2025-2026学年北师大版数学必修第二册课后达标：5.1正弦函数的图象与性质再认识（含解析）

5.1正弦函数的图象与性质再认识
一、选择题
1．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　)
A．y轴 B．x轴
C．直线x＝ D．直线x＝π
2．函数f＝1＋sin x的最小正周期是(　　)
A． B．π
C． D．2π
3．与图中曲线对应的函数是(　　)
A．y＝|sin x| B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x| D．y＝－|sin x|
4．已知函数y＝2sin x，x∈的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为(　　)
A．4 B．8
C．4π D．2π
5．方程|sin x|＝的根中，在[0，2]内的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．函数f＝的最小正周期是(　　)
A．2π B．π
C． D．
7．方程sin x＝的根的个数是(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
二、填空题
8．函数y＝sin x在[0，2π]上的单调递减区间为________，最大值为________．
9．函数f＝x3＋sin x＋1，x∈R．若f＝2，则f (－a)的值为________．
10．函数f＝3sin x－x的零点个数为________．
11．定义在R上的函数f既是偶函数又是周期函数．若f的最小正周期是π，且当x∈时，f＝sin x，则f的值为________．
12．函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝________．
三、解答题
13．不求值，比较sin 和sin 的大小．
14．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题．
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1；
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．
15．已知函数y＝．
(1)画出这个函数的图象；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
(3)指出这个函数的单调递增区间．
答案
1．C　2．D
3．C　[当x＝时，y<0，可排除A，B；当x＝时，y>0，可排除D，故选C．]
4．C　
[如图所示，
y＝2sin x，x∈的图象与直线y＝2围成的封闭平面图形的面积相当于由x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形的面积，即S＝×2＝4π．]
5．A　[如图所示，在区间[0，π]内，|sin x|＝，又因为2<，所以在区间[0，2]内，|sin x|＝．
]
6．B　[画出函数f的图象(图略)，易知其最小正周期是π．]
7．A　[在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示：
根据图象可知方程有7个根．]
8．　1
9.0　[∵f＝2，∴a3＋sin a＋1＝2．
∴a3＋sin a＝1．
∴f＋sin＋1
＝－＋1＝－1＋1＝0．]
10.3　[由f＝0得sin x＝，画出y＝sin x和y＝的图象如图，可知有3个交点，则f＝3sin x－x有3个零点．
]
11．　[∵f的最小正周期为π，
∴f＝f＝f＝sin．]
12.3π　[如图所示，
x1＋x2＝2×＝3π．]
13．解：因为sin＝－sin ＝－sin＝－sin ，
sin＝－sin ＝－sin＝－sin ＝－sin＝－sin ，
又因为y＝sin x在区间内单调递增，且－<<<，所以sin 因此sin>sin．
14．解：列表如下：
x －π － 0 π
sin x 0 －1 0 1 0
1－2sin x 1 3 1 －1 1
描点连线得：
(1)由图象可知图象在y＝1上方部分时y>1，在y＝1下方部分时y<1，所以①当x∈(－π，0)时，y>1；
②当x∈(0，π)时，y<1．
(2)当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]有两个交点时，1所以a的取值范围是{a|115．解：(1)y＝
＝
其图象如图所示：
(2)由图象知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π．
(3)由图象知函数的单调递增区间为．
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