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北师大版（2026）八年级数学下册第四章《因式分解》教学设计
4.3公式法（完全平方）
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 用完全平方公式分解因式 课时 1
课标要求 能识别一个多项式是否符合完全平方公式的特点，理解公式结构，掌握变形技巧，并熟练地运用完全平方公式进行因式分解。
教材分析 学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
学情分析 学生的知识技能基础：学生在七年级下册第一章中已经学习过完全平方公式，将其逆用就是本节课所涉及的主体知识．对于公式逆用，学生已经不是第一次接触了，在上一节课中学生已经经历过将平方差公式逆用的过程，应该说是比较熟悉的。学生活动经验基础：通过上节课的学习，学生积累了一定的学习经验。本节课的学习模式与前者基本相同：公式倒用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分解因式以及要求分解彻底。这些活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．
核心素养目标 使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。
教学重点 掌握完全平方公式的特点，利用公式进行因式分解。
教学难点 学会观察多项式的特点，合理变形恰当地进行分解因式。
教学准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式。2.我们已经学过哪些因式分解的方法？①.提公因式法；②.平方差公式 3.把下面多项式进行因式分解，并说一说因式分解的方法： 【利用平方差公式进行因式分解】【利用平方差公式进行因式分解】3a(y-2)-2b(2-y)=(y-2)(3a+2b)【提取公因式】 回顾旧知，并完成两道因式分解。 回顾旧知，为新授奠基。
二、引新 除了平方差公式外，还学过了哪些公式？ 【首平方，尾平方。积的2倍写中央】 用字母表示完全平方公式，并熟悉记忆诀窍。 引入完全平方公式，为新授奠基
三、探究 1、完全平方公式：现在我们把完全平方公式反过来，可得：两个数的平方和，加上这两个数的积的两倍，等于这两数和（或差）的平方．2、完全平方公式的几何意义你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？用完全平方分解因式 = 3、下列各式是不是完全平方式？（1）a－4a+4; 【是】 （2）1+4a ; 【不是】（3）4b+4b-1; 【不是】 （4）a+ab+b; 【不是】（5）x+x+0.25.【是】小组合作：如何判断一个多项式是不是完全平方式？请你从以下三方面总结完全平方式的特点.（①项数；②每一项特点；③符号.）小结：判断一个多项式是不是完全平方式的方法①多项式为三项式；②首末项是平方且符号相同；③中间项是乘积2倍，符号正负均可；④a和b可以表示数、单项式或多项式.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．x+ 2xy +y. (2)4a+9b+ 12ab .（3）x- 2xy +4y (4)a+ ab + b（5）x+2xy+ y . 分析完全平方公式的结构特点，判断多项式是否是完全平方，并交流合作总结判断方法。补上一项，使多项式成为完全平方式。 渗透数形结合思想、通过小组合作交流，理解判断一个多项式是不是完全平方的方法，加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的分解因式做能力铺垫．
四、变式 例1 把下列完全平方式因式分解： EMBED Equation.3 这里把（m+n）看作整体！例2 把下列各式因式分解：小结：因式分解的步骤：一提：有公因式先提公因式二套：套用公式三检查：检查因式分解结果是否彻底 自学例题1、2。小结因式分解的步骤。 培养学生对平方差公式的应用能力,让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．在运用整体法时，注意去括号后的符号变化和系数变化。
五、尝试 基础达标：1.下列各式是不是完全平方式？（1）a－6a+4; 【不是，6改4或4改9】 （2）1+4a +2x;【不是，4改1或2改4】（3）4b+4b+1; 【是】 （4）a+ab+b;【不是，ab改2ab】（5）x+2x+0.25. 【不是.2改1或0.25改1】2. 如果x-6x+n是一个完全平方式,那么n是( B ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -93.如果x-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为 ±8.4.下列四个多项式中，能因式分解的是( B ) A．a＋1 B．a－6a＋9 C．x＋5y D．x－5y5.把多项式4xy－4xy－x分解因式的结果是( B )A．4xy(x－y)－x B．－x(x－2y)C．x(4xy－4y－x) D．－x(－4xy＋4y＋x)6.因式分解：(1)－3ax＋24ax－48a； (2)(a＋4)－16a.7.计算：（1）38.9－2×38.9×48.9＋48.9. （2）解：(1)原式＝(38.9－48.9)=100解：（2）原式能力提升：8.若x-5x=3，求(x-1)(2x-1)-(x+1)+1的值.解：原式=2x-3x+1-(x+2x+1)+1 =x-5x+1 =3+1 =4.9.已知x－y=2，y－z=2，x＋z=4，求x－z的值.解：由x－y=2，y－z=2，得x－z=4.又∵x＋z=4，∴原式=(x＋z)(x－z)=16.智慧数（课本121页）3、5、7、8、9、11、12、13、15、16、17……都是智慧数，发现每4个数字为一组，除1、2、3、4只有一个智慧数，其他每组数字都有3个智慧数，1000个智慧数中除第一组一个智慧数外，还需999个即需要333组，加上第一组共需要334组数字，而334×4=1336，所以第1000个智慧数是1336。拓展迁移10.已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b的值；解：原式＝a－2ab＋b＝(a－b).当a－b＝3时，原式＝3＝9. 11.已知ab＝2，a＋b＝5，求ab＋2ab＋ab的值．解：原式＝ab(a＋2ab＋b)＝ab(a＋b).当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×5＝50. 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 1、因式分解的步骤：一提：有公因式先提公因式二套：套用公式三检查：检查因式分解结果是否彻底2、数学思想：数形结合；整体思想；方法：类比、观察、小组交流 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.判断下列各式正误：（1）x +y =（x+y) ( × ) （2）x –y = (x–y) ( × )（3）x –2xy+y = (x–y) ( ) （4）–x –2xy–y =–（x+y) ( )2、把下列各式因式分解：（1）m –12mn+36n （2）16a +24ab+9b =m -2·mn·6 +(6n) =(4a) +2·4ab·3+(3b) =(m-6n) =(4a+3b) （3）–2xy–x –y （4）(a+b) +10(a+b)+25 =–(x +2xy+y ) =(a+b) +2·(a+b)·5+5 =–(x+y) =(a+b+5) 3.若m＝2n＋1，则m－4mn＋4n的值是 1 ．4.若关于x的多项式x－8x＋m是完全平方式，则m的值为 ±4．5.因式分解x－9y的正确结果是( B )A.(x+9y)(x－9y) B.(x+3y)(x－3y) C.(x－3y) D.(x－9y)6.下列各式中不能用完全平方公式因式分解的是( D )A.-x2+2xy-y2 B.x4-2x3y+x2y2 C.(x2-3)2-2(3-x2)+1 D.x2-xy+12y2能力提升：7.已知x=3y+5，且x2﹣7xy+9y2=24，则x2y﹣3xy2的值为( C )A.0 B.1 C.5 D.128.若实数x、y、z满足(x﹣z)2﹣4(x﹣y)(y﹣z)=0，则下列式子一定成立的是( D )A.x+y+z=0 B.x+y﹣2z=0 C.y+z﹣2x=0 D.z+x﹣2y=0已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a＋2b＋c－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．拓展迁移：已知x－4x＋y－10y＋29＝0，求xy＋2xy＋1的值．
教学反思
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
＝－3a2(x－4)2；
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a＋2)2(a－2)2.
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第四章 因式分解
4.3公式法（完全平方公式）
01
教学目标
02
知识回顾
03
课前检测
04
问题导入
06
课堂练习
07
课堂小结
05
探究新知
08
课外作业
01
教学目标
使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．
01
经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。
02
培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。
03
02
知识回顾
1.因式分解：
把一个多项式转化为几个整式的积的形式
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
1.提公因式法
2.平方差公式
02
课前检测
把下面多项式进行因式分解，并说一说因式分解的方法：
平方差公式
平方差公式
3a(y-2)-2b(2-y)
=3a(y-2)+2b(y-2)=(y-2)(3a+2b)
提公因式
03
问题导入
除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
完全平方
03
新知探究
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
两个数的平方和，加上 这两个数的积的两倍，等于这两数和 的平方．
1、完全平方公式：
（或减去）
（或者差）
03
新知探究
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
a2+2ab+b2
=
用完全平方分解因式
（a+b）2
2、完全平方公式的几何意义
03
新知探究
3.下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
不是
不是
不是
是
小组合作：如何判断一个多项式是不是完全平方式？请你从以下三方面总结完全平方式的特点.（①项数；②每一项特点；③符号.）
03
探究小结
①多项式为三项式；
②首末项是平方且符号相同；
③中间项是乘积2倍，符号正负均可；
④a和b可以表示数、单项式或多项式.
判断一个多项式是不是完全平方式的方法
03
新知探究
2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
03
新知探究
例1 把下列完全平方式因式分解：
把（m+n）看作整体！
03
新知探究
例2 把下列各式因式分解：
（1）
（2）
知识要点
因式分解的步骤：
一提：有公因式先提公因式
二套：套用公式
三检查：检查因式分解结果是否彻底
数学思想：数形结合、整体思想。
方法：类比、观察、小组交流。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各式是不是完全平方式？如果不是请改动一个数变成是。
（1）a2－6a+4; （2）1+4a +2a;
（3）4b2+4b+1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+2x+0.25.
2. 如果x2-6x+n是一个完全平方式,那么n是( )
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
不是，6改4或4改9
不是，4改1或2改4
是
不是，ab改2ab
不是.2改1或0.25改1
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
4.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y
5.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
±8
B
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
6.因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2.
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2；
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a＋2)2(a－2)2.
有公因式要先提公因式
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
7.计算：（1）38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
（2）
解：(1)原式＝(38.9－48.9)2
(2)原式
＝100.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
8.若x2-5x=3，求(x-1)(2x-1)-(x+1)2+1的值.
解：原式=2x2-3x+1-(x2+2x+1)+1
=x2-5x+1
=3+1
=4.
9.已知x－y=2，y－z=2，x＋z=4，求x2－z2的值.
解：由x－y=2，y－z=2，得x－z=4.
又∵x＋z=4，
∴原式=(x＋z)(x－z)=16.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3、5、7、8、9、11、12、13、15、16、17……都是智慧数
发现；每4个数字为一组，除1、2、3、4只有一个智慧数，其他每组数字都有3个智慧数，1000个智慧数中除第一组一个智慧数外，还需999个即需要333组，加上第一组共需要334组数字，而334×4=1336，所以第1000个智慧数是1336。
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
10.已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
解：原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
11.已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当ab＝2，a＋b＝5时，
原式＝2×52＝50.
05
课堂小结
（1）形如_______________ _形式的多项式可以用完全平方公式分解因式。
（2）因式分解通常先考虑_____________ 方法。再考虑____________方法。
提取公因式法
运用公式法
（3）因式分解要 _
彻底
注意：一提二套三检查
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1、判断下列各式正误：
（1）x +y =（x+y) ( ) （2）x –y = (x–y) ( )
（3）x –2xy+y = (x–y) ( ) （4）–x –2xy–y =–（x+y) ( )
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2、把下列各式因式分解：
（1）m –12mn+36n （2）16a +24ab+9b
=m – 2·mn·6 +(6n) =(4a) +2·4ab·3+(3b)
=(m-6n) =(4a+3b)
（3）–2xy–x –y （4）(a+b) +10(a+b)+25
=–(x +2xy+y ) =(a+b) +2·(a+b)·5+5
=–(x+y) =(a+b+5)
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是_____．
4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为_______．
5.因式分解x －9y 的正确结果是( )
A.(x+9y)(x－9y) B.(x+3y)(x－3y) C.(x－3y) D.(x－9y)
6.下列各式中不能用完全平方公式因式分解的是( )
A.-x +2xy-y B.x -2x y+x y
C.(x -3) -2(3-x )+1 D.x -xy+12y
1
±4
B
D
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7.已知x=3y+5，且x﹣7xy+9y =24，则x y﹣3xy 的值为( )
A.0 B.1 C.5 D.12
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8.若实数x、y、z满足(x﹣z) ﹣4(x﹣y)(y﹣z)=0，则下列式子一定成立的是( )
A.x+y+z=0 B.x+y﹣2z=0 C.y+z﹣2x=0 D.z+x﹣2y=0
D
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
9.已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
∴△ABC是等边三角形．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，
06
作业布置
【综合拓展类作业】
10.已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
＝112＝121.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
∴x2－4x+4＋y2－10y＋25＝0，
Thanks!
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第四章 《因式分解》导学案
4.3公式法（完全平方公式）
学习目标与重难点
学习目标：
使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．
经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。
培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。
学习重点：
掌握完全平方公式的特点，利用公式进行因式分解。
学习难点：
学会观察多项式的特点，合理变形恰当地进行分解因式。
预习自测
一、知识链接
因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式。
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
①.提公因式法；②.平方差公式
【提取公因式】
自学自测
把下面多项式进行因式分解，并说一说因式分解的方法：
3a(y-2)-2b(2-y)
教学过程
问题引入
除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
你是如何记住这个公式的：【首平方，尾平方。积的2倍写中央】
二、合作交流、新知探究
1、完全平方公式
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
即两个数的平方和，加上这两个数的积的两倍，等于这两数和（或差）的平方．
2、完全平方公式的几何意义
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
用完全平方分解因式 =
3、下列各式是不是完全平方式？
（1）a－4a+4; （ ） （2）1+4a ; （ ） （3）4b+4b-1; （ ） （4）a+ab+b; （ ） （5）x+x+0.25.（ ）
小组合作：如何判断一个多项式是不是完全平方式？请你从以下三方面总结完全平方式的特点.（①项数；②每一项特点；③符号.）
【强调】：判断一个多项式是不是完全平方式的方法
①多项式为三项式；
②首末项是平方且符号相同；
③中间项是乘积2倍，符号正负均可；
④a和b可以表示数、单项式或多项式.
请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
x+ +y. (2)4a+9b+ . （3）x- +4y
(4)a+ + b （5）x+2xy+ .
5、典例精析
例1 把下列完全平方式因式分解：
这里把（m+n）看作整体！
例2 把下列各式因式分解：
先提取公因式再用完全平方式
注意符号
【强调】：因式分解的步骤：
一提：有公因式先提公因式
二套：套用公式
三检查：检查因式分解结果是否彻底
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.下列各式是不是完全平方式？
（1）a－6a+4; （2）1+4a +2x; （3）4b+4b+1;
（4）a+ab+b; （5）x+2x+0.25.
2. 如果x-6x+n是一个完全平方式,那么n是( )
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
3.如果x-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为 。
4.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a＋1 B．a－6a＋9 C．x＋5y D．x－5y
5.把多项式4xy－4xy－x分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x B．－x(x－2y)
C．x(4xy－4y－x) D．－x(－4xy＋4y＋x)
6.因式分解：
(1)－3ax＋24ax－48a； (2)(a＋4)－16a.
7.计算：（1）38.9－2×38.9×48.9＋48.9. （2）
能力提升：
8.若x-5x=3，求(x-1)(2x-1)-(x+1)+1的值.
9.已知x－y=2，y－z=2，x＋z=4，求x－z的值.
智慧数（课本121页）
拓展迁移
已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b的值；
11.已知ab＝2，a＋b＝5，求ab＋2ab＋ab的值．
总结反思、拓展升华
1、因式分解的步骤：
一提：有公因式先提公因式
二套：套用公式
三检查：检查因式分解结果是否彻底
2、数学思想：
数形结合；整体思想；
3、方法：
类比、观察、小组交流
五、【作业布置】
基础达标：
1.判断下列各式正误：
（1）x +y =（x+y) ( ) （2）x –y = (x–y) ( )
（3）x –2xy+y = (x–y) ( ) （4）–x –2xy–y =–（x+y) ( )
2、把下列各式因式分解：
（1）m –12mn+36n （2）16a +24ab+9b
（3）–2xy–x –y （4）(a+b) +10(a+b)+25
3.若m＝2n＋1，则m－4mn＋4n的值是 ．
4.若关于x的多项式x－8x＋m是完全平方式，则m的值为 ．
5.因式分解x－9y的正确结果是( )
A.(x+9y)(x－9y) B.(x+3y)(x－3y) C.(x－3y) D.(x－9y)
6.下列各式中不能用完全平方公式因式分解的是( )
A.-x2+2xy-y2 B.x4-2x3y+x2y2 C.(x2-3)2-2(3-x2)+1 D.x2-xy+12y2
能力提升：
7.已知x=3y+5，且x2﹣7xy+9y2=24，则x2y﹣3xy2的值为( )
A.0 B.1 C.5 D.12
8.若实数x、y、z满足(x﹣z)2﹣4(x﹣y)(y﹣z)=0，则下列式子一定成立的是( )
A.x+y+z=0 B.x+y﹣2z=0 C.y+z﹣2x=0 D.z+x﹣2y=0
已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a＋2b＋c－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
拓展迁移：
已知x－4x＋y－10y＋29＝0，求xy＋2xy＋1的值．
课堂作业参考答案
1、（1）不是，6改4或4改9；（2）不是，4改1或2改4
（3）是 （4）不是，ab改2ab
（5）不是.2改1或0.25改1。
2、B
3、±8
4、B
5、B
6、
7、解：(1)原式＝(38.9－48.9)=100 解：（2）原式
8、解：原式=2x-3x+1-(x+2x+1)+1
=x-5x+1
=3+1
=4.
9、解：由x－y=2，y－z=2，得x－z=4.
又∵x＋z=4，
∴原式=(x＋z)(x－z)=16.
智慧数（课本121）
3、5、7、8、9、11、12、13、15、16、17……都是智慧数，发现每4个数字为一组，除1、2、3、4只有一个智慧数，其他每组数字都有3个智慧数，1000个智慧数中除第一组一个智慧数外，还需999个即需要333组，加上第一组共需要334组数字，而334×4=1336，所以第1000个智慧数是1336。
10、解：原式＝a－2ab＋b＝(a－b).
当a－b＝3时，原式＝3＝9.
11、解：原式＝ab(a＋2ab＋b)＝ab(a＋b).
当ab＝2，a＋b＝5时，
原式＝2×5＝50.
课外作业参考答案
（1）×、（2）×、（3）√、（4）√
2、（1）m –12mn+36n （2）16a +24ab+9b
=m -2·mn·6 +(6n) =(4a) +2·4ab·3+(3b)
=(m-6n) =(4a+3b)
（3）–2xy–x –y （4）(a+b) +10(a+b)+25
=–(x +2xy+y ) =(a+b) +2·(a+b)·5+5
=–(x+y) =(a+b+5)
3、1
4、±4
5、B
6、D
7、C
D
9、
10、
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024）） 册、章 下册第四单元
课标要求 内容要求：理解概念，了解因式分解的意义，理解因式分解与整式之间的互逆关系。掌握方法，能用提取公因式、公式法进行因式分解。会用因式分解的知识解决简单的实际问题或进行代数式的求值、证明。学生学习本单元后应达到：准确判断一个多项式的变形是否为因式分解，能根据整式乘法和因式分解的关系进行简单的计算和推理；能灵活的运用提取公因式和公式法对多项式进行分解；通过对整式乘法和因式分解互逆关系的探究，发展学生的逆向思维。
内容分析 本章有三小节：1、因式分解；突出与分解因数的类比，体会因式分解的必要性，并用几何拼图解释因式分解，在了解因式分解的基础上体会因式分解和与整式乘法之间的关系。2、提取公因式；它根据乘法的分配律或单项式乘多项式的法则，对于学生来说是难以发现公因式，为此教材安排简单的公因式入手，由浅入深的引导学生发现公因式，并一例题的形式学习提取公因式分解的方法指导及注意事项，形成基本技能。3、公式法。其关键是熟悉平方差公式和完全平方公式的特点，学生初学的一个难点是根据多项式和公式的特点选择恰当的公式，为此教材将平方差公式和完全平方公式分别安排一个课时分开教学，然后再用一个课时来综合练习，加深学生对公式特点的认识
学情分析 学生已经掌握乘法的分配律及分配律的逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为因式分解奠定了良好的基础。由整式乘法寻求因式分解是一种逆向思维，而逆向思维对于八年级学生来说比较生疏，接受起来有一定的困难，所以对学生来说因式分解的方法是一个难点。 基于学生在小学学过因数分解的经验，对于因式分解的概念还完全陌生，因此本章在学生掌握因式分解的概念的基础上，学习几种因式分解的基本方法（提取公因式法、公式法），有意识的培养学生的数学知识的迁移能力 、类比能力和逆向思维能力。
单元目标 （一）教学目标1、通过经历因式分解的过程，比较整式乘法和因式分解的联系与区别，体会逆向思维的方法和转化思想。2、了解因式分解法人意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式的方法进行因式分解。3、会用平方差公式、完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。4、通过对平方差、完全平方逆向变形，将一个整式看作“元”进行分解，发展学生的观察、类比、归纳、猜测的能力，进一步体会类比、换元思想，提高处理数学问题的能力。（二）教学重点、难点重点：用提取公因式、公式法进行因式分解。难点：1发现多项式的公因式，2、根据多项式的特点和公式的特点合理使用公式法进行因式分解。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数01因式分解102提取公因式（1）103提取公因式（2）104公式法（平方差公式）105公式法（完全平方式）105回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务因式分解1、使学生了解因式分解的意义，会判断什么是因式分解．2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．1、学生回忆旧知。完成填空题。2、通过计算，体会整式乘法和分解因式的互逆关系。并引出因式分解的意义。3、观察拼图，写出相应的代数式。理解因式分解的意义和因式分解与整式乘法的互逆关系。4、观察9个算式，小组讨论得出分解因式注意点:①分解的对象必须是多项式，②分解的结果一定是几个整式的乘积的形式。完成例题2、3的学习，体会分解因式在解决实际问题中的作用。完成课堂作业。引导学生进行课堂总结。环节一：温故知新环节二：引入新课环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结提取公因式（1）1.理解因式分解的概念及它与整式乘法的关系，学会确定多项式的公因式并会用提公因式法分解因式.2. 培养学生观察、分析、归纳的能力及逆向思维能力，并向学生渗透类比、化归、整体等数学思想方法．3.通过互助交流、生生互动,使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯．1、回顾知识。2、简便计算。3、两种方法表示面积。4、认识公因式，并总结找公因式的方法。5、初步感知提取公因式。6、学生完成两个例题的自学，教师巡视完成情况，强调：①当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。②多项式第一项系数为负数时，通常提出“-”，使括号里面第一项为为正数，其他各项注意符号的改变。7、完成课堂作业。8、引导学生进行课堂总结。环节一：温故知新环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结提取公因式（2）1．进一步理解“公因式”和“提公因式法”的意义，掌握确定公因式的方法。2．掌握公因式为多项式的因式分解。3．渗透类比、整体、化归、数形结合思想，培养学生的观察能力和类比推理能力。1、学生回顾旧知，并完成两个因分解。2、完成情景题，并用数形结合解释因式分解的过程。3、自主学习例题2，用记号笔圈出公因式，4、小组探究符号变化规律；完成做一做，5、根据符号变化规律自学例题3.6、拼图，利用面积关系解释因式分解。7、完成课堂作业。8、引导学生进行课堂总结。环节一：温故知新环节二：情景导入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结公式法（平方差公式）了解平方差公式的几何背景，能用平方差公式进行因式分解。2、了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解。3、经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、整体的思想，感受数学知识的完整。4、在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。1、计算整式乘法（平方差公式的逆向运用）。2、分析平方差公式的特征，理解整式乘法和因式分解的互逆性。3、对照平方差公式尝试分解因式。4、讨论能用平方差公式分解因式的特点。5、自学例题1、2.完成思考与操作。6、完成课堂作业。7、引导学生进行课堂总结。环节一：课前检测环节二：情景导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结公式法（完全平方式）使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。回顾旧知，并完成两道因式分解。用字母表示完全平方公式，并熟悉记忆诀窍。3、分析完全平方公式的结构特点，4、判断多项式是否是完全平方，并交流合作总结判断方法。5、补上一项，使多项式成为完全平方式。6、自学例题1、2。7、小结因式分解的步骤。8、完成课堂作业。9、引导学生进行课堂总结。环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三：情景导入环节四：探究新知环节五：典例精析环节六：课堂练习环节七：课堂总结回顾与思考理解因式分解的概念以及与整式乘法的关系，掌握提取公因式和公式法分解因式的方法，选择恰当的方法进行因式分解。能从实际问题中发现关于因式分解的问题，并能运用因式分解解决现实生活中的实际问题。3、通过思考、合作交流、动手操作等数学探究过程，感受“整体思想”、“类比思想”和“转化思想”的数学思想方法。展示课前布置的思维导图。2、分6个模块进行知识梳理，学生解题，在过程中引导学生注意解题思路、解题方法等。同时关注学生的课堂参与度及效果。3、解题后小组交流解题的注意点。环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：课堂练习环节四：课堂总结
《因式分解》单元教学设计
活动一；复习旧知
活动二：问题引入
活动三：探究新知
任务一：因式分解
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一；温故知新
活动三：探究新知
因式分解
任务二：提取公因式（1）
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一；温故知新
活动三：引入新课
活动四：探究新知
任务三：提取公因式（2）
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一；课前检测
活动二：引入新课
活动三：探究新知
任务四：公式法（平方差公式）
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一；知识回顾
因式分解
活动二；课前检测
任务五：公式法（完全平方式）
活动三：引入新课
活动四：探究新知
活动五：典例精析
活动六：课堂作业
活动七：课堂总结
活动一；知识架构
活动二；知识梳理
任务六：回顾与思考
活动三：课堂练习
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