2026年湖北省孝感市楚天协作体高考数学模拟试卷（含答案）

2026年湖北省孝感市楚天协作体高考数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.若平面向量两两的夹角相等，且，则( )
A. B. C. 或 D. 或
5.若函数是奇函数，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知圆：与直线：相交于，两点，当最小时，的值为( )
A. B. C. D.
7.已知四面体满足，，，均为等腰三角形，若，则该四面体外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.若，则下列不等关系一定不成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.下列说法中正确的有( )
A. 一组数据，，，，，，，的下四分位数为
B. 在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系
C. 经验回归方程为时的观测值为，则残差为
D. 将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差
11.已知双曲线为坐标原点，、分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，、分别是的内心、重心，则下列说法正确的是( )
A. 的横坐标为 B. 直线与双曲线相切
C. 的最大值是 D. 若轴，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
13.已知椭圆的左右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于，两点，满足，则椭圆的离心率 ．
14.已知，则 ； ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为的内角，，所对的边，且．
求；
已知是边的中点，求的最大值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．
求证：平面；
试问在线段上是否存在一点，使得平面与底面所成夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由．
17.本小题分
年被业界公认为“具身智能元年”得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉语言动作大模型的成熟人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格已知小明、小华，小方位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立．
求这人中至多有人通过第一轮的概率；
从人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
设这人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望．
18.本小题分
已知函数，为无理数且
求在区间的最值；
若对恒成立，求的取值范围；
对于，证明：．
19.本小题分
已知点是抛物线：的焦点，是抛物线上的一点且有．
求抛物线的方程；
已知点，连接、并延长交抛物线于另外一点．
若抛物线上有且仅有个点、、使得、、的面积均为定值，求的值；
已知点、是抛物线上异于、的两点，且是的角平分线请问直线是否过定点，若过定点，求出点的坐标，若不过定点，请说明理由．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为且，
可得，
由正弦定理，
在中，因为，
所以，
即，
因为，所以，
可得，即，
又因为，可得，
可得，可得；
由及余弦定理可知，
可得，可得，当且仅当时等号成立．
因为是的中点，可得，
两边平方得，
即，
由知，代入得，
即，
所以的最大值为．
16. 证明：由题意可知，，
侧面底面，侧面底面，
平面，
平面，，
又，平面，平面，
平面．
如图，分别取、的中点、，连接、、，
已知、、两两垂直，
则以为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系
由题意可知，，
，，
设，则，又，
，
设平面的法向量为，则，
则，可得，
不妨令，则，，故，
由题意可知，即为平面的法向量，
则有，
，
等号两边平方，化简后可得，
解得或舍去，
．
17.解：记人中通过第一轮的人数为，
已知小明、小华，小方位同学通过第一轮的概率均为，
则，
记“人中至多有人通过第一轮”为事件，
则；
记随机选择小明、小华、小方的事件分别为、、，通过第二轮的事件记为，
则由题意可知，
，
则，
所以；
记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为、、，
则，
，
，
设这人中通过第二轮的人数为，由题意可知的可能取值为，，，，
由、、相互独立可知，
，
，
，
所以的分布列是：
．
18.解：由题可知，
令，则，
易得当时，，当时，，
即在单调递减，在上单调递增，
因此，则在单调递增，
因此；
构造函数，
，
易知，若，
则使得在上单调递减，因此，与题意矛盾，
则，因此，
此时，
令，只需证在恒成立即可．
，
令，则，
因为，因此恒成立，即在单调递增，
因此，因此在单调递增，则恒成立，
因此的取值范围是；
证明：由可知在恒成立，
则有在恒成立，
令，则有恒成立，
因此，
又因为，
则．
19.解：由题意可知点是抛物线：的焦点，因此，
因为是抛物线上的一点且有，则点的坐标为，
代入抛物线方程解得或舍去，因此抛物线的方程为；
由题意可知直线的方程为，
直线与抛物线联立可得，
解得，，
因此，，因此．
如图所示，由图象可知，对任意面积，抛物线位于直线右上方的部分均存在点使得、的面积均为定值，
则抛物线在直线的左下方部分存在唯一的一点满足条件，
此时到直线的距离达到最大值，即在处的切线与直线平行，
当时，抛物线方程为，因此，
则到直线的距离为，
因此定值；
因为是的角平分线，因此点到直线、的距离相等，
设该距离为定值．
当的斜率不存在时，
由题意可知，易知此时，与轴平行，不满足题意，
因此，、的斜率均存在．
设过点的直线斜率为，则过点的直线可表示为，
则有，则有，
设、，则，
两式相减可得，
利用点斜式方程可得：，
由，化简可得，，
结合：，易知直线过定点．
第3页，共9页