第1章 四边形 自我评估（二）（含答案） 2025-2026学年数学湘教版八年级下册

第1章 四边形自我评估（二）
（本试卷满分100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.下列说法不正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．邻边相等的矩形是正方形
2.如图1，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．若∠EFG=58°，则∠FEG的度数是（ ）
A. 58° B. 60° C. 45° D. 30°
图1 图2 图3 图4
3.如图2，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角并打开，剪出的纸片形状一定是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
4．如图3，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=90°，BD=12，AC=8，则AB的长为（　　）
A. 20 B. C. 4 D.
5．如图4，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝6，则菱形ABCD的面积是（　 ）
A．6 B．12 C．24 D．48
图5 图6 图7 图8 图9
6．如图5，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE=1，CF=3，则AB的长为（ 　）
A． B．10 C．3 D．
7.如图6，在△ABC中，D是BC边上的点（与 B，C两点不重合），过点D 作DE∥AC,DF∥AB, 分别交 AB,AC于 E，F 两点，下列说法正确的是（ ）
A. 若 AD⊥BC,则四边形 AEDF 是矩形 B. 若 AD垂直平分 BC，则四边形AEDF 是矩形
C. 若 BD=CD，则四边形 AEDF 是菱形 D. 若 AD 平分 ∠BAC，则四边形AEDF是菱形
8．如图7，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若BD＝6，则四边形CODE的周长是（　　）
A．10 B．12 C．18 D．24
9．如图8，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，连接BE交AD于点F，则∠DFE的度数为（ ）
A. 45° B. 55° C. 60° D. 75°
10.如图9，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论：①DC＝3OG；②OG＝BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE＝S矩形ABCD．其中正确的个数为（　）
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的面积为___________．
12.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=4 cm，则BC的长为____cm．
13. 如图10，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则内角和增加 °，外角和增加 °.
图10 图11 图12 图13
14. 如图11，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点F，过点F作EF⊥BD交AD于点E.若△ABE的周长是10，则□ABCD的周长是 .
15.如图12，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，E是BC边的中点，点P在对角线AC上，连接BP，EP，则△BPE周长的最小值为___________．
16.如图13，在矩形ABCD中，AD=5,AB=8,点 E为 DC边上的一个动点，把 沿 折叠，当点D的对应点刚好落在矩形ABCD 的对称轴上时，则DE的长为 .
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17.（5分）如图14，在矩形ABCD中，点E在BE上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．求证：DF＝AB．
图14
18.（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AE∥CD,CE∥AB，判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．
图15
19.（6分）如图16，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N，求证：DP＝MN．
图16
20.（7分）如图17，在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，BE＝DF，连接AF，BF.
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.
图17
21.（8分）如图18，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=，BD=2，求OE的长．
图18
22.（9分）如图19，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，
（1）求DE的长；
（2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；
图19
23．（11分）如图20，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与点B，C，D重合．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当点E，F在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，说明理由并求值．
图20
附加题（20分，不计入总分）
如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，AD＝5 cm，折叠纸片使点B落在边AD上的点E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF.
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图②），求菱形BFEP的边长；
②若限定点P，Q分别在边BA，BC上移动，求点E在边AD上移动的最大距离．
第1章 四边形自我评估（二）参考答案
一、1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.A 7.D 8.B 9.D 10.C
二、11.1 12.4 13.180 14.20 15.2+2 16.或
三、17.证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC，∠B＝90°.所以∠AEB＝∠DAF.
又因为DF⊥AE，所以∠DFA＝90°.所以∠DFA＝∠B.
在△ADF和△EAB中，∠DFA＝∠B，∠DAF＝∠AEB，AD＝AE，所以△ADF≌△EAB.
所以DF＝AB．
18.解：四边形ADCE是菱形．
证明：因为AE∥CD,CE∥AB，所以四边形ADCE是平行四边形．
又因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，所以CD=AD.
所以四边形ADCE是菱形．
19.证明：连结PB．
因为四边形ABCD是正方形，所以BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°．
在△CBP和△CDP中，BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，PC=PC,所以△CBP≌△CDP．所以DP＝BP．
因为PM⊥AB，PN⊥BC，∠MBN＝90°，所以四边形BNPM是矩形．所以BP＝MN．
所以DP＝MN．
20.证明：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以BE∥DF.又因为BE＝DF，所以四边形BFDE是平行四边形．因为DE⊥AB，所以∠DEB＝90°.所以四边形BFDE是矩形．
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD＝BC，AB∥DC.所以∠DFA＝∠FAB.
由（1）可知四边形BFDE是矩形，所以∠BFD＝90°.所以∠BFC＝90°.
在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC＝5.所以AD＝BC＝5.因为DF＝5，所以AD＝DF.
所以∠DAF＝∠DFA.所以∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.
21.解：（1）因为AB∥DC，所以∠CAB=∠ACD．
因为AC平分∠BAD，所以∠CAB=∠CAD.所以∠CAD=∠ACD.所以AD=CD．
因为AB=AD，所以AB=CD．因为AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形．
因为AB=AD，所以ABCD是菱形．
（2）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD=1．
在Rt△AOB中，OA==2．
因为CE⊥AB，所以∠AEC=90°．
在Rt△AEC中，O为AC的中点，所以OE=AC=OA=2．
22．解：（1）因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DBC＝∠BCA＝∠ACD＝45°.
因为CE平分∠ACD，所以∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝22.5°.
所以∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+22.5°＝67.5°.
因为∠DBC＝45°，所以∠BEC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°＝∠BCE.所以BE＝BC＝.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得BD＝＝2.
所以DE＝BD﹣BE＝2﹣.
（2）因为EF⊥CE，所以∠CEF＝90°.所以∠FEB＝∠CEF﹣∠CEB＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠DCE.
因为∠FBE＝∠CDE＝45°，BE＝BC＝CD，所以△FEB≌△ECD.所以BF＝DE＝2﹣.
（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，所以∠B＝60°，∠BAC＝
∠BAD＝60°.
所以△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝AC．因为△AEF为等边三角形，所以AE＝AF，∠EAF＝60°.
所以∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC，即∠BAE＝∠CAF.所以△BAE≌△CAF.所以BE＝CF．
（2）解：四边形AECF的面积不会发生变化．
理由：因为△BAE≌△CAF，所以S△ABE＝S△ACF.所以S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC.
因为△ABC的面积是定值，所以四边形AECF的面积不会发生变化．
连接BD交AC于点O.在Rt△ABO中，AB=4，AO=2，由勾股定理，得BO=2.
S△ABC=×4×2=4，即四边形AECF的面积是4.
附加题
（1）证明：由折叠可得BP＝EP，∠BPF＝∠EPF.
又因为PF＝PF，所以△PBF≌△PEF.所以BF＝EF.
因为EF∥AB，所以∠BPF＝∠EFP.所以∠EPF＝∠EFP.所以EP＝EF.
所以BP＝BF＝EF＝EP.所以四边形BFEP为菱形．
（2）解：①因为四边形ABCD是矩形，所以BC＝AD＝5 cm，CD＝AB＝3 cm，∠A＝∠D＝90°.
由折叠可得BP＝EP，CE＝BC＝5 cm.
在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE＝4 cm.所以AE＝AD－DE＝5－4＝1（cm）．
设BP＝EP＝x cm，则AP＝（3－x）cm.
在Rt△APE中，由勾股定理，得EP2＝AE2＋AP2，即x2＝12＋（3－x）2，解得x＝.
所以菱形BFEP的边长为cm.
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1 cm.
当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3 cm.
3－1＝2（cm），所以点E在边AD上移动的最大距离为2 cm.