1.7 正方形 课件（24张PPT）初中数学湘教版（新教材）八年级下册

(共24张PPT)
1.7 正方形
第1章 四边形
导入新课
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形.
正方形在生活中无处不在.
什么是正方形呢？
学 习 目 标
1
2
3
理解正方形的概念，以及正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系
掌握正方形的性质和判定（重点）
能利用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算 （难点）
新知探究
★正方形的概念：
正方形是特殊的平行四边形，是特殊的矩形，是特殊的菱形.
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
有一个角是直角
一组邻边相等
一组邻边相等
有一个角是直角
新知探究
做一做
请根据平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，在图中适当的空白处填上它们的名称.
正方形是特殊的平行四边形，是特殊的矩形，是特殊的菱形.
那正方形具有哪些性质呢？
矩形
正方形
菱形
平行四边形
新知探究

正方形的性质=
菱形性质
矩形性质
正方形的性质:
O
A
B
C
D
边:
对边平行；
四条边都相等；
四个角都是直角；
对角线相等；
对角线互相垂直平分；
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线以及过每组对边中点的直线都是它的对称轴.
角：
对角线：
对称性：
总结归纳
典例分析
例1 如图，点E 是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D 作DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：DE = DF.
证明线段相等，常用三角形全等
DE=DF
分析：
△ADE≌△CDF
正方形的性质（边、角）
∠EDF=90°
典例分析
例1 如图，点E 是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D 作DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：DE = DF.
证明∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD=CD， ∠A=∠DCF= 90°.
∵ DF⊥DE，
∴ ∠EDF= 90°， 即∠1+∠3 =90°，
又∵ ∠2+∠3= 90°，
∴ ∠1=∠2.
∴ △AED≌△CFD （角边角）.
∴ DE=DF.
新知探究
说一说
如何判断一个四边形是正方形
我们知道正方形既是矩形又是菱形.
可以先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等.（菱形）
也可以先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角（矩形）.
新知探究
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个角是直角
一组邻边相等
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等且
一内角是直角
正方形
总结归纳
正方形的判定：
定义法
菱形法
矩形法
典例分析
例2 如图,已知点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA′ =BB′ =CC′ =DD′.
求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
分析：
由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
三种方法：定义法，矩形法，菱形法.
典例分析
证明：∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ AB = BC = CD = DA.
又∵ AA′ = BB′ = CC′ = DD′，
∴ D′A = A′B = B′C = C′D.
又∵ ∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，
∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.
∴ A′D′= B′A′= C′B′= D′C′.
∴ 四边形 A′B′C′D′ 是菱形.
又∵ ∠1 =∠3， ∠1 +∠2 = 90°，
∴ ∠2 +∠3 = 90°.∴ ∠D′A′B′= 90°.
∴ 四边形 A′B′C′D′ 是正方形.
基础巩固题
新知应用
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A. 四个角相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角互补 D. 对角线相等
2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等
B
D
基础巩固题
新知应用
4. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 .
A
D
B
C
O
E
22.5°
3.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为__________.
5
3
3
9-x
x
基础巩固题
新知应用
5.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A.∠D=90° B.AB＝CD C.AD=BC D.BC=CD
D
6. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_____________（只填写序号）．
②③或①④
矩形法
定义法
基础巩固题
新知应用
7. 已知正方形的一条对角线长为4cm，求它的边长和面积.
A
D
B
C
解 如图，∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC，∠B=90°.
在Rt△ABC中，
∵AB +BC =AC ，AB=BC，AC=4cm，
∴ 2AB =4 ，即AB =8.
∴ AB=2.
∴ 正方形的边长是2cm，面积为8cm
.
基础巩固题
新知应用
8. 如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个矩形一定是正方形吗？为什么？
解 矩形的对角线互相垂直则为菱形.
既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
所以一定是正方形.
矩形法
基础巩固题
新知应用
9.如图，正方形ABCD的对角线AC为菱形AEFC的一边，求∠FAB的度数.
解:因为四边形ABCD为正方形，
所以∠CAB=∠DAB=45°.
又因为四边形ACFE为菱形，
:.∠FAB=∠CAE=45°=22.5°.
能力提升题
新知应用
10.如图，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.
(1)求证：BE＝CF；
(2)求BE的长．
解：(1)∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°.
∵AE平分∠BAC，
∴BE＝EF.
又∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°.
∴∠FEC＝∠FCE.∴EF＝FC.
∴BE＝CF.
能力提升题
新知应用
10.如图，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.
(1)求证：BE＝CF；
(2)求BE的长．
解：(2)设BE＝x，则EF＝CF＝x，
在Rt△CEF中，CE==x
∵BC＝1，
∴x＋ x＝1，
解得x＝ －1，即BE的长为－1.
能力提升题
新知应用
11.四边形 ABCD 是正方形，以正方形ABCD 的一边作等边△ADE，求∠BEC 的大小．
解：当等边△ADE 在正方形 ABCD 外部时，如图①，
∵AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，
∴∠AEB ＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°.
分类讨论
能力提升题
新知应用
当等边△ADE 在正方形 ABCD 内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC 的大小为 30°或 150°.
课堂小结
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
判定
一组邻边相等
有一个角是直角
平行四
边形
正方形
矩形
有一个角是直角
一组邻边相等
菱形
感谢聆听!