2026学年八年级数学下学期第一次月考测试卷（19-20章）--人教版（含答案）

2026学年八年级数学下学期第一次月考测试卷（19-20章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，，是一组勾股数，则的数为（　　）
A．2 B．3 C．6 D．7
3．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．下列式子不是的有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）

A． B． C．3 D．2
7．设n 为正整数且，则n的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1012 B．2023 C．2024 D．2025
9．已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（ ）
A． B． C． D．
10．两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若与可以利用加法的结合律进行运算（即：它们可以合并），则最小的正整数a是__________．
12．在中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则这样的三角形的面积是__________
13．化简：_____；
14．第14届数学教育大会（ICME－14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则大正方形的面积为______．
15．若，则______．
16．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：
(1)； (2)．
18．（6分）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为，的三个顶点都在格点上，且．
(1)图中已画出，请画出，得到；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)边上高的长度是 ．
19．（8分）代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟新径，事半功倍．阅读下列短文：已知 ，求的值．分析与解答；
∵，
∴ ，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据上面的分析过程，解决如下问题：
(1)计算 ______；
(2)若 ，求值．
20．（8分）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”．
(1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ；
(2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值．
21．（10分）如图，在五边形中，，，，，，，，连接、．

(1)求和的长；
(2)求五边形的面积．
22．（10分）我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数．
(1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________；
(2)请再举一例证明猜想成立．
23．（12分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？
24．（12分）阅读材料：
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；…
小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明：
根据题意，得，移项可得．
根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得．
整理得．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程．
(2)若和为两个相邻整数，则的值是．
(3)若和为相差的两个整数，求的值．
参考答案
一、选择题
1．D
解：∵，∴A选项错误．
∵，∴B选项错误．
∵与是不同的最简二次根式，不能合并为，∴C选项错误．
∵，∴D选项正确．
2．B
解：当为直角边时，，是正整数，符合题意，
当为斜边时，，不是正整数，不符合题意，
故选：B．
3．D
解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
对于A选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
对于B选项：的被开方数含分母，不是最简二次根式；
对于C选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式；
对于D选项：的被开方数不含分母，且5不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
故选：D．
4．A
解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得：
故选：A．
5．C
∵ 有理化因式应使乘积不含根式，
A．，不含根式；
B．，不含根式；
C．，仍含根式；
D．，不含根式．
∴ 选项C不是有理化因式．
故选：C．
6．A
解：点是边的中点，
，
由翻折的性质得，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
故选：A．
7．A
解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
8．D
解：设直角三角形的两条直角边为，斜边为，
，
正方形的边长为，
生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为，
故“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是，
故选D．
9．D
解：∵，
∴，
∴或或化简后为被开方数为2的同类二次根式，
当时，此时不是整数，不符合题意；
当时，此时，符合题意；
当化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设，
∴，
∴，
当时，，符合题意，此时，故；
当时，，符合题意，此时，故；
综上：；
故选D．
10．C
解：由题意得，海里，海里，，
∵，，
∴，
∴点三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴乙船的航向为南偏东或北偏西，
故选：．
二、填空题
11．3
解： 与 可以合并，，
则 与 是同类二次根式，
即 （ 为正整数），
两边平方得 ，
当 时， 取最小值，即 ，
验证： 与 可以合并，
故答案为：3．
12．54
解：，
为直角三角形，
这个三角形的面积是，
故答案为：54
13．
解：，
故答案为：．
14．34
解：由题意得，，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵为直角三角形，
∴，
∴大正方形的面积为34，
故答案为：34．
15．
解：∵，
∴ ， ，
解得 ，，
∴，
∴ ，
故答案为：．
16．73
解：∵，
∴，
在和中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴.
故答案为：73．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：为直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴为直角三角形；
（3）解：设边上高的长度为，
则，
即，
∴，
故答案为：．
19．（1）解：；
（2）解：，
∴ ，
，即，
∴，
∴．
20．（1）解：与是互为“6相关代数式”，
，
；
（2）解：与是互为“相关代数式”，
，
整理得，，
是有理数，
，，
解得．
21．（1）解：，，
，，
，，
，，，，
，，
，；
（2）解：，
，
，
五边形的面积为：
．
22．（1）解：当a为10，则，，
故答案为：24，26；
（2）解：若最小数，
则，，
∵
∴猜想成立．
23．（1）解：根据题意得．
，
，
答：绳子的总长度为；
（2）解：∵滑块B向左滑动了，
即，
，
在中，，
由（1）得绳子的总长度为，
，
∴物体C升高的高度
答：此时物体C升高了．
24．（1）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得，
故答案为：；
（2）解：由题意可知，，
∴，即，
故答案为：.
（3）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得：
∴，
∴，
∴．