第二单元因数和倍数（单元测试提升卷）（含答案解析）-2025-2026学年五年级数学下册培优讲练侧（人教版）

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第二单元因数和倍数（单元测试提升卷）
一、选择题（共16分）
1．“活力”舞蹈队在排练时都要排成每行人数相等的队形（至少两行），舞蹈队的人数不可能是（ ）。
A．87人 B．78人 C．71人 D．45人
2．从0、1、5、9这四个数字中任选三个数字组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是3和5的倍数，这个三位数最大是（ ）。
A．150 B．910 C．590 D．510
3．被称为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想，是数学中一个著名的难题。猜想认为：每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。下列式子中能反映这个猜想的是（ ）。
A．8＝1＋7 B．11＝9＋2 C．18＝3＋15 D．20＝7＋13
4．把分别写着1－9的9张数字卡片反扣在桌面，打乱顺序后，任意摸出一张，摸到（ ）的可能性最大。
A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数
5．在1、2、4、9这4个数中，任意用两个不同的数相乘，积是（ ）可能性最大。
A．质数 B．合数 C．既不是质数也不是合数 D．无法确定
6．一个三位数，既是2和5的倍数，又是3的倍数，这个数最小是（ ）。
A．100 B．120 C．150 D．180
7．一个数既是72的因数，又是18的倍数，这样的数有（ ）个。
A．2 B．3 C．4 D．6
8．M＝2×3×7，M的因数一共有（ ）个。
A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题（共16分）
9．乐乐家的密码门锁是四位数ABCD，密码是2、5的倍数，A是一位数中最大的偶数，B是最小的合数，C既不是质数也不是合数。密码是( )。
10．用一些大小一样的小正方形（大于1个）只能摆成一种长方形，这些小正方形的个数一定是( )数。（填“质”或“合”）
11．阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：？11.4？元请问总价应该是( )。
12．一个两位数，既是3的倍数，又有因数5，那么这个数最大是( )；如果是偶数，那么这个数最小是( )。
13．4□□□是有两个相同数字的四位数，并且同时是2，3和5的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。
14．一个数最大因数和最小倍数的和是36，这个数是( )，它有( )个因数。
15．小兔子今年种植的白萝卜大丰收，它上午收割了54个白萝卜后，准备将收割的萝卜装在一些篮子里，如果装成2篮，每篮( )个；如果要求每个篮子（至少2个篮）装得同样多，共有( )种不同的装法。
16．有六个水果箱，每箱里放的是同一种水果，其中只有一箱放的是香蕉，其余都是苹果和梨。已知所放水果的重量分别是1、3、12、21、17、35千克，且苹果的重量是梨的5倍。香蕉有( )千克。
三、判断题（共8分）
17．“”的积是奇数。( )
18．在非零自然数中，一个数不是质数就是合数。( )
19．小红晚上开着灯做作业时突然停电了，她放下作业，走到电灯开关处，拉了8下开关（拉线开关）。当来电时，小红房里的灯一定是亮着的。( )
20．一个非零自然数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身。( )
四、作图题（共6分）
21．用16个小正方形拼成长方形或正方形，有几种不同的拼法？请在下面的方格纸中画一画。
五、解答题（共54分）
22．一个四位数，其千位上的数字是最小的质数，百位上的数字是最小的自然数，十位上的数字既不是质数，也不是合数，个位上的数字是最小的合数，这个数是多少？
23．妈妈只买了如图中的这一种饮料，给了售货员100元，找回24元。找的钱对吗？为什么？
24．五（1）班学生把二十几张书法作品张贴在教室墙壁上。如果每排贴5张，剩余的张数不够贴一排且是一个偶数。这些书法作品有可能是多少张？
25．小花有些糖块，数量在40～50之间。如果3个3个地数，刚好数完，如果5个5个地数余3个，小花有多少个糖块？
26．有一组图片，比40张多，比50张少，如果按4张分为一组，剩1张；如果按5张分为一组，还剩4张，这些图片有多少张？
27．为了保护铁路线免受沙漠掩埋，经常会采用“草方格沙障”固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状，现计划在一条铁路沿线设置32个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？有几种不同的排法？
28．五年级有36名同学一起做游戏，老师让他们自己分成人数相等的若干小组，要求组数大于2，小于10，可以分成几组？
29．一个长方形花坛的长和宽是相邻的两个整数，长是一个质数，宽是一个合数，并且周长是18米。
（1）长方形的长是（ ）米，宽是（ ）米。
（2）如果花坛里面种满花，共花了696元，每平方米需要多少元？
（3）如果在这个花坛的四周铺一条1米宽的小路，每平方米需要铺水泥2.5吨，铺完这条小路需要多少吨水泥？
参考答案
1．C
【分析】因数是指整数a除以整数b（b不为0）的商正好是整数，并且没有余数，我们就说b是a的因数。要排成至少2行的队形，说明舞蹈队的人数的因数至少有3个。据此解题。
【详解】A．87的因数有1、3、29和87，所以87人可以排成每行3人或每行29人；
B．78的因数有1、2、3、6、13、26、39和78，所以78人可以排成每行2人或每行3人或每行6人或每行13人或每行26人或每行39人；
C．71的因数只有1和71，所以71只能排成每行1人或每行71人，每行1人换个角度看也就是每行71人，所以只有1行，不符合题意；
D．45的因数有1、3、5、9、15和45，所以45人可以排成每行3人或每行5人或每行9人或每行15人。
所以，舞蹈队的人数不可能是71人。
故答案为：C
2．D
【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。5的倍数特征：个位上是0或5的数。3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。因为这个数既是2的倍数又是5的倍数，所以个位上必须是0。个位是0，那么百位和十位从1、5、9中选两个数字。
要使这个三位数最大，百位应选最大的数字9，然后看十位选5还是1。当百位是9，十位是5时，各位数字之和为9＋5＋0＝14，14不是3的倍数。当百位是9，十位是1时，各位数字之和为9＋1＋0＝10，10不是3的倍数。再尝试百位选5，十位选1时，各位数字之和为5＋1＋0＝6，6是3的倍数，这个数是510。
【详解】既是2的倍数又是5的倍数，个位必须是0；
百位选9，十位选5时；
9＋5＋0＝14
14不是3的倍数，所以950不是3的倍数。
百位选9，十位选1时；
9＋1＋0＝10
10不是3的倍数，所以910不是3的倍数。
百位选5，十位选1时；
5＋1＋0＝6
6÷3＝2
这个三位数最大是510。
故答案为：D
3．D
【分析】分析各选项中的算式是否符合“每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和”，符合的算式即能反映这个哥德巴赫猜想。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
【详解】A．8＝1＋7中，1既不是质数又不是合数，不能反映哥德巴赫猜想；
B．11＝9＋2中，11是奇数，不是偶数，不能反映哥德巴赫猜想；
C．18＝3＋15，15是合数，不是质数，不能反映哥德巴赫猜想；
D．20＝7＋13中，20是大于4的偶数，7、13既是奇数又是质数，能反映哥德巴赫猜想。
故答案为：D
4．C
【分析】1－9的9个数字，其中的质数是2、3、5、7，合数是4、6、8、9，奇数是1、3、5、7、9，偶数是2、4、6、8。9张数字卡片反扣在桌面，打乱顺序后，任意摸出一张，摸出任意一类数字的可能性都有，哪一类数字的个数多，则摸出哪一类数字的可能性就大，据此解答。
【详解】根据分析可知，9个数字中质数有4个，合数有4个，奇数有5个，偶数有4个，5＞4，所以摸出奇数数字卡片的可能性大。
故答案为：C
5．B
【分析】质数是大于1且只有1和它本身两个因数的自然数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫合数，最小的合数是4；1既不是质数也不是合数。题目要求在1、2、4、9中任取两个不同的数相乘，需计算所有可能的乘积并判断其是质数还是合数。数量多的可能性就大，反之可能性就小。据此解答。
【详解】从1、2、4、9中任取两个不同的数相乘，所有可能的组合及乘积如下：
取1和2：1×2＝2，2是质数；
取1和4：1×4＝4，4是合数；
取1和9：1×9＝9，9是合数；
取2和4：2×4＝8，8是合数；
取2和9：2×9＝18，18是合数；
取4和9：4×9＝36，36是合数。
共有6种乘积，其中积是质数的有1种（2），积是合数的有5种（4、9、8、18、36），积既不是质数也不是合数的有0种。因此，积是合数的可能性最大。
故答案为：B
6．B
【分析】由题意可知：先求2、5、3这三个数的最小公倍数；因为这三个数两两互质，所以这三个数的最小公倍数是它们连乘的积，即30； 题中要求是一个三位数，所以最小是120。
【详解】
这个数最小是120。
故答案为：B
7．B
【分析】根据求一个数的因数和求一个数的倍数问题，应该先找出一个数的因数，然后再从中找出这个数以内（包括这个数）的所有要求的数的倍数，先找出72的因数，然后找出72以内（包括72）的18的倍数，进而结合题意，得出结论。
【详解】72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72；
72以内（包括72）的18的倍数有：18、36、54、72；
所以既是72的因数，又是18的倍数的有：18、36、72，共3个。
故答案为：B
8．D
【分析】先求出M的值，再通过列除法算式找因数：用这个数除以1到它本身，能整除的除数和商都是它的因数。
【详解】M＝2×3×7
＝6×7
＝42
42÷1＝42
42÷2＝21
42÷3＝14
42÷6＝7
42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42，共8个。
9．8410
【分析】根据2、5倍数的特征：2的倍数的个位上是0、2、4、6、8，即为偶数；5的倍数的个位上是0或5；合数是指除了能被1和它本身整除，还能被其他数整除的数，最小的合数是4；质数是指只能被1和它本身整除的数；1既不是质数也不是合数。据此可得出答案。
【详解】密码是2、5的倍数，则密码ABCD的个位上的数字是0，即D为0；B是最小的合数4；既不是质数也不是合数的是1，即C为1；A是一位数中最大的偶数，即为8。
则这个密码ABCD是：8410。
10．质
【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数；合数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外还有其他因数的数。1既不属于质数也不属于合数。质数有2、3、5、7、11……，合数有4、6、8、9、10、12……，举例说明小正方形的个数是质数还是合数，据此解答。
【详解】若小正方形个数是质数，那么只能摆成长方形；
若小正方形个数是合数4，既能摆成正方形也能摆成长方形；若小正方形个数是合数9，那么只能摆成长方形；
所以大小一样的小正方形（大于1个）只能摆成一种长方形，这些小正方形的个数一定是质数。
11．811.44
【分析】已知买了72支同样的钢笔，总价是72的倍数。因为72＝8×9，所以总价需同时是8和9的倍数。根据8（末三位能被8整除）和9（各位数字之和能被9整除）的倍数特征来确定总价，据此解答。
【详解】能被8整除的数的特征：一个数的末三位能被8整除，这个数就能被8整除。把总价去掉小数点看成□114□，末三位是14□，通过计算可知只有当末位是4时，144能被8整除，所以百分位上的数是4。
能被9整除的数的特征：一个数各位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。此时数字和为1＋1＋4＋4＝10，距离能被9整除的18还差8，所以百位上的数是8。
总价应该是811.44元。
12． 90 30
【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
2、5的倍数特征：个位上是0的数。
3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【详解】（1）最大的两位数的十位是9，有因数5的个位是5或0，即95和90；
9＋5＝14，95不是3的倍数；
9＋0＝9，90是3的倍数；
所以这个数最大是90。
（2）如果这个两位数既有因数5，又是偶数，那么个位是0；
这个两位数要最小，那么：
当十位是1时，1＋0＝1，10不是3的倍数；
当十位是2时，2＋0＝2，20不是3的倍数；
当十位是3时，3＋0＝3，30是3的倍数；
所以这个数最小是30。
填空如下：
一个两位数，既是3的倍数，又有因数5，那么这个数最大是（90）；如果是偶数，那么这个数最小是（30）。
13． 4800 4020
【分析】的倍数个位为：、、、、，的倍数个位为：或。所以一个数是和的倍数：个位必须是；要是的倍数：各位数字之和是的倍数。据此分析即可。
【详解】因为这个数是和的倍数，所以个位是。因此这个数已确定的数字加起来和是。
是的倍数，又要最大，先尝试百位是，此时和为，题目说这个数有两个相同数字，十位尝试，数字和为，不符合；十位尝试，数字和为，也不行；十位尝试，数字和是还是不行。那么百位尝试为，数字和为。那么十位尝试，数字和为不符合；十位尝试，数字和为，也不行，十位尝试，数字和为，是的倍数，所以这个数最大是。
是的倍数，又要最小，那么尝试百位为，此时和为。十位尝试是，数字和仍为，不符合；十位尝试，数字和为，不是的倍数，不符合；十位尝试为，数字和为，是的倍数。所以最小是。
14． 18 6
【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，已知一个数最大因数和最小倍数的和是36，用36除以2可求出这个数，即36÷2＝18；如果a×b＝c（a、b、c都是不为0的自然数），那么a和b是c的因数，据此从1开始列举写出18的因数。
【详解】36÷2＝18
1×18＝18
2×9＝18
3×6＝18
可知18的因数有1、2、3、6、9、18，共6个。
所以一个数最大因数和最小倍数的和是36，这个数是18，它有6个因数。
15． 27 7
【分析】求如果装成2篮，每篮几个，即把54个平均分成2份，用除法计算即可；
如果要求每个篮子（至少2个篮）装得同样多，求共有多少种不同的装法，需要找出54的所有因数，根据因数求出符合条件的装法。
【详解】54÷2＝27（个）
如果装成2篮，每篮27个。
54＝1×54＝2×27＝3×18＝6×9
每篮装1个，可装54篮；每篮装2个，可装27篮；每篮装3个，可装18篮；每篮装6个，可装9篮；每篮装9个，可装6篮；每篮装18个，可装3篮；每篮装27个，可装2篮；每篮装54个，可装1篮（不符合题意）。所以共有7种不同的装法。
16．17
【分析】先求出所有水果的总质量，因为苹果重量是梨的5倍，所以苹果和梨的总质量是6的倍数（梨的质量看作1份，苹果是5份，总共6份），用总质量除以6，根据余数判断香蕉的质量，最后再根据苹果的重量是梨的5倍进一判断即可。
【详解】1＋3＋12＋21＋17＋35＝89（千克）
89÷6＝14……5
分别看各箱质量除以6的余数，1÷6余1，3÷6余3，21÷6余3，12÷6余0，17÷6余5，35÷6余5。
17除以6的余数、35除以6的余数与总质量除以6的余数相同。
（89-17）÷6
＝72÷6
＝12（千克）
有一筐水果是12千克可以是梨，其余是苹果，符合苹果的重量是梨的5倍。
（89-35）÷6
＝54÷6
＝9（千克）
没有一筐或几筐水果的和是9千克，不符合苹果的重量是梨的5倍。
所以，香蕉有17千克。
17．×
【分析】根据奇数和偶数的运算性质，奇数与奇数的乘积仍为奇数，但奇数乘2后结果必为偶数。
【详解】1×3×5×…×99的积是奇数（奇数相乘仍为奇数），再乘2后，奇数×2＝偶数，原题说法错误。
故答案为：×
18．×
【分析】质数是只有1和它本身两个因数的自然数，合数是除了1和它本身还有其他因数的自然数。在非零自然数中，1只有它本身1个因数，所以1既不是质数也不是合数。据此判断。
【详解】1＝1×1，1只有它本身1个因数，所以1既不是质数也不是合数。因此，在非零自然数中，存在1这样的数，既不是质数也不是合数，原题说法错误。
故答案为：×
19．√
【分析】要判断来电时灯是否亮着，需分析开关状态的变化规律。初始状态为灯亮，说明开关处于开启状态（记为“开”）。拉开关时，每次操作会改变开关状态：拉1次变为“关”，拉2次变回“开”，拉3次变为“关”，可见，拉奇数次时开关状态改变（开→关或关→开），拉偶数次时开关状态不变，依此类推即可推导。
【详解】题目中拉了8下（偶数次），因此开关最终状态与初始状态相同，仍为“开”。当来电时，开关处于“开”，即灯应亮着。
故答案为：√
20．√
【分析】这句话是正确的，这是由因数和倍数的定义决定的：对于任意一个非零自然数，它的因数是能整除它的数，这些因数里最大的那个就是它自己（比如8的因数有1、2、4、8，最大因数是8）；而它的倍数是这个数乘1、2、3……得到的数，其中最小的倍数就是它乘1的结果，也就是它本身（比如8的倍数有8、16、24……，最小倍数是8）。所以“一个数的最小倍数和最大因数都是它本身”的说法是成立的。
【详解】因数的定义：一个数的因数是指能整除这个数的数。一个数的因数个数是有限的，其中最大的因数是它本身（因为一个数除以它自己，商是 1，能整除）。
倍数的定义：一个数的倍数是指这个数的整数倍（乘以 1、2、3……）。一个数的倍数个数是无限的，其中最小的倍数是它本身（因为这个数乘 1，结果就是它自己）。
因此，“一个非零自然数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身” 的说法符合因数和倍数的基本概念，是正确的。
故答案为：√
21．见详解
【分析】根据题意，用16个小正方形拼成长方形或正方形，也就是将16拆分为两个整数相乘，能拆出几个就有几种不同的拼法；据此解答。
【详解】16＝1×16，16＝2×8，16＝4×4；
据此，长方形的长和宽可以是：1和16，2和8；
正方形的边长为4；
画图如下：
【点睛】此题考查因数与倍数的知识，关键能够掌握求一个数的因数的方法。
22．2014
【分析】质数：一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；自然数：在数物体的个数时，用来表示物体个数的1，2，3，4，…叫做自然数，一个物体也没有，用“0”表示。合数：一个数，除了1和它本身外，还有其它因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数，据此分析解答。
【详解】千位上的数字是最小的质数，最小的质数是2，千位上的数是2；
百位上的数字是最小的自然数，最小的自然数是0，百位上的数是0；
十位上的数字既不是质数，也不是合数，1既不是质数，也不是合数，十位上的数是1；
个位上的数字是最小合数，最小的合数是4，个位上的数字是4。
这个数是2014。
答：这个数是2014。
23．不对；见详解
【分析】饮料单价是5元，那么只买这种饮料，需要花的钱数是5的倍数。妈妈给了售货员100元，那么找回的钱数也应是5的倍数。据此解题。
【详解】答：不对；因为每瓶饮料5元，妈妈只买了一种饮料，所以所花的钱数应该是5的倍数，钱数的末尾应该是0或5，找回的钱数末尾也应该是0或5，不会是4，所以找错了。
24．22、24、27或29张
【分析】一共二十几张书法作品，一排贴5张，剩余的张数不够贴一排且是一个偶数，那么剩余张数有可能是2张或4张，用5乘4及5×5加上2、4即可得出作品可能有多少张。
【详解】5×4＝20（张）
5×5＝25（张）
20＋2＝22（张）
20＋4＝24（张）
25＋2＝27（张）
25＋4＝29（张）
答：这些书法作品有可能是22、24、27或29张。
25．48个
【分析】3的倍数的特征，一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数；5的倍数的特征：个位上是0或5的数就是5的倍数；根据题意，5个5个地数余3个，且数量在40～50之间，即5×8＋3＝43（个），5×9＋3＝48（个），48＝3×16，48符合3个3个地数，刚好数完，所以小花有48个糖块，据此解答。
【详解】5×8＋3
＝40＋3
＝43（个）
5×9＋3
＝45＋3
＝48（个）
48＝3×16
答：小花有48个糖块。
【点睛】本题考查3的倍数的特征和5的倍数的特征，学生需熟练掌握。
26．49张
【分析】比40张多，比50张少，如果按4张一组来数，剩1张，符合条件的数有41，45， 49三个，再找出符合5张一组来数，剩4张的数即可解答。
【详解】因为如果按4张一组来数，剩1张，且图片张数比40张多，比50张少，则图片的张数是4的倍数且多1张；
所以这些图片可能有41，45，49三个；
45是5的倍数，不符合题意，
41÷5＝8……1，不符合题意；
49÷5＝9……4，符合题意；
答：这些图片有49张。
【点睛】本题考查倍数，明确图片的张数是4的倍数且多1张是解题的关键。
27．
1行、2行、4行、8行、16行、32行；6种
【分析】每行的方格数和行数必须均为32的因数。通过列举32的所有因数，即可确定符合条件的行数。
【详解】32＝32×1＝16×2＝8×4
32的因数有：1、2、4、8、16、32，共6个。
答：可以排1行、2行、4行、8行、16行、32行，有6种不同的排法。
28．3组、4组、6组、9组
【分析】由题意可知，分成的组数是学生人数的因数，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此求出36的所有因数，最后找出大于2并且小于10的符合条件的因数，据此解答。
【详解】36÷1＝36
36÷2＝18
36÷3＝12
36÷4＝9
36÷6＝6
36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。
分析可知，可以分成3组、4组、6组、9组。
答：可以分成3组、4组、6组、9组。
29．（1）5；4
（2）34.8元
（3）55吨
【分析】（1）相邻的两个整数之间相差1；长方形的周长÷2＝长＋宽；除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此确定长和宽。
（2）根据长方形面积＝长×宽，计算出花坛面积，总钱数÷花坛面积＝每平方米需要的钱数。
（3）大长方形的长＝花坛的长＋1×2，大长方形的宽＝花坛的宽＋1×2，大长方形的面积－花坛的面积＝小路的面积，小路的面积×每平方米需要的水泥吨数＝需要的水泥总吨数。
【详解】（1）18÷2＝9（米）
9＝5＋4
长方形的长是5米，宽是4米。
（2）696÷（5×4）
＝696÷20
＝34.8（元）
答：每平方米需要34.8元。
（3）5＋1×2
＝5＋2
＝7（米）
4＋1×2
＝4＋2
＝6（米）
7×6－5×4
＝42－20
＝22（平方米）
22×2.5＝55（吨）
答：铺完这条小路需要55吨水泥。
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