七年级数学下册试题 8.4《乘法公式》---完全平方公式--苏科版（含答案）

8.4《乘法公式》---完全平方公式
一、单选题
1．小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2● +25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（　　）
A．+10xy B．+10xy或﹣10xy
C．+20xy D．+20xy或﹣20xy
2．已知a+b＝5，ab＝6，则a2+b2＝（　　）
A．13 B．19 C．26 D．31
3．已知a＝x+2026，b＝x+2024，c＝x+2025，当a2+b2＝8，则c2的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．8
4．两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（　　）
A．12 B．18 C．24 D．36
5．已知：x﹣y＝5，（x+y）2＝49，则x2+y2的值等于（　　）
A．37 B．27 C．25 D．44
6．已知（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，则（x﹣2025）2的值是（　　）
A．11 B．13 C．15 D．19
7．若多项式9x2﹣（a+1）xy+16y2是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　）
A．25 B．23 C．25或﹣23 D．﹣25或23
8．若m+n＝6，mn＝4，则m2+4mn+n2的值为（　　）
A．40 B．44 C．48 D．52
二、填空题
9．若a+b＝1，则3a2+6ab+3b2＝　　 ．
10．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式，若6，则x＝　　 ．
11．已知多项式（2x﹣1）2＝ax2+bx+c，则a+b+c＝　　 ．
三、解答题
12．计算：（2a﹣b+3c）2．
13．计算：
（1）； （2）（2m﹣1）（3m+1）．
计算：
15．先化简，再求值：（x﹣y）2﹣5x（x+y）+（2x+y）（2x﹣y），其中x＝﹣1，y＝2．
16．先化简，再求值：（2x+y）2﹣2（x+2y）（2x﹣y），其中，y＝1．
17．先化简（a+1）（a﹣1）+a（1﹣a）﹣a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系？（不必说理）．
18．对于任意一个三位正整数，我们可以记为，即（0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，且a，b，c均为整数）．若规定：对三位正整数进行F运算，得到整数a3+b2+c1．例如，F（204）＝23+02+41＝12．
（1）计算：F（168）；
（2）当b＝m+2时，证明：的结果一定是4的倍数．
19．阅读材料：华东师大版八年级上册教材42页为大家介绍了贾宪三角．
如果将（a+b）n（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： （a+b）0＝1，等式右边只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，等式右边有两项，系数分别为1，1； （a+b）2＝a2+2ab+b2，等式右边有三项，系数分别为1，2，1； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，等式右边有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述等式右边每个式子的各项系数排成下表： 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写．
结合以上材料解决以下问题：
（1）（a+b）6的展开式共 　　 项，其中最中间一项的系数为 　　 ；
（2）已知（m+n）3＝m3﹣3×2m2+3×4m﹣8，请直接写出n的值：　　 ；
（3）如果已知（2x﹣1）2025＝a1x2025+a2x2024+a3x2023+…+a2024x2+a2025x+a2026，求a2026和代数式a1+a2+a3+…+a2024+a2025的值．
20．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 　 ．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 　 ．
【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝　　 ．
（2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和．
21．现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a，b的关系式：（用含a，b的代数式表示出来）
图1表示：　　 　 　 ；
图2表示：　　 　 　 ；
（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若（7﹣m）（5﹣m）＝9，求（7﹣m）2+（5﹣m）2的值；
（3）如图3，长方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，AE＝40，CG＝26，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．延长MP至T，使PT＝PQ，延长MF至O，使FO＝FE，过点O，T作MO，MT的垂线，两垂线相交于点R，请直接写出四边形MORT的面积．（结果为具体的数值）
22．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是AB边上一动点，PQRS是正方形ABCD的内接正方形，PA＝a，PB＝b．求a2+b2的最小值．
23．王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0，
所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0．
所以（x+2）2+1≥1．
所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
所以x2+4x+5的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题
（1）当x＝　　 　 时，x2+6x﹣15有最小值是 　　 　
（2）多项式﹣x2+2x+18有最 　　 　 （填“大”或“小”）值，该值为 　　 　
（3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值
（4）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长．
24．定义：对于依次排列的多项式x+a，x+b，x+c，（a，b，c，是常数），当它们满足（x+b）2﹣（x+a）（x+c）＝M，且M为常数时，则称a，b，c是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式x+1，x+3，x+5，因为（x+3）2﹣（x+1）（x+5）＝4，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子．
（1）已知2，4，6是一组完美数，求该组完美数的完美因子M；
（2）当a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数，并说明理由．
参考答案
一、单选题
1．解：4x2＝（2x）2，25y2＝（5y）2，
∵（2x±5y）2＝4x2±20xy+25y2，
∴墨迹覆盖的这一项是±20xy，
故选：D．
2．解：∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+2ab+b2＝25，
∵ab＝6，
∴a2+b2＝25﹣2×6＝13，
故选：A．
3．解：∵a＝x+2026，b＝x+2024，a2+b2＝8，
∴（x+2026）2+（x+2024）2＝8，
∴[（x+2025）+1]2+[（x+2025）﹣1]2＝8，
∴（x+2025）2+2（x+2025）+1+（x+2025）2﹣2（x+2025）+1＝8，
∴2（x+2025）2+2＝8，
∴（x+2025）2＝3，
即c2＝3，
故选：A．
4．解：如图，设AB＝CD＝CE＝FG＝x，AD＝BC＝EF＝CG＝y，
∴，
解得x＝4或x＝﹣4（负值舍去），
∴y＝8，
∴2（x+y）＝24，
故选：C．
5．解：将x﹣y＝5两边平方得：（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝25①，
再由（x+y）2＝x2+y2+2xy＝49②，
①+②得：2（x2+y2）＝74，
则x2+y2＝37．
故选：A．
6．解：设t＝x﹣2025，则x＝t+2025，
∴（x﹣2023）2＝（t+2025﹣2023）2＝（t+2）2，（x﹣2027）2＝（t+2025﹣2027）2＝（t﹣2）2，
∵（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，
∴（t+2）2+（t﹣2）2＝38，
∴t2+4t+4+（t2﹣4t+4）＝38，
∴t2+4t+4+t2﹣4t+4＝38，
∴2t2+8＝38，
解得：t2＝15，
∴（x﹣2025）2＝（t+2025﹣2025）2＝t2＝15．
故选：C．
7．解：由条件可知﹣（a+1）xy＝±2×3x×4y＝±24xy，
∴a+1＝±24，
∴a＝﹣25或23．
故选：D．
8．解：∵m+n＝6，mn＝4，
∴m2+4mn+n2＝（m+n）2+2mn＝62+2×4＝44．
故选：B．
二、填空题
9．解：3a2+6ab+3b2
＝3（a2+2ab+b2）
＝3（a+b）2，
当a+b＝1时，原式＝3×12＝3．
故答案为：3．
10．解：定义ad﹣bc，
可得（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）2＝6，
解得：x＝4，
故答案为：4
11．解：（2x﹣1）2＝4x2﹣4x+1，
∵（2x﹣1）2＝ax2+bx+c，
∴a＝4，b＝﹣4，c＝1，
∴a+b+c＝4+（﹣4）+1＝1，
故答案为：1．
三、解答题
12．解：将原式化为[（2a﹣b）+3c]2，再由完全平方公式展开计算可得：
原式＝[（2a﹣b）+3c]2
＝（2a﹣b）2+（3c）2+2（2a﹣b） 3c
＝4a2+b2﹣4ab+9c2+12ac﹣6bc．
13．解：（1）
＝16x2﹣4xyy2；
（2）（2m﹣1）（3m+1）
＝6m2+2m﹣3m﹣1
＝6m2﹣m﹣1．
14．解：设20012000＝x，则
原式．
15．解：原式＝x2﹣2xy+y2﹣5x2﹣5xy+4x2﹣y2
＝﹣7xy，
当x＝﹣1，y＝2时，
原式＝﹣7×（﹣1）×2
＝14．
16．解：（2x+y）2﹣2（x+2y）（2x﹣y）
＝4x2+4xy+y2﹣2（2x2﹣xy+4xy﹣2y2）
＝4x2+4xy+y2﹣4x2+2xy﹣8xy+4y2
＝5y2﹣2xy，
当，y＝1时，原式＝5×12﹣2×（）×1
＝5×1+1
＝5+1
＝6．
17．解：原式＝a2﹣1+a﹣a2﹣a
＝﹣1．
该代数式与a的取值没有关系．
18．（1）解：F（168）＝13+62+81＝45；
（2）证明：
＝a3+b2+c1﹣（a3+m2+c1）
＝b2﹣m2
＝（m+2）2﹣m2
＝4m+4
＝4（m+1），
∴4（m+1）是4的倍数，
即的结果一定是4的倍数．
19．解：（1）根据题意，可得（a+b）6展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1，
最中间项的系数是20．
故答案为：七，20；
（2）∵（m+n）3＝m3+3m2n+3mn2+n3，（m+n）3＝m3﹣3×2m2+3×4m﹣8，
又（m+n）3＝m3﹣3×2m2+3×4m﹣8＝m3+3×m2×（﹣2）+3×m×（﹣2）2+（﹣2）3，
∴n＝﹣2．
故答案为：﹣2；
（3）由题意可得：
∴当x＝0时，（2×0﹣1）2025＝a2026，
∴a2026＝﹣1；
∵当x＝1时，，
∴a1+a2+a3+ +a2024+a2025＝2．
20．解：【教材原题】：观察图①可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
【类比探究】：观察图②可得，图中阴影部分图形的面积和＝a2+b2，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
【应用】：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣10＝90，
故答案为：90；
（2）（11﹣x）2+（x﹣8）2＝[（11﹣x）+（x﹣8）]2﹣2（11﹣x）（x﹣8）＝9﹣4＝5，
∴（11﹣x）2+（x﹣8）2的值是5；
【拓展】：∵AC⊥BD，AE＝DE，BE＝CE，
∴S△ADEAE2，S△BECCE2，
∵种花区域的面积和为，
∴AE2+CE2＝25，
∵AC＝7，
∴AE CE＝12，
∴AE BE＝DE CE＝12，
∴种草区域的面积和（AE BE+DE CE）＝12．
21．解：（1）图1中，由图可知，，
由题意得，S大正方形＝S组成正方形的四部分的面积之和，即（a+b）2＝a2+b2+2ab；
图2中，由图可知，S四个长方形＝4ab，，
由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形，即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）由图1可得：（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴[（7﹣m）﹣（5﹣m）]2＝（7﹣m）2+（5﹣m）2﹣2（7﹣m）（5﹣m），
∴（7﹣m）2+（5﹣m）2＝[（7﹣m）﹣（5﹣m）]2+2（7﹣m）（5﹣m）＝22+2（7﹣m）（5﹣m），
∵（7﹣m）（5﹣m）＝9，
∴（7﹣m）2+（5﹣m）2＝22+2×9＝22．
（3）∵DG＝DC﹣CG，ED＝AD﹣AE，
∴DG＝x﹣26，ED＝2x﹣40，
∴MO＝MT＝（2x﹣40）+2（x﹣26），
∵长方形EFGD的面积是200，
∴（2x﹣40）（x﹣26）＝200，
∴2（2x﹣40）（x﹣26）＝400，
令b＝2（x﹣26），a＝2x﹣40，
∴a﹣b＝12，ab＝400，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝144，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝144+2×400＝944，
∴四边形MORT的面积＝MT2＝（a+b）2＝a2+b2+2ab＝944+800＝1744．
22．解：∵正方形ABCD的边长为2，
∴AB＝PA+PB＝2，
∵PA＝a，PB＝b，
∴a+b＝2，
∴b＝2﹣a，
∴a2+b2
＝a2+（2﹣a）2
＝a2+4﹣4a+a2
＝2a2﹣4a+4
＝2（a﹣1）2+2，
∵（a﹣1）2≥0，
∴2（a﹣1）2≥0，
∴2（a﹣1）2+2≥2，
∴a2+b2≥2，
∴a2+b2的最小值为2．
23．解：（1）x2+6x﹣15＝（x+3）2﹣24，
∵（x+3）2≥0，
∴当x＝﹣3时，（x+3）2的值最小，最小值是0，
∴（x+3）2﹣24≥﹣24，
∴当（x+3）2＝0时，（x+3）2﹣24的值最小，最小值是﹣24，
∴x2+6x﹣15的最小值是﹣24；
故答案为：﹣3，﹣24；
（2）﹣x2+2x+18＝﹣（x﹣1）2+19，
∵（x﹣1）2≥0，
∴当x＝1时，﹣（x﹣1）2的值最大，最大值是0，
∴﹣（x﹣1）2+19≤19，
∴当（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+19的值最大，最大值是19；
故答案为：大，19；
（3）∵﹣x2+5x+y+20＝0，
∴y＝x2﹣5x﹣20，
∴y+x＝x2﹣5x﹣20+x＝x2﹣4x﹣20＝（x﹣2）2﹣24，
∵（x﹣2）2≥0，
∴当x＝2时，（x﹣2）2的值最小，最小值是0，
∴（x﹣2）2﹣24≥﹣24，
∴当（x﹣2）2＝0时，（x﹣2）2﹣24的值最小，最小值是﹣24；
∴y+x的最小值是﹣24；
（4）∵a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，
∴（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，
∴a＝1，b＝4，
∴边长c的范围为4﹣1＜c＜4+1．
∵a，b，c都是正整数，
∴边长c的值为4，
∴△ABC的周长为1+4+4＝9．
24．解：（1）根据题意，得M＝（x+4）2﹣（x+2）（x+6）
＝x2+8x+16﹣（x+8x+12）
＝4；
（2）2b﹣a﹣c＝0．
理由：假设a，b，c是完美数，
则（x+b）2﹣（x+a）（x+c）结果为常数，
原式＝x2+2bx+b2﹣[x2+（a+c）x+ac]
＝（2b﹣a﹣c）x+b2﹣ac，
∵结果为常数，
∴2b﹣a﹣c＝0．