【提升版】北京版数学八（下）第十四章 函数 单元检测
一、选择题（每题2分，共16分）
1．某超市某种商品的单价为70元/件，若买x件该商品的总价为y元，则其中的常量是（ ）
A．70 B．x C．y D．不确定
2．（2025八下·绵阳期末）下列表示与关系的图象中，不是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022八下·三台月考）若，则等于（ ）
A．1 B．5 C． D．
4．（2024八下·唐河期中）为了建设社会主义新农村，某市积极推进“行政村通畅工程“，对甲村和乙村之间的道路进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过拖工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造，下面能反映该工改造道路里程y（公里）与时间x（天）的函数关系大致的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·龙州月考）下列语句中，与是一次函数关系的有（ ）个
（1）汽车以千米/时的速度匀速行驶，行驶路程（千米）与行驶时间（时）之间的关系
（2）圆的面积（厘米2）与它的半径（厘米）之间的关系；
（3）一棵树现在高厘米，每个月长高厘米，月后这棵树的高度为厘米，与的关系；
（4）某种大米的单价是元/千克，当购买千克大米时，花费元，与的关系．
A． B． C． D．
6．（2025八下·临海月考） 图教室室内消毒药水的时间(t)与药水浓度(x)之间的关系，下列说法不正确的是（ ）
A．x是关于t的函数
B．与时教室室内消毒药水的浓度相同
C．前30分钟教室室内消毒药水的浓度随时间的增大而增大
D．40分钟后教室室内消毒药水的浓度随时间的增大而减小
7．（2024八下·郸城期中）均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度与时间的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八下·珠海期末）“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图①），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）.上午10：00，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度h(cm)与流水时间t(min)的关系如图③所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲容器的初始水面高度为30cm
B．15：00甲容器的水流光
C．甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为
D．12：00时甲容器的水面高度为12cm
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2020八下·大庆期中）对于一次函数 y＝kx+b，当 1≤x≤4 时，3≤y≤6，则一次函数的解析式为 ．
10．（2023八下·船营期末） 若一次函数y＝-2x+b（b为常数）的图象经过第一，二，四象限，则b的值可以是
.（写出一个即可）
11．（2025八下·玉环期末） 已知正比例函数，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
12．（2021八下·道里期末）若正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），则k的值为 ．
13．（2023八下·长沙期末）上数学课时，老师给出一个函数，让同学们指出它的性质．甲说函数图象不经过第三象限；乙说函数图象经过第一象限；丙说时，y随x的增大而减少；丁说时，．已知这四位同学说的都正确，请你写出符合上述性质的一个函数解析式 ．
14．（2023八下·谢家集期末）将直线平移，使其经过点，则平移后所得直线的解析式为 ．
15．（2023八下·北京市期末）若点在一次函数（b是常数）的图象上，则的大小关系是 ．（填“”、“”或“”）
16．某校科技节上，同学们在操场进行无人机表演，其中甲、乙两架无人机离操场地面的高度y（单位：米）与表演时间x（单位：秒）的图象如图所示.已知表演开始时甲、乙离地的高度分别是5 米、15米，在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过5米的时间可持续 秒.
三、解答题（共12题，共68分）
17．（2024八下·章贡期末）已知关于x的函数y＝(3m﹣1)x＋m＋3．
（1）若这个函数的图象平行于直线y＝2x﹣3，求m的值；
（2）若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围．
18．（2025八下·兴宁期中）如图，已知直线（）经过点，．
（1）若直线与直线相交于点A，求点A的坐标；
（2）根据图象，直接写出的解集．
19．（2023八下·思南月考）作出函数的图象，并利用图象回答问题：
（1）写出图象与轴的交点的坐标__________，与轴的交点的坐标__________．
（2）有一点的坐标是，顺次连接点得到，求三角形的面积．
（3）点是点关于轴对称的点，连接两点，求直线的函数关系式．
20．（2025八下·杭州月考）已知一次函数y＝mx﹣m﹣1（m为常数且m≠0），
（1）若一次函数经过点（2，5），求此时函数表达式；
（2）若一次函数不经过第三象限，求m的取值范围；
（3）若函数在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0，求m的取值范围.
21．（2025八下·玉环期末） 某实践小组为了研究某种均匀材质的香烛（总长）的燃烧变化情况．点燃香烛后，每隔1分钟测量一次香烛剩余长度，获得数据如下表：
燃烧时间t（分钟） 0 1 2 3 4
剩余长度h（cm）（观察值）
在平面直角坐标系中，描出这些数据所对应的点，发现它们大致位于同一条直线上，于是可以用一次函数近似地刻画剩余长度与燃烧时间的关系．
（1）利用这两组数据，求剩余长度与燃烧时间的函数解析式；
经比对发现，表中部分观察值不在中的函数图象上，存在偏差，当时，根据中的解析式可求得 ▲ ，此时它与时观测值的偏差值若记为，则 ▲ ．
（2）小组决定优化一次函数解析式，减少偏差．（提示：衡量偏差的统计量记为，当取不同值时，所有的平方和为，其中越小，偏差越小）．
结合表格数据，利用（1）得到的函数解析式计算的值；
请确定优化后经过点的一次函数解析式，使得偏差最小．
22．（2025八下·饶平期末） “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具. 综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作了如图所示的简易计时装置. 他们设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表，发现水面高度h(cm)与流水时间t(min)（t为正整数）之间满足一次函数关系.
流水时间t/min 0 10 20 30 40 …
水面高度h/cm (观察值) 30 28 26 24 22 …
（1） 求水面高度 h 与流水时间 t 之间的函数关系式；
（2） 按此速度，流水时间为 1 小时，水面高度为多少厘米？
（3） 按此速度，经过多长时间，甲容器内的水恰好流完？
23．（2024八下·天河期末）用充电器给某手机充电时， 其屏幕画面显示目前电量为 （如图 1）， 经测试， 在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时， 其电量 (单位： %) 与充电时间 （单位： h）的函数图象分别为图 2 中的线段 . 根据以上信息， 回答下列问题：
（1） 填空： 用普通充电器充电， 3 小时后该手机电量为
（2）先用普通充电器充电 后，再改为快速充电器充满电，一共用时 3 h ，请在图2中画出电量 (单位：%)与充电时间 （单位： h）的函数图象， 并标注出 所对应的值.
24．（2024八下·石家庄期中）某中学举行校庆活动，使用了两架小型无人机进行现场拍摄，1号机所在高度与上升时间的函数图象如图所示；2号机从高度，以的速度上升，两架无人机同时起飞，设2号机所在高度为．
（1）求1号机所在高度与上升时间之间的函数表达式（不必写出的取值范围）；
（2）2号机所在高度与上升时间之间的函数表达式为 ，并在图中画出该函数图象（描两点画图象）；
（3）在某时刻两架无人机能否位于同一高度？如果能，求此时两架无人机的高度；如果不能，请说明理由．
25．（2017八下·临泽开学考）为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x 的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：
第一套 第二套
椅子高度xcm 40 37
桌子高度ycm 75 70
（1）请确定y与x的函数关系式；
（2）现有一把高39cm的椅子和一张高为72.8的课桌，它们是否配套？为什么？
26．（2017八下·龙海期中）已知甲加工A型零件60个所用时间和乙加工B型零件80个所用时间相同，甲、乙两人每天共加工35个零件，设甲每天加工x个A型零件．
（1）求甲、乙每天各加工零件多少个？
（2）根据市场预测，加工A型零件所获得的利润为m元/件（3≤m≤5），加工B型零件所获得的利润每件比A型少1元．求甲、乙每天加工的零件所获得的总利润P（元）与m的函数关系式，并求P的最大值和最小值．
27．（2024八下·三门期末）根据以下素材，探索完成任务．
有趣的迭代函数
素材 已知一次函数和（是常数，），我们称是的迭代函数．如函数的迭代函数是，即．
素材 当时，函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，我们称点是这个函数的迭代点．
问题解决
任务 直接写出函数的迭代函数及这个函数迭代点的坐标．
任务 求证：对于任意（是常数，）的迭代函数，随的增大而增大．
任务 若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明．
28．（2025八下·罗湖期末） 【综合与实践】
深圳某条东西方向的道路共有五车道，早晚高峰期间经常拥堵，数学兴趣小组的同学就此问题开展研究性学习活动.
【信息一】通过实地考察，兴趣小组的同学对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行数据的收集统计和分析，整理得到下列表格，发现时间和交通量的变化规律符合一次函数特征，并由此得到与x的函数关系式及与x的函数关系式
时间x 7时 10时 14时 17时 20时
自西向东交通量（辆/分钟） 93 78 a 43 28
自东向西交通量（辆/分钟） 42 48 56 62 68
【信息二】兴趣小组的同学希望根据两个不同方向的拥堵情况来合理设置中间“可变车道”的方向. 通过查阅资料发现：若单位时间内双向交通总量设为，当车流量较大的方向的交通量时，道路非常拥堵，需要通过把“可变车道”的行车方向与交通量较大的方向变为相同，去改善交通状况.
【解决问题】
（1）已知与x之间的函数关系式为，表格中= ；
（2）求与x之间的函数系式（不写自变量的取值范围）；
（3）请你通过计算判断该路段从7时至20时在比较拥堵时如何设置“可变车道”的方向以缓解交通拥堵？（即在什么时间段把“可变车道”设为哪个方向的车道）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：根据题意得，y=70x，
∴常量是70．
故选A．
【分析】根据总价=单价×数量列式，再根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答．
2．【答案】C
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：根据函数的定义可得选项C中y不是x的函数.
故答案为：C.
【分析】在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数.其中x是自变量，y是因变量.
3．【答案】A
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：x＝2，
故y＝-3，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-2≥0且4-2x≥0，联立求出x的值，进而可得y的值，然后根据有理数的加法、乘方法则进行计算.
4．【答案】A
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】施工队的施工分为三个阶段，正常施阶段、暴雨停工阶段和加速赶工阶段
设正常施工阶段的速度为，暴雨停工阶段的速度为，加速赶工阶段的速度为
得，且
∵A的图像分成三个阶段，且第一阶段的速度小于第三阶段的速度，第二阶段的速度为0，与实际施工情况相符合
∴A正确
∵B的图像没有停工期
∴B错误
∵C和D的图形均是随着时间x（天）的增加，改造道路里程y（公里）越来越少，与实际情况不符合
∴C、D错误
故选：A．
【分析】根据 正常施阶段、暴雨停工阶段和加速赶工阶段 的速度变化进行判断得到答案．
5．【答案】C
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：（1）行驶路程与时间的关系为，符合形式，是一次函数；
（2）圆的面积与半径的关系为，是二次函数，不是一次函数；
（3）树高与月数的关系为，符合形式，是一次函数；
（4）花费与购买量的关系为，符合形式，是一次函数；
满足一次函数关系的有（1）、（3）、（4），共个．
故选：C．
【分析】
本题考查一次函数的定义，需熟悉其一般形式并正确应用．
对于（1）：根据“路程=速度×时间”的关系可知：行驶路程y与时间x的关系为：，符合一次函数y=kx+b（其中k=60，b=0）的形式，故y与x是一次函数关系；
对于（2）：根据圆的面积计算公式：，其中自变量x的次数是2，不符合一次函数 y=kx+b的形式，故y与x不是一次函数关系；
对于（3）：根据树的高度=初始高度+每月生长高度×时间可得：树高y与月数x的关系为，符合一次函数y=kx+b（其中k=2，b=50）的形式，故y与x是一次函数关系；
对于（4） ：根据总价=单价×数量可得：花费y与购买量x的关系为，符合一次函数y=kx+b（其中k=2.2，b=0）的形式，故y与x是一次函数关系；
综上可知：(1)(3)(4)是一次函数，共计3个，故答案为C，由此可得出答案．
6．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、对于t的每一个确定的值，x都有唯一确定的值与之对应，所以x是关于t的函数，A选项正确；
B、当与时，对应的纵坐标（即药水浓度x）相同，所以与时教室室内消毒药水的浓度相同，B选项正确；
C、由图象可知，前30分钟内，在0到20分钟左右，药水浓度随时间增大而增大，在20分钟到30分钟左右，药水浓度随时间增大而减小，并非前30分钟一直随时间增大而增大，C选项错误；
D、观察图象，40分钟后，随着t（时间）的增大，x（药水浓度）逐渐减小，即40分钟后教室室内消毒药水的浓度随时间的增大而减小，D选项正确.
故答案为： C.
【分析】需要根据函数图象的性质，对每个选项进行分析判断.
7．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；
因为D几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小，
所以在均匀注水的前提下是先快后慢；
故选D.
【分析】
本题考查函数图象的实际应用.函数图象的斜率与容器底面积成反比，通过分析斜率变化可推断容器的形状变化.
8．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
解：A、由图3可知，甲容器的初始水面高度为30cm，故选项A正确，不符合题意；
B、水面每小时下降的高度为6cm，30+6=5 (h)，10+5=15 (h)，
即15： 00甲容器的水流光，故选项B正确，不符合题意；
C、设h=kt+b，
∵点(0， 30)和点(60， 24)在该函数图象上，
∴
∴甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为h=-0.1t+30，故选项C正确，符合题意；
D、∴12： 00时甲容器的水面高度为： -0.1x (12-10)x60+30=18cm，故选项D错误，符合题意.
故答案为：D .
【分析】观察图象可判断A；通过图象获取信息，计算即可判断B；利用待定系数法求出甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为h=-0.1t+30，可判断C；代入数据t到函数解析式中，计算可判断D；逐一判断即可解答.
9．【答案】y=x+2或y=-x+7．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵对于一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴点（1，3）、（4，6）在一次函数y=kx+b的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y=kx+b的图象上．
当点（1，3）、（4，6）在一次函数y=kx+b的图象上时，
，解得： ，
∴此时一次函数的解析式为y=x+2；
当（1，6）、（4，3）在一次函数y=kx+b的图象上时，
，解得： ，
∴此时一次函数的解析式为y=-x+7．
故答案为：y=x+2或y=-x+7．
【分析】由一次函数的单调性即可得知点（1，3）、（4，6）在一次函数y=kx+b的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y=kx+b的图象上，根据点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，此题得解．
10．【答案】1（只要正确即可）
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由 y＝-2x+b中，k=-2＜0，
∵一次函数y＝-2x+b（b为常数）的图象经过第一，二，四象限 ，
∴b＞0，
∴b值可以为1（答案不唯一）；
故答案为：1（答案不唯一）；
【分析】当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一，二，四象限 ，据此解答即可.
11．【答案】
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=(k-1)x中，y随x的增大而减小，
∴k-1<0，即k<1.
故答案为：k<1.
【分析】根据正比例函数的性质，当k<0时，y随x的增大而减小，即可求解.
12．【答案】-2
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），
∴﹣4＝2k，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】因为正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），代入解析式，解之即可求得k。
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由甲说函数图象不经过第三象限；乙说函数图象经过第一象限，
∴该函数可以是一次函数，也可以是二次函数，
可设该函数为y=kx+b，
∵时，y随x的增大而减少 ，
∴k＜0，
∵时， ，
∴0＜x＜1，b＞0，
∴该函数可以是 ，
故答案为： （答案不唯一） .
【分析】由甲说函数图象不经过第三象限；乙说函数图象经过第一象限，可知该函数可以是一次函数，也可以是二次函数，可设该函数为y=kx+b，利用丙、丁的条件确定函数解析式即可.
14．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：∵把y=3x-1平移
∴y=3x+b
把（-1，2）代入上式
解得b=5
∴y=3x+5
故答案为：y=3x+5.
【分析】由于平移不改变k值，则y=3x+b，把（-1，2）代入求解即可。
15．【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵k=-＜0，
∴y随x的增大而减小
∵2＞-3
∴y1＜y2
故答案为：＜.
【分析】根据一次函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而减小，即可得出答案。
16．【答案】20
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设 将(0，5)，(20，60)分别代入，得 解得 则 设 ，将(0，15)，(20，60)分别代入，得 解得 则 当x<20 时， 即2.25x+15-2.75x-5=5，解得x=10；当x>20时， 即2.25x+15-2.75x-5=-5，解得x=30.30-10=20(秒).
故答案为20.
【分析】用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机离操场地面的高度y与表演时间x的函数解析式，在分情况讨论，即当x<20时， 当x>20时， 解得x的值，作差即可.
17．【答案】（1）解：由题意得：3m﹣1＝2
解得：m＝1∴m的值为1
（2）解：由题意得：3m﹣1<0，且m＋3>0
解得：
∴m的取值范围是
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）由函数y＝(3m﹣1)x＋m＋3的图象与 直线y＝2x﹣3平行，可得3m﹣1＝2，解之即可；
（2）由直线y＝(3m﹣1)x＋m＋3经过第一、二、四象限，可得3m﹣1<0，且m＋3>0，解之即可.
18．【答案】（1）解：∵直线，经过点，，
∴将点C(-1，0)，点B(-3，3)代入得：，
解得，
∴的解析式为，
∵直线y=2x-4与直线AB：相交与点A
∴，
解得，
∴点.
（2）解：不等式组的解集为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】
（2）解：根据题意，得，
由，得，
由图象知：①的解集为：，
解不等式②得：，
∴该不等式组的解集为：．
【分析】
（1）由题意可知：直线，经过点，，根据待定系数法将点C与点B坐标代入解析式，求得k与b的值，可得直线AB解析式：，再根据两直线交点的求法：联立两个函数解析式，得到方程组，解得x与y的值，即可求得交点坐标，由此可得出答案；
（2）利用交点的横坐标，结合不等式解答即可．
（1）解：根据题意，直线，经过点，，
根据题意，得，
解得，
∴的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故．
（2）解：根据题意，得，由，得
，
由图象知①的解集为，
解不等式②得，，
故不等式组的解集，得．
19．【答案】（1），
（2）解∶
；
（3）解∶∵点是点关于轴对称的点，C的坐标是，
∴点D的坐标；
设直线的解析式为，
把代入得
，
解得，
∴．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（1）解：当时，，
当时，，即．
则图象与轴的交点A的坐标，与轴的交点B的坐标；
故答案为：，
【分析】(1) 分别令 和 ，代入 ，得到与x轴交点 ，与y轴交点 。
(2) 用割补法，将△ABC放在一个矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，得到 。
(3) 先根据轴对称性质得到点 ，再用待定系数法设直线BD为 ，代入B、D坐标求出 ，，得到解析式 。
（1）解：当时，，
当时，，即．
则图象与轴的交点A的坐标，与轴的交点B的坐标；
故答案为：，
（2）解∶
；
（3）解∶∵点是点关于轴对称的点，C的坐标是，
∴点D的坐标；
设直线的解析式为，
把代入得
，
解得，
∴．
20．【答案】（1）解：∵ 一次函数y＝mx﹣m﹣1 经过点（2，5），
∴5=2m﹣m﹣1，
∴m=6
∴y=6x-7
（2）解：∵一次函数 y＝mx﹣m﹣1 不经过第三象限，
∴k=m<0，-m－1≥0，
∴
（3）解：当m＞0时，
∵在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0，
∴当x=2时，y≥0，即2m－m－1≥0，
∴m≥1.
当m<0时，
∵在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0，
∴当x=﹣2时，y≥0，即-2m－m－1≥0，
∴.
∴ 若函数在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0， 则或m≥1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】（1）把点（2，5）代入一次函数解析数，得到关于m的方程，求解得m的值，再反代入即可得到此时的函数解析式；
（2）根据 一次函数不经过第三象限， 可得一次项系数小于0，常数项≥0，求解即可得m的取值范围；
（3）分m＞0时，和m<0时两种情况，根据“ 函数在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0”和一次函数的性质可得在最大值时y≥0，据此得关于m的不等式2m－m－1≥0和-2m－m－1≥0，分别求解即可.
21．【答案】（1）解：设h=kt+b，
∴
解得：
∴h=-t+10；
8，-0.5
（2）解：①当t=3时，h=7，d=7-7=0；
当t=4时，h=6，d=6-6.5=-0.5；
S=(-0.5)2+(-0.5)2=0.5；
②设优化后的函数解析式为h=at+10，
当t=1时，h=a+10，d=a+10-9=a+1；
当t=2时，h=2a+10，d=2a+10-8.5=2a+1.5；
当t=3时，h=3a+10，d=3a+10-7=3a+3；
当t=4时，h=4a+10，d=4a+10-6.5=4a+3.5；
∴S=(a+1)2+(2a+1.5)2+(3a+3)2+(4a+3.5)2
=a2+2a+1+4a2+6a+2.25+9a2+18a+9+16a2+28a+12.25
=30a2+54a+24.5，
∵30>0，
∴抛物线的开口向上，
∴当时，S有最小值.
∴优化后的一次函数解析式为：y=-0.9t+10
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：②当t=2时，h=-2+10=8，
观察值为8.5，
∴d=8-8.5=-0.5，
故答案为：8，-0.5.
【分析】(1)①设出一次函数解析式，把所给的两组数值代入可得k和b的值；
②把t=2代入①中得到的函数解析式可得h的值，减去当t=2时的观察值可得d的值；
(2)①，把相关数值代入计算即可；
②设优化后的函数解析式为h=at+10，分别计算出t取不同的值时，相应的d的值，进而表示出S的值，根据二次函数的性质可得a的值.
22．【答案】（1）解：设水面高度 h 与流水时间 t 之间的函数关系式为 ，
把 ， 代入得：
解得：
水面高度 h 与流水时间 t 之间的函数关系式为 ；
（2）解：当 分钟时，.
按此速度，流水时间为 1 小时，水面高度为 18 厘米；
（3）解：当h=0时，得 .
解得：t=150
即：经过150min，甲容器内的水恰好流完.
答：按此速度，经过150min，甲容器内的水恰好流完.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【分析】
本题考查一次函数的实际应用和一次函数解析式的解法，熟知一次函数解析式的解法是解题关键.
（1）因为水面高度h(cm)与流水时间t(min)之间满足一次函数关系，所以设函数关系式为h = kt + b，(k、b为常数，k≠0)，根据待定系数法，由表格可知：将(0，30)和(10，28)代入函数关系式，得出关于k和b的二元一次方程组即，解得k与b的值即可得出答案；
（2）首先进行单位换算，1小时= 60分钟，再将t=60代入函数关系式可得：，由此可得出答案；
（3）根据题意：甲容器内的水恰好流完时，水面高度h=0；将h=0代入函数关系式得：，解得：t=150，由此可得出答案.
23．【答案】（1）60
（2）解：如图，折线即为所求作的图形，其中；
设线段的函数表达式为，
将，代入，解得，
∴线段的函数表达式为：，
∵，
∴设线段的函数表达式为，将代入，得：，解得，
∴线段的函数表达式为：，
联立，解得，即
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；平行线的性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）设线段的函数表达式为，
将，代入，
得，解得：，
∴线段的函数表达式为，
当时，．
故答案为：60
【分析】（1）先根据待定系数法求出直线AC的函数表达式，进而将x=3代入即可求解；
（2）折线即为所求作的图形，其中，进而运用待定系数法求出直线AB的函数解析式，从而根据平行线的性质结合1题意即可得到线段DE的函数表达式，再根据两个一次函数的交点即可求解。
24．【答案】（1）解：设与关系式为
将分别代入解得
与关系式为
（2）
（3）若
则
两架无人机可以位于同一高度．高度为9米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：（2）由题可得：y2=0.5x+6，
当x=0时，y2=6，当x=6时，y2=9，
该函数图象如下图所示：
故答案为：y2=0.5x+6.
【分析】（1）利用待定系数法求直线y1的表达式即可；
（2）根据题意直接写出y2的函数表达式即可；由函数表达式可知该函数结构（0，6），（6，9），画出函数图象即可；
（3）令 ，求出x的值，即可得到两架无人机能位于的同一高度.
25．【答案】（1）解：依题意设y=kx+b，
则 ，
解得 ，
∴y= x+
（2）解：当x=39时，y= ×39+ ≠72.8，
故一把高39cm的椅子和一张高为72.8cm的课桌不配套
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由于y应是x的一次函数，根据表格数据利用待定系数法即可求解；（2）利用（1）的函数关系式代入计算即可求解．
26．【答案】（1）解：设甲每天加工x个A型零件，则乙每天加工（35﹣x）个B型零件，根据题意，
易得 = ，
解得x=15，
经检验，x=15是原方程的解，且符合题意．
35﹣15=20（个）．
答：甲每天加工15个A型零件，则乙每天加工20个B型零件
（2）解：P=15m+20（m﹣1），
即P=35m﹣20，
∵在P=35m﹣20中，P是m的一次函数，k=35＞0，P随m的增大而增大，
又由已知得：3≤m≤5，
∴当m=5时，P的最大值=155，
当m=3时，P的最小值=85
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设甲每天加工x个A型零件，则乙每天加工（35﹣x）个B型零件，根据题意，易得 = ，解方程可得x的值，进而可得答案；（2）根据题意，可得关系式P=15m+20（m﹣1），化简可得P=35m﹣20，根据一次函数的性质分析可得答案．
27．【答案】解：任务1：，
任务2：证明：由题意可得函数的迭代函数为（是常数，），
即，
∵，
∴，
∴在函数中，随的增大而增大；
任务3：，
证明：由题意可得：函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，
联列，得：，
解得：，
即点坐标为，
∴若点的坐标为时，则的数量关系为．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】任务1：解：由题意可得函数的迭代函数为，
即，
联立，得，
解得，
∴函数迭代点的坐标为；
【分析】任务1：根据迭代函数的定义即可写出函数的迭代函数，再联立两函数解析式，求解即可得到迭代点的坐标；
任务2：根据迭代函数的定义写出的迭代函数，然后整理成一般形式，进而根据一次函数y=ax+b(a≠0)当a＞0时，y随x的增大而增大，当a＜0时，y随x的增大而减小，并结合偶数次幂的非负性即可得出结论
任务：联列函数和它的迭代函数，解方程组，用含k、b的式子表示x、y，即可求出点P坐标，即可得出结论.
28．【答案】（1）58
（2）解：设
将，和，代入
得，
解得，
（3）解：
①当时，即
解得，
②当时，即
解得，
时到时，可变车道方向设为自西向东；
19时到20时，可变车道方向设为自东向西.
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）当x＝14时，a＝﹣5×14+128＝58，
故答案为：58
【分析】（1）根据题意将x的值代入一次函数解析式，进而即可求解；
（2）根据题意运用待定系数法即可得到y2与x的函数关系式；
（3）根据题意得到，进而分类讨论：①当时，②当时，分别求出x的取值即可。
1 / 1【提升版】北京版数学八（下）第十四章 函数 单元检测
一、选择题（每题2分，共16分）
1．某超市某种商品的单价为70元/件，若买x件该商品的总价为y元，则其中的常量是（ ）
A．70 B．x C．y D．不确定
【答案】A
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：根据题意得，y=70x，
∴常量是70．
故选A．
【分析】根据总价=单价×数量列式，再根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答．
2．（2025八下·绵阳期末）下列表示与关系的图象中，不是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：根据函数的定义可得选项C中y不是x的函数.
故答案为：C.
【分析】在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数.其中x是自变量，y是因变量.
3．（2022八下·三台月考）若，则等于（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：x＝2，
故y＝-3，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-2≥0且4-2x≥0，联立求出x的值，进而可得y的值，然后根据有理数的加法、乘方法则进行计算.
4．（2024八下·唐河期中）为了建设社会主义新农村，某市积极推进“行政村通畅工程“，对甲村和乙村之间的道路进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过拖工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造，下面能反映该工改造道路里程y（公里）与时间x（天）的函数关系大致的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】施工队的施工分为三个阶段，正常施阶段、暴雨停工阶段和加速赶工阶段
设正常施工阶段的速度为，暴雨停工阶段的速度为，加速赶工阶段的速度为
得，且
∵A的图像分成三个阶段，且第一阶段的速度小于第三阶段的速度，第二阶段的速度为0，与实际施工情况相符合
∴A正确
∵B的图像没有停工期
∴B错误
∵C和D的图形均是随着时间x（天）的增加，改造道路里程y（公里）越来越少，与实际情况不符合
∴C、D错误
故选：A．
【分析】根据 正常施阶段、暴雨停工阶段和加速赶工阶段 的速度变化进行判断得到答案．
5．（2025八上·龙州月考）下列语句中，与是一次函数关系的有（ ）个
（1）汽车以千米/时的速度匀速行驶，行驶路程（千米）与行驶时间（时）之间的关系
（2）圆的面积（厘米2）与它的半径（厘米）之间的关系；
（3）一棵树现在高厘米，每个月长高厘米，月后这棵树的高度为厘米，与的关系；
（4）某种大米的单价是元/千克，当购买千克大米时，花费元，与的关系．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：（1）行驶路程与时间的关系为，符合形式，是一次函数；
（2）圆的面积与半径的关系为，是二次函数，不是一次函数；
（3）树高与月数的关系为，符合形式，是一次函数；
（4）花费与购买量的关系为，符合形式，是一次函数；
满足一次函数关系的有（1）、（3）、（4），共个．
故选：C．
【分析】
本题考查一次函数的定义，需熟悉其一般形式并正确应用．
对于（1）：根据“路程=速度×时间”的关系可知：行驶路程y与时间x的关系为：，符合一次函数y=kx+b（其中k=60，b=0）的形式，故y与x是一次函数关系；
对于（2）：根据圆的面积计算公式：，其中自变量x的次数是2，不符合一次函数 y=kx+b的形式，故y与x不是一次函数关系；
对于（3）：根据树的高度=初始高度+每月生长高度×时间可得：树高y与月数x的关系为，符合一次函数y=kx+b（其中k=2，b=50）的形式，故y与x是一次函数关系；
对于（4） ：根据总价=单价×数量可得：花费y与购买量x的关系为，符合一次函数y=kx+b（其中k=2.2，b=0）的形式，故y与x是一次函数关系；
综上可知：(1)(3)(4)是一次函数，共计3个，故答案为C，由此可得出答案．
6．（2025八下·临海月考） 图教室室内消毒药水的时间(t)与药水浓度(x)之间的关系，下列说法不正确的是（ ）
A．x是关于t的函数
B．与时教室室内消毒药水的浓度相同
C．前30分钟教室室内消毒药水的浓度随时间的增大而增大
D．40分钟后教室室内消毒药水的浓度随时间的增大而减小
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、对于t的每一个确定的值，x都有唯一确定的值与之对应，所以x是关于t的函数，A选项正确；
B、当与时，对应的纵坐标（即药水浓度x）相同，所以与时教室室内消毒药水的浓度相同，B选项正确；
C、由图象可知，前30分钟内，在0到20分钟左右，药水浓度随时间增大而增大，在20分钟到30分钟左右，药水浓度随时间增大而减小，并非前30分钟一直随时间增大而增大，C选项错误；
D、观察图象，40分钟后，随着t（时间）的增大，x（药水浓度）逐渐减小，即40分钟后教室室内消毒药水的浓度随时间的增大而减小，D选项正确.
故答案为： C.
【分析】需要根据函数图象的性质，对每个选项进行分析判断.
7．（2024八下·郸城期中）均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度与时间的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；
因为D几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小，
所以在均匀注水的前提下是先快后慢；
故选D.
【分析】
本题考查函数图象的实际应用.函数图象的斜率与容器底面积成反比，通过分析斜率变化可推断容器的形状变化.
8．（2025八下·珠海期末）“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图①），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）.上午10：00，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度h(cm)与流水时间t(min)的关系如图③所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲容器的初始水面高度为30cm
B．15：00甲容器的水流光
C．甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为
D．12：00时甲容器的水面高度为12cm
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
解：A、由图3可知，甲容器的初始水面高度为30cm，故选项A正确，不符合题意；
B、水面每小时下降的高度为6cm，30+6=5 (h)，10+5=15 (h)，
即15： 00甲容器的水流光，故选项B正确，不符合题意；
C、设h=kt+b，
∵点(0， 30)和点(60， 24)在该函数图象上，
∴
∴甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为h=-0.1t+30，故选项C正确，符合题意；
D、∴12： 00时甲容器的水面高度为： -0.1x (12-10)x60+30=18cm，故选项D错误，符合题意.
故答案为：D .
【分析】观察图象可判断A；通过图象获取信息，计算即可判断B；利用待定系数法求出甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为h=-0.1t+30，可判断C；代入数据t到函数解析式中，计算可判断D；逐一判断即可解答.
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2020八下·大庆期中）对于一次函数 y＝kx+b，当 1≤x≤4 时，3≤y≤6，则一次函数的解析式为 ．
【答案】y=x+2或y=-x+7．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵对于一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴点（1，3）、（4，6）在一次函数y=kx+b的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y=kx+b的图象上．
当点（1，3）、（4，6）在一次函数y=kx+b的图象上时，
，解得： ，
∴此时一次函数的解析式为y=x+2；
当（1，6）、（4，3）在一次函数y=kx+b的图象上时，
，解得： ，
∴此时一次函数的解析式为y=-x+7．
故答案为：y=x+2或y=-x+7．
【分析】由一次函数的单调性即可得知点（1，3）、（4，6）在一次函数y=kx+b的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y=kx+b的图象上，根据点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，此题得解．
10．（2023八下·船营期末） 若一次函数y＝-2x+b（b为常数）的图象经过第一，二，四象限，则b的值可以是
.（写出一个即可）
【答案】1（只要正确即可）
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由 y＝-2x+b中，k=-2＜0，
∵一次函数y＝-2x+b（b为常数）的图象经过第一，二，四象限 ，
∴b＞0，
∴b值可以为1（答案不唯一）；
故答案为：1（答案不唯一）；
【分析】当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一，二，四象限 ，据此解答即可.
11．（2025八下·玉环期末） 已知正比例函数，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=(k-1)x中，y随x的增大而减小，
∴k-1<0，即k<1.
故答案为：k<1.
【分析】根据正比例函数的性质，当k<0时，y随x的增大而减小，即可求解.
12．（2021八下·道里期末）若正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），则k的值为 ．
【答案】-2
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），
∴﹣4＝2k，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】因为正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），代入解析式，解之即可求得k。
13．（2023八下·长沙期末）上数学课时，老师给出一个函数，让同学们指出它的性质．甲说函数图象不经过第三象限；乙说函数图象经过第一象限；丙说时，y随x的增大而减少；丁说时，．已知这四位同学说的都正确，请你写出符合上述性质的一个函数解析式 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由甲说函数图象不经过第三象限；乙说函数图象经过第一象限，
∴该函数可以是一次函数，也可以是二次函数，
可设该函数为y=kx+b，
∵时，y随x的增大而减少 ，
∴k＜0，
∵时， ，
∴0＜x＜1，b＞0，
∴该函数可以是 ，
故答案为： （答案不唯一） .
【分析】由甲说函数图象不经过第三象限；乙说函数图象经过第一象限，可知该函数可以是一次函数，也可以是二次函数，可设该函数为y=kx+b，利用丙、丁的条件确定函数解析式即可.
14．（2023八下·谢家集期末）将直线平移，使其经过点，则平移后所得直线的解析式为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：∵把y=3x-1平移
∴y=3x+b
把（-1，2）代入上式
解得b=5
∴y=3x+5
故答案为：y=3x+5.
【分析】由于平移不改变k值，则y=3x+b，把（-1，2）代入求解即可。
15．（2023八下·北京市期末）若点在一次函数（b是常数）的图象上，则的大小关系是 ．（填“”、“”或“”）
【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵k=-＜0，
∴y随x的增大而减小
∵2＞-3
∴y1＜y2
故答案为：＜.
【分析】根据一次函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而减小，即可得出答案。
16．某校科技节上，同学们在操场进行无人机表演，其中甲、乙两架无人机离操场地面的高度y（单位：米）与表演时间x（单位：秒）的图象如图所示.已知表演开始时甲、乙离地的高度分别是5 米、15米，在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过5米的时间可持续 秒.
【答案】20
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设 将(0，5)，(20，60)分别代入，得 解得 则 设 ，将(0，15)，(20，60)分别代入，得 解得 则 当x<20 时， 即2.25x+15-2.75x-5=5，解得x=10；当x>20时， 即2.25x+15-2.75x-5=-5，解得x=30.30-10=20(秒).
故答案为20.
【分析】用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机离操场地面的高度y与表演时间x的函数解析式，在分情况讨论，即当x<20时， 当x>20时， 解得x的值，作差即可.
三、解答题（共12题，共68分）
17．（2024八下·章贡期末）已知关于x的函数y＝(3m﹣1)x＋m＋3．
（1）若这个函数的图象平行于直线y＝2x﹣3，求m的值；
（2）若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得：3m﹣1＝2
解得：m＝1∴m的值为1
（2）解：由题意得：3m﹣1<0，且m＋3>0
解得：
∴m的取值范围是
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）由函数y＝(3m﹣1)x＋m＋3的图象与 直线y＝2x﹣3平行，可得3m﹣1＝2，解之即可；
（2）由直线y＝(3m﹣1)x＋m＋3经过第一、二、四象限，可得3m﹣1<0，且m＋3>0，解之即可.
18．（2025八下·兴宁期中）如图，已知直线（）经过点，．
（1）若直线与直线相交于点A，求点A的坐标；
（2）根据图象，直接写出的解集．
【答案】（1）解：∵直线，经过点，，
∴将点C(-1，0)，点B(-3，3)代入得：，
解得，
∴的解析式为，
∵直线y=2x-4与直线AB：相交与点A
∴，
解得，
∴点.
（2）解：不等式组的解集为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】
（2）解：根据题意，得，
由，得，
由图象知：①的解集为：，
解不等式②得：，
∴该不等式组的解集为：．
【分析】
（1）由题意可知：直线，经过点，，根据待定系数法将点C与点B坐标代入解析式，求得k与b的值，可得直线AB解析式：，再根据两直线交点的求法：联立两个函数解析式，得到方程组，解得x与y的值，即可求得交点坐标，由此可得出答案；
（2）利用交点的横坐标，结合不等式解答即可．
（1）解：根据题意，直线，经过点，，
根据题意，得，
解得，
∴的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故．
（2）解：根据题意，得，由，得
，
由图象知①的解集为，
解不等式②得，，
故不等式组的解集，得．
19．（2023八下·思南月考）作出函数的图象，并利用图象回答问题：
（1）写出图象与轴的交点的坐标__________，与轴的交点的坐标__________．
（2）有一点的坐标是，顺次连接点得到，求三角形的面积．
（3）点是点关于轴对称的点，连接两点，求直线的函数关系式．
【答案】（1），
（2）解∶
；
（3）解∶∵点是点关于轴对称的点，C的坐标是，
∴点D的坐标；
设直线的解析式为，
把代入得
，
解得，
∴．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（1）解：当时，，
当时，，即．
则图象与轴的交点A的坐标，与轴的交点B的坐标；
故答案为：，
【分析】(1) 分别令 和 ，代入 ，得到与x轴交点 ，与y轴交点 。
(2) 用割补法，将△ABC放在一个矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，得到 。
(3) 先根据轴对称性质得到点 ，再用待定系数法设直线BD为 ，代入B、D坐标求出 ，，得到解析式 。
（1）解：当时，，
当时，，即．
则图象与轴的交点A的坐标，与轴的交点B的坐标；
故答案为：，
（2）解∶
；
（3）解∶∵点是点关于轴对称的点，C的坐标是，
∴点D的坐标；
设直线的解析式为，
把代入得
，
解得，
∴．
20．（2025八下·杭州月考）已知一次函数y＝mx﹣m﹣1（m为常数且m≠0），
（1）若一次函数经过点（2，5），求此时函数表达式；
（2）若一次函数不经过第三象限，求m的取值范围；
（3）若函数在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0，求m的取值范围.
【答案】（1）解：∵ 一次函数y＝mx﹣m﹣1 经过点（2，5），
∴5=2m﹣m﹣1，
∴m=6
∴y=6x-7
（2）解：∵一次函数 y＝mx﹣m﹣1 不经过第三象限，
∴k=m<0，-m－1≥0，
∴
（3）解：当m＞0时，
∵在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0，
∴当x=2时，y≥0，即2m－m－1≥0，
∴m≥1.
当m<0时，
∵在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0，
∴当x=﹣2时，y≥0，即-2m－m－1≥0，
∴.
∴ 若函数在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0， 则或m≥1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】（1）把点（2，5）代入一次函数解析数，得到关于m的方程，求解得m的值，再反代入即可得到此时的函数解析式；
（2）根据 一次函数不经过第三象限， 可得一次项系数小于0，常数项≥0，求解即可得m的取值范围；
（3）分m＞0时，和m<0时两种情况，根据“ 函数在﹣2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0”和一次函数的性质可得在最大值时y≥0，据此得关于m的不等式2m－m－1≥0和-2m－m－1≥0，分别求解即可.
21．（2025八下·玉环期末） 某实践小组为了研究某种均匀材质的香烛（总长）的燃烧变化情况．点燃香烛后，每隔1分钟测量一次香烛剩余长度，获得数据如下表：
燃烧时间t（分钟） 0 1 2 3 4
剩余长度h（cm）（观察值）
在平面直角坐标系中，描出这些数据所对应的点，发现它们大致位于同一条直线上，于是可以用一次函数近似地刻画剩余长度与燃烧时间的关系．
（1）利用这两组数据，求剩余长度与燃烧时间的函数解析式；
经比对发现，表中部分观察值不在中的函数图象上，存在偏差，当时，根据中的解析式可求得 ▲ ，此时它与时观测值的偏差值若记为，则 ▲ ．
（2）小组决定优化一次函数解析式，减少偏差．（提示：衡量偏差的统计量记为，当取不同值时，所有的平方和为，其中越小，偏差越小）．
结合表格数据，利用（1）得到的函数解析式计算的值；
请确定优化后经过点的一次函数解析式，使得偏差最小．
【答案】（1）解：设h=kt+b，
∴
解得：
∴h=-t+10；
8，-0.5
（2）解：①当t=3时，h=7，d=7-7=0；
当t=4时，h=6，d=6-6.5=-0.5；
S=(-0.5)2+(-0.5)2=0.5；
②设优化后的函数解析式为h=at+10，
当t=1时，h=a+10，d=a+10-9=a+1；
当t=2时，h=2a+10，d=2a+10-8.5=2a+1.5；
当t=3时，h=3a+10，d=3a+10-7=3a+3；
当t=4时，h=4a+10，d=4a+10-6.5=4a+3.5；
∴S=(a+1)2+(2a+1.5)2+(3a+3)2+(4a+3.5)2
=a2+2a+1+4a2+6a+2.25+9a2+18a+9+16a2+28a+12.25
=30a2+54a+24.5，
∵30>0，
∴抛物线的开口向上，
∴当时，S有最小值.
∴优化后的一次函数解析式为：y=-0.9t+10
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：②当t=2时，h=-2+10=8，
观察值为8.5，
∴d=8-8.5=-0.5，
故答案为：8，-0.5.
【分析】(1)①设出一次函数解析式，把所给的两组数值代入可得k和b的值；
②把t=2代入①中得到的函数解析式可得h的值，减去当t=2时的观察值可得d的值；
(2)①，把相关数值代入计算即可；
②设优化后的函数解析式为h=at+10，分别计算出t取不同的值时，相应的d的值，进而表示出S的值，根据二次函数的性质可得a的值.
22．（2025八下·饶平期末） “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具. 综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作了如图所示的简易计时装置. 他们设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表，发现水面高度h(cm)与流水时间t(min)（t为正整数）之间满足一次函数关系.
流水时间t/min 0 10 20 30 40 …
水面高度h/cm (观察值) 30 28 26 24 22 …
（1） 求水面高度 h 与流水时间 t 之间的函数关系式；
（2） 按此速度，流水时间为 1 小时，水面高度为多少厘米？
（3） 按此速度，经过多长时间，甲容器内的水恰好流完？
【答案】（1）解：设水面高度 h 与流水时间 t 之间的函数关系式为 ，
把 ， 代入得：
解得：
水面高度 h 与流水时间 t 之间的函数关系式为 ；
（2）解：当 分钟时，.
按此速度，流水时间为 1 小时，水面高度为 18 厘米；
（3）解：当h=0时，得 .
解得：t=150
即：经过150min，甲容器内的水恰好流完.
答：按此速度，经过150min，甲容器内的水恰好流完.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【分析】
本题考查一次函数的实际应用和一次函数解析式的解法，熟知一次函数解析式的解法是解题关键.
（1）因为水面高度h(cm)与流水时间t(min)之间满足一次函数关系，所以设函数关系式为h = kt + b，(k、b为常数，k≠0)，根据待定系数法，由表格可知：将(0，30)和(10，28)代入函数关系式，得出关于k和b的二元一次方程组即，解得k与b的值即可得出答案；
（2）首先进行单位换算，1小时= 60分钟，再将t=60代入函数关系式可得：，由此可得出答案；
（3）根据题意：甲容器内的水恰好流完时，水面高度h=0；将h=0代入函数关系式得：，解得：t=150，由此可得出答案.
23．（2024八下·天河期末）用充电器给某手机充电时， 其屏幕画面显示目前电量为 （如图 1）， 经测试， 在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时， 其电量 (单位： %) 与充电时间 （单位： h）的函数图象分别为图 2 中的线段 . 根据以上信息， 回答下列问题：
（1） 填空： 用普通充电器充电， 3 小时后该手机电量为
（2）先用普通充电器充电 后，再改为快速充电器充满电，一共用时 3 h ，请在图2中画出电量 (单位：%)与充电时间 （单位： h）的函数图象， 并标注出 所对应的值.
【答案】（1）60
（2）解：如图，折线即为所求作的图形，其中；
设线段的函数表达式为，
将，代入，解得，
∴线段的函数表达式为：，
∵，
∴设线段的函数表达式为，将代入，得：，解得，
∴线段的函数表达式为：，
联立，解得，即
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；平行线的性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）设线段的函数表达式为，
将，代入，
得，解得：，
∴线段的函数表达式为，
当时，．
故答案为：60
【分析】（1）先根据待定系数法求出直线AC的函数表达式，进而将x=3代入即可求解；
（2）折线即为所求作的图形，其中，进而运用待定系数法求出直线AB的函数解析式，从而根据平行线的性质结合1题意即可得到线段DE的函数表达式，再根据两个一次函数的交点即可求解。
24．（2024八下·石家庄期中）某中学举行校庆活动，使用了两架小型无人机进行现场拍摄，1号机所在高度与上升时间的函数图象如图所示；2号机从高度，以的速度上升，两架无人机同时起飞，设2号机所在高度为．
（1）求1号机所在高度与上升时间之间的函数表达式（不必写出的取值范围）；
（2）2号机所在高度与上升时间之间的函数表达式为 ，并在图中画出该函数图象（描两点画图象）；
（3）在某时刻两架无人机能否位于同一高度？如果能，求此时两架无人机的高度；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设与关系式为
将分别代入解得
与关系式为
（2）
（3）若
则
两架无人机可以位于同一高度．高度为9米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：（2）由题可得：y2=0.5x+6，
当x=0时，y2=6，当x=6时，y2=9，
该函数图象如下图所示：
故答案为：y2=0.5x+6.
【分析】（1）利用待定系数法求直线y1的表达式即可；
（2）根据题意直接写出y2的函数表达式即可；由函数表达式可知该函数结构（0，6），（6，9），画出函数图象即可；
（3）令 ，求出x的值，即可得到两架无人机能位于的同一高度.
25．（2017八下·临泽开学考）为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x 的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：
第一套 第二套
椅子高度xcm 40 37
桌子高度ycm 75 70
（1）请确定y与x的函数关系式；
（2）现有一把高39cm的椅子和一张高为72.8的课桌，它们是否配套？为什么？
【答案】（1）解：依题意设y=kx+b，
则 ，
解得 ，
∴y= x+
（2）解：当x=39时，y= ×39+ ≠72.8，
故一把高39cm的椅子和一张高为72.8cm的课桌不配套
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由于y应是x的一次函数，根据表格数据利用待定系数法即可求解；（2）利用（1）的函数关系式代入计算即可求解．
26．（2017八下·龙海期中）已知甲加工A型零件60个所用时间和乙加工B型零件80个所用时间相同，甲、乙两人每天共加工35个零件，设甲每天加工x个A型零件．
（1）求甲、乙每天各加工零件多少个？
（2）根据市场预测，加工A型零件所获得的利润为m元/件（3≤m≤5），加工B型零件所获得的利润每件比A型少1元．求甲、乙每天加工的零件所获得的总利润P（元）与m的函数关系式，并求P的最大值和最小值．
【答案】（1）解：设甲每天加工x个A型零件，则乙每天加工（35﹣x）个B型零件，根据题意，
易得 = ，
解得x=15，
经检验，x=15是原方程的解，且符合题意．
35﹣15=20（个）．
答：甲每天加工15个A型零件，则乙每天加工20个B型零件
（2）解：P=15m+20（m﹣1），
即P=35m﹣20，
∵在P=35m﹣20中，P是m的一次函数，k=35＞0，P随m的增大而增大，
又由已知得：3≤m≤5，
∴当m=5时，P的最大值=155，
当m=3时，P的最小值=85
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设甲每天加工x个A型零件，则乙每天加工（35﹣x）个B型零件，根据题意，易得 = ，解方程可得x的值，进而可得答案；（2）根据题意，可得关系式P=15m+20（m﹣1），化简可得P=35m﹣20，根据一次函数的性质分析可得答案．
27．（2024八下·三门期末）根据以下素材，探索完成任务．
有趣的迭代函数
素材 已知一次函数和（是常数，），我们称是的迭代函数．如函数的迭代函数是，即．
素材 当时，函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，我们称点是这个函数的迭代点．
问题解决
任务 直接写出函数的迭代函数及这个函数迭代点的坐标．
任务 求证：对于任意（是常数，）的迭代函数，随的增大而增大．
任务 若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明．
【答案】解：任务1：，
任务2：证明：由题意可得函数的迭代函数为（是常数，），
即，
∵，
∴，
∴在函数中，随的增大而增大；
任务3：，
证明：由题意可得：函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，
联列，得：，
解得：，
即点坐标为，
∴若点的坐标为时，则的数量关系为．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】任务1：解：由题意可得函数的迭代函数为，
即，
联立，得，
解得，
∴函数迭代点的坐标为；
【分析】任务1：根据迭代函数的定义即可写出函数的迭代函数，再联立两函数解析式，求解即可得到迭代点的坐标；
任务2：根据迭代函数的定义写出的迭代函数，然后整理成一般形式，进而根据一次函数y=ax+b(a≠0)当a＞0时，y随x的增大而增大，当a＜0时，y随x的增大而减小，并结合偶数次幂的非负性即可得出结论
任务：联列函数和它的迭代函数，解方程组，用含k、b的式子表示x、y，即可求出点P坐标，即可得出结论.
28．（2025八下·罗湖期末） 【综合与实践】
深圳某条东西方向的道路共有五车道，早晚高峰期间经常拥堵，数学兴趣小组的同学就此问题开展研究性学习活动.
【信息一】通过实地考察，兴趣小组的同学对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行数据的收集统计和分析，整理得到下列表格，发现时间和交通量的变化规律符合一次函数特征，并由此得到与x的函数关系式及与x的函数关系式
时间x 7时 10时 14时 17时 20时
自西向东交通量（辆/分钟） 93 78 a 43 28
自东向西交通量（辆/分钟） 42 48 56 62 68
【信息二】兴趣小组的同学希望根据两个不同方向的拥堵情况来合理设置中间“可变车道”的方向. 通过查阅资料发现：若单位时间内双向交通总量设为，当车流量较大的方向的交通量时，道路非常拥堵，需要通过把“可变车道”的行车方向与交通量较大的方向变为相同，去改善交通状况.
【解决问题】
（1）已知与x之间的函数关系式为，表格中= ；
（2）求与x之间的函数系式（不写自变量的取值范围）；
（3）请你通过计算判断该路段从7时至20时在比较拥堵时如何设置“可变车道”的方向以缓解交通拥堵？（即在什么时间段把“可变车道”设为哪个方向的车道）
【答案】（1）58
（2）解：设
将，和，代入
得，
解得，
（3）解：
①当时，即
解得，
②当时，即
解得，
时到时，可变车道方向设为自西向东；
19时到20时，可变车道方向设为自东向西.
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）当x＝14时，a＝﹣5×14+128＝58，
故答案为：58
【分析】（1）根据题意将x的值代入一次函数解析式，进而即可求解；
（2）根据题意运用待定系数法即可得到y2与x的函数关系式；
（3）根据题意得到，进而分类讨论：①当时，②当时，分别求出x的取值即可。
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