(共24张PPT)
1.5矩形
第2课时 矩形的判定
第1章 四边形
导入新课
忆——矩形的定义
忆——矩形的性质
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
平行四
边形
一个角
是直角
∟
矩形
定义可以作为矩形的一种判定方法,你还有其他判定方法吗？
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
矩形的判定方法（定义法）
学 习 目 标
1
2
3
探索并证明矩形的判定定理（重点）
会运用矩形的判定定理判定一个四边形是矩形.（难点）
能综合运用矩形的性质、判定进行计算与证明（难点）
新知探究
思 考
前面已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定义，可以依此判定一个平行四边形是否是矩形.
问题1 一个角是直角的四边形是不是矩形？若是，请说明理由；若不是，请举反例.
问题2 两个角是直角的四边形是不是矩形？若是，请说明理由；若不是，请举反例.
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有两个角是直角)
改为“四边形”
改变直角的数量
不是
不是
三个角呢？
新知探究
问题3 两个角是直角的四边形是不是矩形？若是，请说明理由；若不是，请举反例.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵ ∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ ∠A＝90°
∴四边形 ABCD 是矩形.
B
C
A
D
(有三个角是直角)
是
你能证明吗？
你能得到什么结论？
新知探究
总结归纳
★矩形的判定定理1：
三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言
B
C
A
D
(有三个角是直角)
∵ ∠A＝∠B＝∠C＝90°
∴四边形 ABCD 是矩形
新知探究
探 究
把两根长度相等的细木条AC和BD的中点钉在一起，如图所示.连接AB，BC,CD，DA，得到的四边形ABCD是平行四边形吗 是矩形吗 为什么
A
B
C
D
O
四边形ABCD是平行四边形，也是矩形.
你能证明吗？
新知探究
A
B
C
D
O
证明：由于OA=0C,0B=0D,
所以四边形ABCD是平行四边形，
从而AB=DC,AB//DC.
又AC=BD，BC=CB,
所以 ABC≌ DCB(边边边),
从而∠ABC=∠DCB.
又由AB//DC得，∠ABC+∠DCB=180°
于是∠ABC=180°=90°
因此，平行四边形ABCD是矩形.
你能得到什么结论？
新知探究
总结归纳
★矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言
∵在□ ABCD中， AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
A
B
C
D
O
典例分析
例2 如图1.5-6，在口ABCD中，它的条对角线相交于点O.
(1)如果口ABCD是矩形，试问: OBC是什么样的三角形
(2)如果 OBC是等腰三角形且OB=OC,那么口ABCD是矩形吗
A
B
C
D
O
平行四边形的性质，有对角线，优先考虑对角线互相平分
矩形的对角线相等.
□ABCD对角线互相平分 + OB=OC
□ABCD是矩形
有对角线，优先考虑对角线相等的平行四边形是矩形
典例分析
A
B
C
D
O
解：(1)∵ □ ABCD是矩形，
∴AC与DB相等且互相平分
∴OB= AC=OC
∴ △OBC是等腰三角形.
(2)∵△OBC是等腰三角形，其中OB=OC
∴AC=2OC=2OB=BD
∴ □ ABCD是矩形
∠A= ∠B= ∠C=90°
ABCD
AC = BD
ABCD
∠A=90°
ABCD
是矩形
四边形ABCD
是矩形
判定一个四边形是矩形的方法
新知探究
总结归纳
基础巩固题
新知应用
1. 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4 位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （ ）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
D
一个角是直角的平行四边形叫作矩形．
三个角是直角的四边形是矩形．
对角线相等的平行四边形是矩形．
基础巩固题
新知应用
2．下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A. AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD
B. ∠A＝∠B＝∠D＝90°
C. AB＝BC，AD＝CD，且∠C＝90°
D. AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°
C
对角线相等的平行四边形是矩形．
三个角是直角的四边形是矩形．
一个角是直角的平行四边形叫作矩形．
基础巩固题
新知应用
3.如图，要使□ABCD成为矩形，可以添加的条件是( )
A. AB=BC
B. AO=BO
C. ∠1=∠2
D. AC⊥BD
B
O
A
B
C
D
2
1
基础巩固题
新知应用
4. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，
求证：四边形ABCD是矩形.
证明 ∵∠A=∠B=∠C=∠D， ∠A+∠B+∠C+∠D =360°，
∴∠A=∠B=∠C=∠D= 90°.
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
已知角，优先考虑角的判断方法
一个角是直角的平行四边形叫作矩形．
三个角是直角的四边形是矩形．
基础巩固题
新知应用
5.如图，在口ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，其中M,N是BD上两点，且BM=DN,AC=2MO.
求证:四边形AMCN是矩形.
已知对角线，想平行四边形对角线互相平分
有对角线，优先考虑对角线相等的平行四边形是矩形
基础巩固题
新知应用
证明:因为四边形ABCD是平行四边形，
所以0A=0C,0B=0D.
因为BM=DN,
所以0B-BM=0D-DN,即 0M=0N,
所以四边形AMCN是平行四边形.
所以M0=NO,
因为MN=2M0.
所以AC=2MO,所以MN=AC,
所以平行四边形AMCN是矩形.
基础巩固题
新知应用
6. 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O， ∠AOB = 60°，AB = 2，AC = 4，求 □ ABCD 的面积.
解：∵ AB = 2，AO = AC = 2，∠AOB = 60°，
∴△AOB为等边三角形.
∴ BO =2 ，BD = 2BO = 4 . ∴AC = BD.
∴□ ABCD 是矩形.
在 Rt △ABC 中，BC =
∴□ ABCD 的面积为 .
能力提升题
新知应用
7.如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是 .
2
能力提升题
新知应用
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E．
求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC，
又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线，
∴∠1＝ ∠CAF＝ （∠B＋∠ACB）＝∠B，
∴AE∥BC.
又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AB＝DE，
∴AC＝DE，AE＝DC.
又∵AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形
能力提升题
新知应用
9. 已知：如图，AB＝AC，AE＝AF，且∠EAB＝∠FAC，EF＝BC. 求证：四边形EBCF是矩形．
证明：∵AE＝AF，∠EAB＝∠FAC，AB＝AC，
∴△AEB≌△AFC.
∴EB＝FC，∠ABE＝∠ACF.
又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠EBC＝∠FCB.
∵EB＝FC，EF＝BC，
∴四边形EBCF是平行四边形．
∴EB∥FC，∴∠EBC＋∠FCB＝180°.
∴∠EBC＝∠FCB＝90°，∴四边形EBCF是矩形．
课堂小结
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理
感谢聆听!(共22张PPT)
1.5矩形
第1课时 矩形的性质
第1章 四边形
导入新课
我们在小学就已经认识了长方形，观察下图中的长方形，它们是平行四边形吗？它们还有什么特点呢？
你还能举出其他的例子吗？
它们都是平行四边形.
四个角都是直角.
学 习 目 标
1
2
3
理解矩形的概念，以及矩形与平行四边形的关系.
探索并证明矩形的性质定理，会用它们进行推理和计算（重难点）
理解矩形是中心对称图形又是轴对称图形.
新知探究
★矩形的概念：
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也称为长方形.
平行四边形
有一个角
是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是矩形.
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
新知探究
思 考
矩形的四个角都是直角吗？为什么？
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B = ∠D，∠C = ∠A， AB∥DC.
∴∠B +∠C = 180°.
又∵∠B = 90°，
∴∠C = 90°.
∴∠B = ∠C = ∠D = ∠A = 90°.
已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°.
求证： ∠B = ∠C = ∠D = ∠A = 90°.
A
B
C
D
新知探究
总结归纳
★矩形的性质定理1：
矩形的四个角都是直角.
几何语言
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900
新知探究
矩形的对角线有什么特殊性质吗？
C
A
B
D
O
矩形的对角线相等
你能证明吗？
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC，∠ABC = ∠DCB = 90°.
在△ABC 和△DCB 中，
∵AB = DC，∠ABC = ∠DCB，BC = CB，
∴△ABC≌△DCB.
∴AC = DB.
已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB.
新知探究
总结归纳
★矩形的性质定理2：
矩形的对角线相等.
几何语言
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
C
O
A
D
B
典例分析
例1 如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,
AC= 4cm ，∠AOB=60°.求BC的长.
C
O
A
D
B
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB= AC=2cm.
又∠AOB=60°
所以 △AOB是等边三角形.
∵∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，BC=(cm)
∴AB=OA=2cm
矩形的对角线互相平分且相等，角都是90°
求线段的长度常用方法：运用勾股定理
求BC就要找直角三角形
新知探究
探 究
请同学们拿出一张矩形纸片，折一折，观察并思考.
问题1 怎样折能使矩形在折痕两旁的部分互相
重合 满足这个要求的折法有几种
问题2 思考：矩形是轴对称图形吗 如果
是，它有几条对称轴
对折
2种
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴，有2条对称轴.
新知探究
边 角 对角线 对称性
平行四 边形
矩形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
对边平行
且相等
四个角
为直角
对角线互相
平分且相等
中心对称图形
轴对称图形
这是矩形所特有的性质
总结归纳
基础巩固题
新知应用
2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，
下列说法错误的是 （ ）
A. AB∥DC
B. AC = BD
C. AC⊥BD
D. OA = OB
C
B
O
D
C
A
1. 下列各选项中，不是矩形具有的性质是( )
A. 四个角都是直角 B. 对边平行且相等
C. 对角线互相平分并且相等 D. 对角线互相垂直平分
D
矩形的性质：四个角都是直角，
对边平行且相等
两条对角线互相平分且相等
基础巩固题
新知应用
3. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的( )
A. 等腰梯形 B. 正五边形
C. 平行四边形 D. 矩形
D
4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若AB = 6 cm，BC = 8 cm，则 EF =______cm．
2.5
A
B
C
D
O
E
F
矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形
基础巩固题
新知应用
5.矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB=6，BC=8，则△ABO的周长为 .
16
6. 矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB，则∠BAE等于（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
A
7. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的_________.
基础巩固题
新知应用
基础巩固题
新知应用
8. 已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的一个夹角为60°，求矩形的面积.
O
A
B
C
D
60°
解：如图，∵ 四边形ABCD是矩形，AC=2cm，
∴ OB=OC.
又∵ ∠AOB=60°，
∴ ∠ACB=30°.
∴ AB=AC=1cm=CD
.
∴ 在Rt△ABC中，
矩形的面积：1cm2
基础巩固题
新知应用
9. 如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质说明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
O
A
B
C
D
解 ∵ 四边形ABCD 为矩形，
∴ OA=OC，OB=OD，AC=BD.
∴ OB=OD=AC
.
即 直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于斜边的一半.
基础巩固题
新知应用
10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE//AC，交DC的延长线于点E.求证:BD=BE.
证明:因为四边形ABCD是矩形，
所以AC=BD,AB//CD.
又BE//AC,
所以四边形ABEC是平行四边形,
所以AC=BE,
所以BD=BE.
能力提升题
新知应用
11．如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心、边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F.求证：BF＝AE.
证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠FBC.
∵CF⊥BE，
∴∠BFC＝∠A＝90°.
由作图可知，BC＝BE，
在△EAB和△BFC中，
∠A＝∠CFB，∠AEB＝∠FBC，EB＝BC，
∴△BFC≌△EAB(角角边)． ∴BF＝AE.
能力提升题
新知应用
12.如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8-x)2＝x2，
解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10.
课堂小结
矩形的性质
四个角都是直角，对边平行且相等
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
有一个角是直角的平行
四边形叫作矩形
中心对称图形
对角线的交点是
它的对称中心
性质
定义
感谢聆听!
