2026年天津市天津一中高考数学统练试卷（一）（含答案）

2026年天津一中高考数学统练试卷（一）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.高三某班名同学的数学模考成绩满分依次为：，，，，，，，，，，这组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.在中，“”是“为等腰三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在轴上方的图象对应的函数解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知正四棱锥的底面边长为，高为，则该正四棱锥的内切球半径为( )
A. B. C. D.
7.如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点在线段上，与分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，，且是公比为的等比数列，，则( )
A. B. C. D.
9.已知函数图像的两条相邻对称轴间的距离为，现将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，下列说法正确的是( )
A. 直线是函数的图象的一条对称轴
B. 点是函数图象的对称中心
C. 函数在上单调递增
D. 函数在上的值域是
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知复数满足其中为虚数单位，则复数的虚部为 ．
11.已知的展开式中常数项为，，则的展开式中的系数为 ．
12.已知直线：关于对称的直线与圆：相离，则的范围为是 ．
13.我国“天宫勘探计划”中，自主从编号的深空探测目标含行星、小行星等里随机选一个执行任务，定义：
事件：“选中奇数编号目标”对应具有稀有金属开采价值的天体
事件：“选中编号小于的目标”对应我国近地测控覆盖范围内的天体
事件：“选中，，，号目标”对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标
现在需要分析选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的有 ．
14.在中，，，是中点，，试用，表示为 ，若，则的最大值为 ．
15.定义在上的函数满足，且当时，若关于的方程至多有三个不同的解，则正实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别是，，已知的面积为．
求角；
若，
求边的大小；
求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，．
求证：平面；
设点是的重心．
求直线与平面所成角的正弦值；
设平面，求．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，，，数列满足．
求数列，的通项公式；
将数列，的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和．
19.本小题分
离心率为的椭圆的左、右焦点分别为、，过作垂直于轴的直线被圆：所截的弦长为．
求椭圆的标准方程；
是圆上任意一点，过作椭圆的两条切线、，、为切点．
(ⅰ)证明：；
(ⅱ)作于，判断是否为定值？若是求出其定值，若不是请说明理由．
20.本小题分
已知函数．
当时，，求的取值范围；
设，，，且．
证明：数列是递减数列；
证明：．
答案
1.
2.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.．
16.解：因为，
在中，，
所以，即，
因为，
所以，可得，
可得；
，，，
因为，解得，
由余弦定理可得；
由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
，
所以．
17.解：证明：，
解得，故CD，所以证得，
又面，面，所以，
，面，面，故可以证得平面；
建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
，，，，
由于是的重心，所以，
，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
(ⅱ)设，则，
由(ⅰ)知平面的法向量为，
则，解得，
所以．
18.解：设等差数列的公差为，
由，得，得，，
所以，
当时，由，
得，
得，
所以，
当时，，可得也满足，
所以；
因为，
，
当为偶数时，，此时被除余，为数列中的项；
当为奇数时，，
此时被整除，不为数列中的项，
所以
．
19.解：离心率为的椭圆：的左、右焦点分别为、，
过作垂直于轴的直线被圆：所截的弦长为．
弦长为，则
，．
．
椭圆的标准方程为．
证明：是圆上任意一点，过作椭圆的两条切线、，、为切点，
设，则，过点的直线方程为，即
联立直线与椭圆方程，消去得：，
展开并整理得．
直线与椭圆相切，
，化简得．
设直线、的斜率分别为，，则，是上述方程的两个根，
根据韦达定理得：
，．
当直线、中有一条直线的斜率不存在时，
设直线的斜率不存在，则的方程为，
当时，代入圆的方程得，此时或．
若，则直线的斜率为，满足；
若，同理可得．
当时，同理可证．
综上，．
于，为定值．理由如下：
当切线，的斜率都存在时，设 ，，
切线，方程为 ，，，
由得，
又，点在椭圆上，得 ，
代入得 ，
即，
切线，方程为 ，
又过点，则，
直线方程为，
由得直线方程为，
联立直线方程与直线方程，
解得，
代入直线方程得，
由得点轨迹方程为，
则点恰好在以，为焦点，半长轴长为的椭圆上，
当切线，的斜率有一个不存在时，
如斜率不存在，则，，，
直线方程为 方程为 ，
可解得点也在椭圆上，
若，同理，
故．
20.解：当时，，即，
令，则，
当时，因为，所以，
即在上恒成立，所以在上单调递减，所以，不合题意；
当时，令，解得，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，则，不合题意；
当时，令，解得，
此时在上恒成立，所以在上单调递增，所以恒成立，符合题意，
综上，的取值范围为；
证明：因为，由知，当时，，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以，以此类推，，
因为，
令，则，
当时，，所以在单减，即，即，
所以，所以，
所以，所以，故数列是递减数列；
由题意，
于是，要证，只需证，，
因为，只需证，即证，
令，则，
由知，当时，，所以，所以在上单调递增，
又，故对任意的，，
所以，即，，原题得证．
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