2025-2026学年北师大版数学必修第二册课后达标：4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义&4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（含解析）

4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
一、选择题
1．若sin α·cos α>0，则α在(　　)
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
2．当α为第二象限角时，的值是(　　)
A．1 B．0
C．2 D．－2
3．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为(　　)
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
4．设α是第三象限角，且＝－cos ，则所在象限是(　　)
A．第一象限　 B．第二象限
C．第三象限　 D．第四象限
5．某点从点(1，0)出发，沿以坐标原点为圆心的单位圆按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)
A． B．
C． D．
6．如果点P位于第二象限，那么角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．(多选题)函数y＝sin 2x的单调递增区间可以是(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
8．(教材P19练习T3(2)改编)函数y＝的定义域为________．
9．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x的值为________．
10．角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos α＝－，则实数a的值是________．
11．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是________．
12．使得lg (sin α)有意义的角α的取值集合是________．
三、解答题
13．求sin 与cos 的值．
14．已知＝－，且lg (cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．
15．求使函数y＝－sin2x＋sinx＋取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最大值和最小值．
答案
1．B　[由于sin α·cos α>0，∴sin α与cos α同号，因此角α在第一象限或第三象限，故选B．]
2．C　[∵α为第二象限角，
∴sin α>0，cos α<0．
∴＝2．故选C．]
3．C　[由函数性质得ymax＝3，此时sin x＝－1，即x＝2kπ－(k∈Z)，故选C．]
4．B　[因为α是第三象限角，
所以2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，
所以kπ＋<所以在第二、四象限．
又因为＝－cos，
所以cos<0．
所以在第二象限．故选B．]
5．A　[ 由三角函数的定义可得Q，
∵cos＝－，sin，
∴Q．故选A．]
6．C　[由题意知sin α＋cos α<0，
且sin αcos α>0，
∴ ，
∴α为第三象限角．故选C．]
7．BC　[由正弦函数知y＝sin 2x在－≤2x≤上单调递增，故选BC．]
8．R　[由2＋cos x≠0知cos x≠－2，
又由cos x∈[－1，1]，故定义域为R．]
9．－　[ ∵cos α＝x，
∴x＝0或2(x2＋5)＝16，
解得x＝0或x2＝3，
又∵x<0，
∴x＝－．]
10．－2　[∵r＝，
cos α＝＝－，
∴9(a2＋1)＝5(2a＋1)2且2a＋1<0，
解得a＝－2．]
11．sin α＋cos α>1　[设P是角α终边上异于坐标原点的一点，则x>0，y>0，
所以sin α＋cos α＝>＝1．]
12．　[由题意知，sin α>0，所以2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z．]
13．解：如图，在平面直角坐标系中作∠AOB＝，
则∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为B，
所以sin＝－，cos＝－．
14．解：(1)∵＝－，∴sin α<0．①
∵lg(cos α)有意义，∴cos α>0．②
由①②得角α的终边在第四象限．
(2)∵点M在单位圆上，
∴＋m2＝1，
解得m＝±，又α是第四象限角，
∴m<0，∴m＝－，则sin α＝－．
15．解：令t＝sin x，则－1≤t≤1．
y＝－t2＋t＋＝－＋2．
所以，当t＝时，ymax＝2．
此时sin x＝，
即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)．
当t＝－1时，ymin＝．
此时sin x＝－1，
即x＝2kπ＋(k∈Z)．
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