云南省昆明市2025-2026学年高三（上）期末数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 云南省昆明市2025-2026学年高三（上）期末数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 70.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-13 00:00:00 | ||
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文档简介
云南省昆明市2025-2026学年高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.不等式的解集是( )
A. B.
C. 或 D.
4.在件不同产品中，有件合格品，件次品，从这件产品中任意抽出件，抽出的件中至少有一件是次品的抽法种数为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.设非零平面向量，，两两不垂直，那么“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.过原点的直线与圆：交于，两点，若，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数有两个零点与两个极值点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. 为等比数列 D. 为等比数列
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线：，点，是椭圆和抛物线的公共点，以为直径作圆，若，则( )
A. ，，三点共线 B. 抛物线与圆有四个公共点
C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆与圆有四个公共点
11.甲、乙为两个不透明的盒子，已知甲中有个红球和个黑球，乙中有个红球和个黑球每次随机从甲、乙两个盒子中各抽出个球相互交换，每次交换相互独立，设第次交换后甲盒中恰有、、个黑球的概率分别为、、，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ．
13.在三棱锥中，平面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
14.已知函数，，是图象的两个相邻对称中心，在，处的切线相交于点，若，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为研究深度学习模型训练达标与工程师参与的关系现随机抽取次训练样本，对参与人员及其训练结果进行统计，工程师甲是否参与训练、结果是否达标的列联表如表单位：次：
参与情况 训练结果 合计
达标 不达标
参与
未参与
合计
完成列联表，工程师甲参与的训练中，达标的概率记为，求的估计值；
根据小概率值的独立性检验，分析训练达标是否与工程师甲参与有关．
附：，．
16.本小题分
已知函数．
求图象的对称轴方程；
将函数图象向左平移个单位得到的图象，当时，求函数的值域．
17.本小题分
如图，已知斜三棱柱中，为等边三角形，是的中点，且．
求证：平面平面；
若，三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若直线与的图象有个交点，交点的横坐标从小到大依次为，，，．
证明：；
(ⅱ)若，求的取值范围．
19.本小题分
已知双曲线的离心率为，点在上，记的坐标为，，，关于轴的对称点为已知．
求的方程；
证明：直线与直线平行；
设的面积为，的面积为，当取得最小值时，求．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：补全后的列联表如下：
参与情况 训练结果 合计
达标 不达标
参与
未参与
合计
所以工程师甲参与的训练中，达标的概率为；
零假设：训练达标与工程师甲参与无关，
则，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为训练达标与工程师甲参与有关．
16.解：由题可得
．
由，解得，
所以图象的对称轴方程为，．
将图象向左平移个单位得到，
所以在上单调递减，
因为是偶函数，所以在上单调递增，
故当时，的最大值为，
因为，所以，所以的最小值为．
所以当时，函数的值域为．
17.证明：因为，是的中点，
所以，
又在等边中，，
且，，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面；
如图，过点作于点，由可知平面，
又平面，所以，且，，平面，
所以平面，
由于，则，
所以，
则，
又在中，，
所以，
在直角中，，
又，所以点是的中点．
以点为坐标原点，轴，，所在直线分别为，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量，
因此，令，则，，
所以平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量，
由于，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：由题
因为在区间和，，因此的减区间为和，
因为在区间和，，因此的增区间为和；
因为直线与的图象有个交点，其横坐标分别为，，，，
且，因此有，
且，由于，因此有，，
证明：，
因为，因此，因此，又因为，
因此，因此，即，即；
因为，因此，令，
因为，因此，
当时，，满足题设，
当时，，即，因此有，
当时，，即，所以有，
因此的取值范围为
19.解：因为双曲线的离心率为，
所以，
又因为，
所以，
因为，所以，
所以双曲线的方程为．
证明：因为点在上，
所以，
所以，
所以，，
令，
则，
，，，
直线的斜率，
直线的斜率，
所以，
故；
因为，所以，故是定值，
，
令，
因为函数在单调递增，
当时，，
故，
又因为，
故，
故，，即时，取最小值，
所以当取得最小值时，．
根据离心率为，得出，再结合，得出，即可求解；
根据点在上，得到，进一步求出，，利用换元法表示出的坐标，进而求出，的坐标，代入直线的斜率公式即可得证；
先得出是定值，构造函数，利用单调性证出时，取最小值，即可得解．
本题考查双曲线方程的应用，考查逻辑推理与运算能力，属于难题．
第3页，共8页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.不等式的解集是( )
A. B.
C. 或 D.
4.在件不同产品中，有件合格品，件次品，从这件产品中任意抽出件，抽出的件中至少有一件是次品的抽法种数为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.设非零平面向量，，两两不垂直，那么“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.过原点的直线与圆：交于，两点，若，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数有两个零点与两个极值点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. 为等比数列 D. 为等比数列
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线：，点，是椭圆和抛物线的公共点，以为直径作圆，若，则( )
A. ，，三点共线 B. 抛物线与圆有四个公共点
C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆与圆有四个公共点
11.甲、乙为两个不透明的盒子，已知甲中有个红球和个黑球，乙中有个红球和个黑球每次随机从甲、乙两个盒子中各抽出个球相互交换，每次交换相互独立，设第次交换后甲盒中恰有、、个黑球的概率分别为、、，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ．
13.在三棱锥中，平面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
14.已知函数，，是图象的两个相邻对称中心，在，处的切线相交于点，若，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为研究深度学习模型训练达标与工程师参与的关系现随机抽取次训练样本，对参与人员及其训练结果进行统计，工程师甲是否参与训练、结果是否达标的列联表如表单位：次：
参与情况 训练结果 合计
达标 不达标
参与
未参与
合计
完成列联表，工程师甲参与的训练中，达标的概率记为，求的估计值；
根据小概率值的独立性检验，分析训练达标是否与工程师甲参与有关．
附：，．
16.本小题分
已知函数．
求图象的对称轴方程；
将函数图象向左平移个单位得到的图象，当时，求函数的值域．
17.本小题分
如图，已知斜三棱柱中，为等边三角形，是的中点，且．
求证：平面平面；
若，三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若直线与的图象有个交点，交点的横坐标从小到大依次为，，，．
证明：；
(ⅱ)若，求的取值范围．
19.本小题分
已知双曲线的离心率为，点在上，记的坐标为，，，关于轴的对称点为已知．
求的方程；
证明：直线与直线平行；
设的面积为，的面积为，当取得最小值时，求．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：补全后的列联表如下：
参与情况 训练结果 合计
达标 不达标
参与
未参与
合计
所以工程师甲参与的训练中，达标的概率为；
零假设：训练达标与工程师甲参与无关，
则，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为训练达标与工程师甲参与有关．
16.解：由题可得
．
由，解得，
所以图象的对称轴方程为，．
将图象向左平移个单位得到，
所以在上单调递减，
因为是偶函数，所以在上单调递增，
故当时，的最大值为，
因为，所以，所以的最小值为．
所以当时，函数的值域为．
17.证明：因为，是的中点，
所以，
又在等边中，，
且，，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面；
如图，过点作于点，由可知平面，
又平面，所以，且，，平面，
所以平面，
由于，则，
所以，
则，
又在中，，
所以，
在直角中，，
又，所以点是的中点．
以点为坐标原点，轴，，所在直线分别为，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量，
因此，令，则，，
所以平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量，
由于，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：由题
因为在区间和，，因此的减区间为和，
因为在区间和，，因此的增区间为和；
因为直线与的图象有个交点，其横坐标分别为，，，，
且，因此有，
且，由于，因此有，，
证明：，
因为，因此，因此，又因为，
因此，因此，即，即；
因为，因此，令，
因为，因此，
当时，，满足题设，
当时，，即，因此有，
当时，，即，所以有，
因此的取值范围为
19.解：因为双曲线的离心率为，
所以，
又因为，
所以，
因为，所以，
所以双曲线的方程为．
证明：因为点在上，
所以，
所以，
所以，，
令，
则，
，，，
直线的斜率，
直线的斜率，
所以，
故；
因为，所以，故是定值，
，
令，
因为函数在单调递增，
当时，，
故，
又因为，
故，
故，，即时，取最小值，
所以当取得最小值时，．
根据离心率为，得出，再结合，得出，即可求解；
根据点在上，得到，进一步求出，，利用换元法表示出的坐标，进而求出，的坐标，代入直线的斜率公式即可得证；
先得出是定值，构造函数，利用单调性证出时，取最小值，即可得解．
本题考查双曲线方程的应用，考查逻辑推理与运算能力，属于难题．
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