七年级数学下册试题 8.4《乘法公式》---平方差公式--苏科版（含答案）

8.4《乘法公式》---平方差公式
一、单选题
1．下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（x+y）（x﹣y） B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．（x+y）（﹣x﹣y） D．（x+y）（﹣x+y）
2．下列各式计算正确的是（　　）
A．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2
B．（2a﹣b）（b﹣2a）＝4a2﹣b2
C．（2a+b）（﹣2a﹣b）＝4a2﹣4ab+b2
D．（﹣2a﹣b）2＝4a2+4ab+b2
3．下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（　　）
A．（a+2b）（2b﹣a） B．（2a+b）（a﹣2b）
C．（a﹣b）（﹣a+b） D．（﹣a﹣b）（a+b）
4．若a＝2024×2026，b＝20242+2×2024+1，则下列判断正确的是（　　）
A．a＝b﹣1 B．a＝b C．a＝b+1 D．a＝b﹣2024
5．已知M＝20252，N＝2024×2026，则M与N的大小关系是（　　）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定
6．利用平方差公式计算20262﹣2027×2025的结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
7．（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝8，则x2+y2的值是（　　）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
二、填空题
8．计算（2y﹣1）（2y+1）的结果为　 　 ．
9．计算252﹣23×27的结果为　 　 ．
10．已知x2﹣2＝x，则代数式（x+2）（x﹣2）﹣x的值为　 　 ．
11．计算：1002025×1002027﹣10020262＝　 　 ．
12．（1）（1）（1）…（1）＝　 　 ．
三、解答题
13．计算：（2x+3）（2x﹣3）（4x2+9）．
14．化简：3x（2x﹣1）﹣（﹣3x﹣4）（3x﹣4）．
15．计算：（a﹣1）（a+1）（a2+1）．
16．【问题背景】“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，应用极为广泛．例如：已知2x﹣y＝1，求代数式2025+2x﹣y的值．解：当2x﹣y＝1时，原式＝2025+1＝2026．
【尝试运用】
（1）已知x2﹣2y＝4，求3（x2﹣2y）﹣21的值；
（2）已知x+2y﹣3＝0，x﹣2y+5＝0，求（x+2y）（x﹣2y）+10的值．
17．已知A＝（2y﹣x）（﹣2y﹣x），B＝4y（x﹣2y）．
（1）对A，B进行整式乘法运算；
（2）甲、乙两位同学用如下方法比较A，B的大小．
作差法：a﹣b与0比较；若大于0，则a大；小于0，则b大；等于0，相等．
甲认为：A大于B；
乙认为：A不小于B．
通过计算判断谁的说法正确．
18．完成项目式学习表：
课题任务 代数推理
人员/日期 七（4）班张瑾峣，李一飞，李远航 2025年6月3日
观察 （1+7）2﹣12＝9×7；（3+7）2﹣32＝13×7.
猜想 比任意一个奇数大7的数与此奇数的平方差能被7整除.
求索 （1）（5+7）2﹣52＝　 　 ×7；
论证 （2）设奇数为2m+1（m为整数），试说明比2m+1大7的数与2m+1的平方差能被7整除；
延伸 （3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数是几？请说明理由．
19．已知：整式A＝2t+3，B＝2t﹣3，t为任意有理数．
（1）A B+13的值可能为负数吗？请说明理由；
（2）请通过计算说明：当t是整数时，A2﹣B2的值一定能被24整除．
20．【实践操作】从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b（a＞b＞0）的小正方形纸板后，将剩余部分（阴影）裁剪成四个相同的等腰梯形（如图1所示），然后拼成一个平行四边形（如图2所示）．
（1）观察图1，图中阴影部分的面积为　　 　　 ；
（2）观察图2，图中平行四边形的底边长为　　 　　 ；底边上的高为　　 　　 ；平行四边形的面积为　　 　　 （不必化简）；
【归纳总结】（3）观察图1，图2，可验证的乘法公式为　 　　 　 ；
【变式应用】（4）利用上述乘法公式计算：（﹣0.1m﹣0.3n）（0.3n﹣0.1m）+0.9n2．
21．如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示．
（1）上述操作能验证的等式是　 　 ；
（2）应用所得的公式计算：20262﹣2024×2028；
（3）试利用这个公式化简：（23+1）×（26+1）×（212+1）．
22．边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是　 　；（请选择正确的一个选项）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
（2）若x2﹣y2＝12，x+y＝4，求x﹣y的值；
（3）计算：．
23．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．
例如：12＝42﹣22，20＝62﹣42，28＝82﹣62；则12、20、28这三个数都是完美数．
（1）按照上述规律，将完美数2036表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）；
（2）说明：任意一个完美数都能够被4整除；
（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数…按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为32，求阴影部分的总面积．
参考答案
一、单选题
1．解：A、（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意；
B、（﹣x+y）（﹣x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意；
C、（x+y）（﹣x﹣y）＝﹣（x+y）（x+y），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
D、（x+y）（﹣x+y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意．
故选：C．
2．解：（A）原式＝4a2﹣4ab+b2，故A错误；
（B）原式＝﹣（2a﹣b）（2a﹣b）＝﹣（4a2﹣4ab+b2）＝﹣4a2+4ab﹣b2，故B错误；
（C）原式＝﹣（2a+b）（2a+b）＝﹣（4a2+4ab+b2）＝﹣4a2﹣4ab﹣b2，故C错误；
故选：D．
3．解：A、（a+2b）（2b﹣a）＝4b2﹣a2，故A不符合题意；
B、（2a+b）（a﹣2b）不能用平方差公式进行计算，故B不符合题意；
C、（a﹣b）（﹣a+b）＝﹣（a﹣b）2，故C不符合题意；
D、（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）2，故D不符合题意；
故选：A．
4．解：通过完全平方公式和平方差公式，将a和b的表达式变形可得：
b＝20242+2×2024+1＝（2024+1）2＝20252，
又∵a＝2024×2026＝（2025﹣1）（2025+1）＝20252﹣1，
∴a＝b﹣1．
故选：A．
5．解：N＝2024×2026＝（2025﹣1）（2025+1）＝20252﹣1，
∵20252＞20252﹣1，
∴M＞N，
故选：A．
6．解：原式＝20262﹣（2026+1）×（2026﹣1）
＝20262﹣（20262﹣1）
＝20262﹣20262+1
＝1，
故选：B．
7．解：设x2+y2＝t，则原方程转化为（t+1）（t﹣1）＝8，
整理得t2＝9，
解得：，
∴x2+y2＝3，
故选：A．
二、填空题
8．解：（2y﹣1）（2y+1）
＝（2y）2﹣12
＝4y2﹣1，
故答案为：4y2﹣1．
9．解：原式＝252﹣（25﹣2）×（25+2）
＝252﹣（252﹣22）
＝4．
故答案为：4．
10．解：∵x2﹣2＝x，
∴x2﹣x＝2，
∴（x+2）（x﹣2）﹣x
＝x2﹣4﹣x
＝2﹣4
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
11．解：设n＝1002026，则1002025＝n﹣1，1002027＝n+1，
1002025×1002027﹣10020262
＝（n﹣1）（n+1）﹣n2
＝n2﹣1﹣n2
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．解：（1）（1）（1）…（1）
＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）...（1）（1）
...
．
故答案为：．
三、解答题
13．解：（2x+3）（2x﹣3）（4x2+9）
＝（4x2﹣9）（4x2+9）
＝16x4﹣81．
14．解：原式＝6x2﹣3x﹣（﹣9x2+16）
＝6x2﹣3x+9x2﹣16
＝15x2﹣3x﹣16．
15．解：原式＝（a2﹣1）（a2+1）
＝a4﹣1．
16．解：（1）由条件可得3（x2﹣2y）﹣22
＝3×4﹣22
＝﹣10；
（2）由条件可得x+2y＝3，x﹣2y＝﹣5，
∴（x+2y）（x﹣2y）＝3×（﹣5）＝﹣15，
∴x2﹣4y2＝﹣15，
∴x2﹣4y2+10＝﹣15+10＝﹣5．
17．解：（1）A＝（2y﹣x）（﹣2y﹣x）
＝x2﹣4y2；
B＝4y（x﹣2y）
＝4xy﹣8y2；
（2）A﹣B＝（x2﹣4y2）﹣（4xy﹣8y2）
＝x2﹣4xy+4y2
＝（x﹣2y）2，
由条件可得A﹣B≥0，
∴A≥B，
∴乙说得对．
18．解：（1）（5+7）2﹣52＝144﹣25＝119＝17×7，
故答案为：17；
（2）设较小奇数为2m+1（m为整数），则较大的奇数为2m+1+7＝2m+8，
∵（2m+8）2﹣（2m+1）2＝（2m+8+2m+1）（2m+8﹣2m﹣1）＝7（4m+9），
∴比2m+1大7的数与2m+1的平方差能被7整除；
（3）设这个整数为n，由题意得，
（n+7）2﹣n2＝14n+49＝14（n+3）+7，
所以比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数是7．
19．（1）解：A B+13的值不可能为负数，理由如下：
∵A B+13＝（2t+3）（2t﹣3）+13＝4t2﹣9+13＝4t2+4，
∴4t2≥0，
∴4t2+4＞0
∴A B+13的值不可能为负数；
（2）证明：A2﹣B2＝（2t+3）2﹣（2t﹣3）2＝24t，
∵t是整数，
∴24t一定能被24整除，
∴当t是整数时，A2﹣B2的值一定能被24整除．
20．解：（1）∵从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b（a＞b＞0）的小正方形，
∴图中阴影部分的面积为：a2﹣b2．
故答案为：（a2﹣b2）；
（2）∵从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将剩余部分拼成一个平行四边形，
∴平行四边形的底边长为：a+b；
底边上的高为：a﹣b；
平行四边形的面积为：（a+b）（a﹣b）．
故答案为：（a+b）；（a﹣b）；（a+b）（a﹣b）；
（3）∵两个图中的阴影部分的面积相等，
即图1中阴影部分的面积为a2﹣b2，图2中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴可验证的乘法公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）由（3）知：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
∴（﹣0.1m﹣0.3n）（0.3n﹣0.1m）+0.9n2
＝（﹣0.1m﹣0.3n）（﹣0.1m+0.3n）+0.9n2
＝（﹣0.1m）2﹣（0.3n）2+0.9n2
＝0.01m2﹣0.09n2+0.9n2
＝0.01m2+0.81n2．
21．解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2；
图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）；
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝20262﹣（2026﹣2）×（2026+2）
＝20262﹣（20262﹣22）
＝20262﹣20262+22
＝4；
（3）原式
．
22．解：（1）∵边长为a的正方形面积是a2，边长为b的正方形面积是b2，
∴图①阴影部分面积为a2﹣b2；图②长方形面积为（a+b）（a﹣b）；
则验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：B；
（2）∵x2﹣y2＝12，
∴（x+y）（x﹣y）＝12，
∵x+y＝4，
∴4（x﹣y）＝12，
∴x﹣y＝3；
（3）原式
．
23．（1）解：2036 ＝5102﹣5082；
（2）证明：设两个连续的偶数为2n、2（n+1），n为正整数，则完美数为[2（n+1）]2﹣（2n）2，
∴[2（n+1）]2﹣（2n）2
＝[2（n+1）﹣2n][2（n+1）+2n]
＝4（2n+1），
由条件可知2n+1为奇数，
∴4（2n+1）能被4整除，
即任意一个完美数都能够被4整除；
（3）解：根据题意，得42﹣22+82﹣62+ 322﹣302
＝（4﹣2）（4+2）+（8﹣6）（8+6）+ +（32﹣30）（32+30）
＝2（4+2）+2（8+6）+ +2（32+30）
＝2（2+4+6+8+…+30+32）
＝2
＝544．