2025-2026学年北师大版数学必修第二册课后达标：第一章　§1周期变化（含解析）

第一章　§1周期变化
一、选择题
1．如果今天是星期一，则2 025天后的那一天是星期(　　)
A．五 B．六
C．三 D．一
2．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f＝x－在R上为(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．增函数 D．周期函数
3．已知f (x)是定义在R上的周期为3的偶函数，若f<1，f＝，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
4．把化成小数，小数点后第20位是(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
5．探索如图所呈现的规律，判断2 024至2 026箭头的方向是(　　)
A　　　　　B　　　　　 C 　　　D
6．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在(　　)
A．8点处 B．10点处
C．11点处 D．12点处
7．(多选题)设函数D(x)＝则下列结论正确的是(　　)
A．D的值域为{0，1} B．D是偶函数
C．D不是周期函数 D．D不是单调函数
二、填空题
8．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．
9．如图所示，变量y与时间t(s)的图象如图所示，则时间t至少隔________s时，y＝1会重复出现1次．
10．已知函数f (x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f (x)＝4x，则f＋f (1)＝________．
11．设f (x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f (x)＝2x(1－x)，则f＝________．
12．已知f是定义在R上的偶函数，且f (x＋4)＝f (x－2)．若当x∈[－3，0]时，f＝6－x，则f (919)＝________．
三、解答题
13．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径40米．如果某人从最低处登上摩天轮，那么其与地面的距离将随时间的变化而变化，以登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)该人与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？
(2)转四圈需要多少时间？
(3)第四次距地面最高需要多少时间？
(4)转60分钟时，距离地面是多少米？
14．已知函数f是R上的偶函数，g是R上的奇函数，且g＝f．
求证：f是周期函数．
15．函数y＝f是以4为周期的周期函数，且当x∈时，f＝＋1，试求当x∈时， f的解析式．
参考答案
1．C　[每隔七天循环一次，2 025＝7×289＋2，故2 025天后为星期三．]
2．D　[∵f(x)＝x－[x]，
∴f(x＋1)＝(x＋1)－[x＋1]＝x＋1－[x]－1＝x－[x]＝f(x)，
∴f(x)＝x－[x]在R上是周期为1的函数，故选D．]
3．A　[由已知得f＝f＝f，
所以<1，解得－14．C　[＝0.142 857…，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为6．
∵20＝3×6＋2，
∴第20位为4．]
5．A　[观察题图可知每增加4个数字就重复相同的位置，则2 024至2 026箭头的方向与0至2箭头的方向是相同的．故选A．]
6．B　[由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟后分针应指在10点处，故选B．]
7．ABD　[根据解析式易知A和D正确；若x是无理数，则－x和x＋1也是无理数，若x是有理数，则－x和x＋1也是有理数，所以D(－x)＝D(x)，D(x＋1)＝D(x)，从而可知B正确，C错误．故选ABD．]
8．红　[周期为7，30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．]
9．2　[由题干图象易知周期为2，所以至少隔2 s时，y＝1会重复出现1次．]
10．－2　[∵函数f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)，
f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，
∴－f(1)＝f(1)，即f(1)＝0，
∴f＝f＝f＝－f＝－＝－2，
∴f＋f(1)＝－2．]
11．－　[先利用周期性，再利用奇偶性得：
f＝f＝－f＝－．]
12.6　[∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，
即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(x)是周期为6的周期函数，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6．]
13．解：(1)是周期现象，周期12分钟．
(2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．
(3)第1次距离地面最高需＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．
(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．
14．证明：由g＝f，得g＝f，
又g为R上的奇函数，∴g＝－g．
∴f＝－f，
即f＝－f．
用x＋1替换x，得f＝－f，
又f是R上的偶函数，
∴f＝－f．
∴f＝f，f是周期函数且周期为4．
15．解：因为y＝f是以4为周期的周期函数，所以，
当x∈时， x－4∈，
f＝f＋1＝．
当x∈时， x－8∈，
f＝f＋1＝．
综上得，f
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