2026年湖南省高考数学模拟试卷（含答案）

2026年湖南省高考数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.复数的模为( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，且，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知向量，，且，的夹角为，则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线：的焦点为，点在轴上且位于右侧，点在上，若为等边三角形，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若且，则( )
A. B. C. D.
8.已知的内角，，的对边分别为，，，，为上一点，且，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：在椭圆的内部，点为上一动点，为坐标原点过点作圆的一条切线，交于另一点，切点为，若为的中点，且直线的斜率为，则( )
A. 直线的斜率为 B. 直线的斜率是
C. 直线的斜率是 D. 椭圆的离心率为
10.已知函数，则( )
A. 在区间上有个零点
B. 的周期为
C. 的值域为
D. 要得到的图象，可将函数图象向左平移个单位长度
11.如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，，的离心率分别为，，且在第一象限相交于点，则下列说法中正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则的值为
C. 的面积
D. 若，则当时，取得最小值．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从，，，四个整数中依次不放回地随机抽取个数，则第一次抽取的数小于第二次抽取的数的概率为 ．
13.已知函数，若恒成立，则实数 ．
14.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，为圆锥的母线，，且二面角为若的面积等于，则圆锥的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列的前项和为，，．
求的通项公式；
设数列的前项和为，求．
16.本小题分
如图，是半圆的直径，，是上的两个三等分点，点在底面上的射影为的中点．
当时，求点到平面的距离；
当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
为了激活全民参与体育赛事的热情，某省举办了足球联赛已知足球联赛积分规则为：球队胜一场积分，平一场积分，负一场积分球队甲年月将迎来主场与球队乙和客场与球队丙的两场比赛根据前期比赛成绩，球队甲主场与球队乙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；球队甲客场与球队丙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；且每场比赛结果相互独立．
设球队甲月主场与球队乙比赛获得积分为，客场与球队丙比赛获得积分为，求的概率；
用表示球队甲月与球队乙和球队丙比赛获得积分之和，求的分布列与期望．
18.本小题分
已知椭圆的左，右焦点分别为，，其离心率为，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，且，为坐标原点．
求椭圆的方程；
已知过点的直线与椭圆交于，两点，抛物线：
若直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程．
若直线与轴正半轴交于点，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
当时，证明：；
设、，分别过、作曲线的切线、，且与交于点，记的面积为．
(ⅰ)求的坐标用表示；
(ⅱ)求在区间上的最大值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：已知等比数列的前项和为，
设公比为，则由和可得，
即，解得或，
所以数列的通项公式为：或；
当时，，
数列是首项为，公差为的等差数列，
所以；
当时，，
，
，
由得
，
所以数列的前项和为，
则；
综上，或．
16.解：如图，连接，，，设与相交于点，再连接，
因为，是弧上的两个三等分点，所以，
又，所以与都是正三角形，
所以，即四边形是菱形，所以，
又因为点在底面上的射影为的中点，
所以平面，
由，得，即，而，所以，
所以平面，又平面，
所以，而，，平面，
所以平面，垂足为，
即点到平面的距离为，而，
所以点到平面的距离为．
取的中点，连接，由可知，，两两互相垂直，
故以点为坐标原点，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
当时，可得，，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，则，，
故，
因为平面轴，所以取平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：设球队甲月主场与球队乙比赛获得积分为，客场与球队丙比赛获得积分为，
设事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为分”，
事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为分”，
事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为分”，
事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为分”，
事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为分”，
事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为分”，
事件“甲队月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分”，
，
则，
所以甲月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分的概率为；
用表示球队甲月与球队乙和球队丙比赛获得积分之和，
由题意可知的所有可能取值为，，，，，，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
18.解：由题意得，离心率，得，
由题意，不妨设，则，则，
解得，故，
则椭圆的方程为．
为，的中点，到的距离为到距离的一半，
，．
当直线斜率不存在时，，，不合题意，
则直线斜率存在时，，如图所示：
设的方程为，，，，
联立，得，
易知，故，
则．
联立，得，
易知，故，
，
，，解得，
直线的方程为．
设直线的方程为，，，，
由知：，
由三角形相似关系，可得，
分类讨论：当点在椭圆上或外部时，即时，，，
于是；
当点在椭圆内部时，即时，，
，
令，则，
综上：的取值范围为．
19.证明：当时，．
求导得：，令，解得．
当时，，故，单调递减；
当时，，故，单调递增．
因此，是的极小值点，也是最小值点．
最小值为．
所以，即得证．
解：(ⅰ)由已知，，，
因为，当时，则，
，，
所以在是单调递增函数，在是单调递减函数，
所以，是切点．
切线过，斜率为，方程为，即．
切线过，斜率为，方程为，
即．
联立与的方程：，
消去得，，
解得，
将代入的方程，得，
因此，的坐标为．
(ⅱ)由，，得的方程为，
即，
又．
点到的距离，
代入因在切线：上，化简分子：
分子，
因此，
于是，
代入，得，
由知，因此．
当时，，令，
，
因、、，故，因此在单调递增．
又时，故时．
因为、，且两者在上均单调递增，
故在上单调递增．
因此，代入得，
所以函数在区间上的最大值为：．
第3页，共10页