2025-2026学年北师大版数学必修第二册课时达标练：第一章　§3弧度制（含解析）

第一章　§3弧度制
一、选择题
1．－105°化为弧度是(　　)
A．π rad B．－π rad
C．－π rad D．－π rad
2．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
3．在半径为1的圆中，面积为1的扇形的圆心角的弧度数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形的面积是(　　)
A．4 cm2 B．2 cm2
C．4π cm2 D．2π cm2
5．(教材P12习题1－3B组T2改编)在半径为10的圆中，240°的圆心角所对的弧长为(　　)
A．π B．π
C．π D．π
6．原始的蚊香出现在宋代．根据宋代《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”的总长度为(　　)
A． B．14π
C．24π D．10π
7．已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转(　　)
A． B．
C． D．π
二、填空题
8．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是________．
9．若α＝2，则角α的终边所在的象限为________．
10．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．
11．半径为1 cm，圆心角为150°的角所对的弧长为________ cm．
12．已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为______________；若圆的一段弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为________．
三、解答题
13．把下列角化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，写出终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角．
(1)－；(2)－1 485°．
14．已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．
15．如图，一长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．(圆心角为正)
答案
1．B　[－105°＝－105× rad＝－π rad．故选B．]
2．C　[与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，故选C．]
3．B　[由S＝α·r2，得1＝·α·12，∴α＝2．故选B．]
4．A　[设扇形的半径为r，则由l＝|α|r，
得r＝＝2(cm)，∴S＝|α|r2＝×2×22＝4(cm2)，故选A．]
5．A　[240°＝240× rad＝π rad，
∴弧长l＝|α|·r＝π×10＝π，故选A．]
6．B　[由题意知：“螺旋蚊香”的总长度为l＝×2π(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝14π，故选B．]
7．B　[设从动轮N逆时针旋转θ rad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以××θ，解得θ＝，故选B．]
8．　[设三角形的三个内角的弧度数分别为4x，5x，6x，则有4x＋5x＋6x＝π，解得x＝，∴最大内角的弧度数为6x＝．]
9．第二象限　[∵α＝2，∴<α<π，故α在第二象限．]
10．　[由于S＝lR，若l'＝l，R'＝R，
则S'＝l'R'＝×l×R＝S．]
11．　[∵150°＝150× rad＝ rad，∴l＝×1＝ cm．]
12.2　4　[设圆的半径为r，这段弧所对圆心角的弧度数为θ，则圆外切正三角形的边长为2r，∴|θ|＝＝2r，这段弧的弧长为4r，∴|θ|＝＝4．]
13．解：(1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角．终边相同的角的集合为．
(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋，它是第四象限角．终边相同的角的集合为．
14．解：设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S．由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r．
∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r
＝－．
∵r>0，l＝a－2r>0，∴0∴当r＝时，Smax＝．
此时，l＝a－2·，
∴α＝＝2．故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为 ．
15．解：在扇形ABA1中，圆心角恰为，弧长l1＝·AB＝＝π(dm)，面积S1＝·AB2＝·4＝π(dm2)．
在扇形A1CA2中，圆心角也为，弧长l2＝·A1C＝·1＝(dm)，面积S2＝·A1C2＝·12＝(dm2)．
在扇形A2DA3中，圆心角为π－，弧长l3＝·A2D＝π(dm)，面积S3＝·A2D2＝·()2＝(dm2)，
综上，点A走过的路程长l＝l1＋l2＋l3＝π＋(dm)，点A走过的弧所在的扇形的总面积S＝S1＋S2＋S3＝π＋(dm2)．
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