，
四边形是菱形
菱形的周长．
2．B
解：∵ A：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
∵ B：对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），故错误；
∵ C：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；
∵ D：顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，正确；
∴ 不正确的是B．
故选：B．
3．C
解：如图，延长交于，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
∴是 BCF的中位线，
，
，
故选：C．
4．D
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵O是中点，E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：D．
5．C
解：，，，
，
、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长．
故选：C．
6．C
解：连接，
，点、分别为边、的中点，
是 ABC的中位线，是的中位线，是的中位线，
，
，
，，
．
故选：C．
7．B
解：∵四边形是平行四边形，，
∴是菱形，
∴；
∵点分别为的中点，
∴是的中位线，，
∴，
由（1）可知，四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴菱形的周长．
故选：B．
二、填空题
8．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点、分别是、的中点，
∴．
故答案为：3．
9．12
解：取的中点，连接，
∵四边形为平行四边形，
∴为的中点，
∵点为的四等分点，的中点，
∴点为的中点，
∵为的中点，
∴，
∵的中点，为的中点，
∴．
故答案为：．
10．
解：如图，、、、分别为、、、的中点，连接点、、、，
∴，，，，，（三角形的中位线定理），
∴，，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
∴矩形的面积．
故答案为：．
11．4
解：∵四边形是平行四边形，
∴点O为的中点，
∵点E是的中点，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
故答案为：4．
12．
解：如图所示，取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，

∵正方形边长为6，，
∴，，
∴，，
∵M、N分别是和的中点，
∴，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
∵
∴，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是正方形，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
故答案为：．
13．4
解：由题意可知，为对称轴，点为对应点，
连接交于点，
由折叠的性质可知，垂直平分，
，点为的中点，
是边的中点，
为 BCF的中位线，
设，则，
，
，
在中，，
在中，，
，
解得：，
．
故答案为：4
14．
解：如图，连接，
∵四边形为菱形，
∴，
∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当时，最小，也最小，则，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
15．
解：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵E为中点，是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵M为的中点，N为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
在中，过点O作于点P，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
解∶ 延长到，使，连接，如图∶
四边形是矩形，
，
，
将沿翻折得到，
，
当，，共线时，最小，最小值为；
点为的中点，，
是的中位线，
，
的最小值为；
故答案为：．
三、解答题
17．（1）证明：连接，如图所示：
在 ABC中，是高，则，
是中线，
点为边的中点，
则在中，，
，
，
则是等腰三角形，
是的中点，
是底边上的中线，
则由等腰三角形三线合一性质得到DG CE；
（2）解：在 ABC中，是高，若，则由等腰三角形三线合一性质可得是底边上的中线，
是的中点，
是的中点，
是的中位线，
则，
是中线，
点为边的中点，
则．
18．（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
又，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
、分别为、中点，
是的中位线，
，
，
，
．
19．（1）解：如图，作垂足为，
（2）解：①为 ABC的中线，
，
的面积为，
的面积为；
②为的中线，
，
∴，
；
（3）解：∵ ，为的中线，
是的中位线，
是的中线，
，，
，
又
．
20．（1）解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②证明：∵O是的中点，
∴是 ABC的中位线，
∴，
∵，
∴，即，
∴是的垂直平分线，
∴；
（2）在中，
由中点可知，，
在中，
∵E是中点，
∴，
∵，
∴，
由条件可知，
∵点E是中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴点G是的中点，
∴．
21．（1）解：是直角三角形，且，理由如下：
∵是的中位线，
∴，
∴，
同理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且．
（2）解：∵是的中位线，，
∴，
同理得：，
由（1）可知：，
∴．
∴线段的长为．
22．（1）证明: ∵分别是边的中点,
且，
同理，且，
∴且
∴四边形是平行四边形；
（2）当时，平行四边形是菱形.理由为：

分别是边的中点,
∴，
又∵，，
∴，
∴平行四边形是菱形．
23．（1）①证明：∵四边形是正方形
∴
∵平分
∴
∵，
∴
∴；
②过点E作于点F
∵
∴
∴
∵
∴
∵平分，，
∴；
（2）
取的中点M，连接
∵四边形是正方形
∴
∵M为的中点，
∴为的中位线
∴
在中，
∴
∵
∴
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴四边形为平行四边形
∴
∵
∴
24．（1）解，①∵菱形的对角线相交且互相垂直，
∴菱形一定是垂角线四边形，
故答案为：菱形；
②如下图所示，
∵M、N、P、Q分别是垂角线四边形的边、、、的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴
∴四边形是矩形，
当时，矩形是正方形，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：①设和交于点O，如下图所示，
∵，
∴和 AOB均为直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，四边形的面积为：，
故答案为：12；
②设和交于点O，过点C作于点H，如下图所示，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设，
得，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
解方程得，
∴，
∴．