2025-2026学年北师大版数学必修第二册课后达标：4.3诱导公式与对称&4.4诱导公式与旋转（含解析）

4.3诱导公式与对称　
4.4诱导公式与旋转
一、选择题
1．已知sin ＝，则cos 的值等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
2．若sin (θ＋π)<0，cos (θ－π)>0，则θ在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知sin ＝，则cos 的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
4．若sin (π＋α)＋cos ＝－m，则cos ＋2sin (2π－α)的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
5．已知sin ＝，则sin 的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
6．若cos (π＋α)＝－π<α<2π，则sin (2π＋α)等于(　　)
A． B．±
C． D．－
7．(多选题)在△ABC中，下列四个式子为常数的是(　　)
A．sin (A＋B)＋sin C
B．cos (A＋B)＋cos C
C．sin (2A＋2B)＋sin 2C
D．cos (2A＋2B)＋cos 2C
二、填空题
8．cos 660°＝________．
9．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________．
10．已知f (x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)＋2，其中a，b，α，β为常数．若f (2)＝1，则f (2 026)＝________．
11．已知cos (75°＋α)＝，则sin (α－15°)＋cos (105°－α)的值是________．
12．若P(cos θ，sin θ)与Q关于y轴对称，则θ的一个取值为 ________．
三、解答题
13．已知角α终边经过点P(－4，3)，求的值．
14．求证：＝.
(附：sin2θ＋cos2θ＝1)
15．化简：(k∈Z)．
答案
1．A　[cos＝sin＝sin
＝－sin＝－．]
2．B　[∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ>0．
∵cos(θ－π)＝cos(π－θ)＝－cos θ>0，
∴cos θ<0，∴θ为第二象限角．]
3．D　[cos＝cos
＝－sin＝－．]
4．C　[∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α＝－m，
∴sin α＝．故cos＋2sin(2π－α)
＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m．]
5．D　[sin＝sin＝sin＝－sin＝－．]
6．D　[由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，
∵π<α<2π，∴α＝．故sin(2π＋α)＝sin α＝sin ＝－sin＝－ (α为第四象限角)．]
7．BC　[A中sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；
B中cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；
C中sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin[2(π－C)]＋sin 2C
＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
D中cos(2A＋2B)＋cos 2C＝cos[2(π－C)]＋cos 2C
＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C．故选BC．]
8．　[cos 660°＝cos(360°＋300°)＝cos 300°＝cos(180°＋120°)＝－cos 120°＝－cos(180°－60°)＝cos 60°＝．]
9．－1　[cos 179°＝cos(180°－1°)＝－cos 1°，
cos 178°＝cos(180°－2°)＝－cos 2°，
……
cos 91°＝cos(180°－89°)＝－cos 89°，
∴原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋(cos 90°＋cos 180°)
＝cos 90°＋cos 180°＝0＋(－1)＝－1．]
10.1　[∵f(2)＝asin(2π＋α)＋bcos(2π＋β)＋2
＝asin α＋bcos β＋2＝1，∴asin α＋bcos β＝－1．
f(2 026)＝asin(2 026π＋α)＋bcos(2 026π＋β)＋2
＝asin α＋bcos β＋2＝－1＋2＝1．]
11．－　[sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－．]
12．(答案不唯一)　[因为P(cos θ，sin θ)与Q关于y轴对称，故其横坐标相反，纵坐标相等，
即sin θ＝sin且cos θ＝－cos，
由诱导公式sin α＝sin(π－α)，cos α＝－cos(π－α)，
所以θ＋＝π－θ＋2kπ，k∈Z，解得θ＝＋kπ，k∈Z，
则符合题意的θ值可以为．]
13．解：∵角α终边经过点P(－4，3)，
∴sin α＝，cos α＝－，
∴＝－．
14．证明：∵左边＝
＝
＝
＝＝右边．∴原式成立．
15． 解：当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝－1．
综上，原式＝－1．
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