【培优版】北京版数学八（下）第十四章 函数 单元检测
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2024八下·博罗期末）已知函数y=3x|m-2|是关于x的正比例函数，则常数m的值为( )
A．3或1 B．3 C．±1 D．1
【答案】A
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：由题意可得，，
∴ m-2=±1，
∴ m=3或1.
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数的定义可得，即可求得.
2．（2024八下·栾城期中）若与成正比，则（ ）
A．y是x的正比例函数 B．y是x的一次函数
C．y与x没有函数关系 D．以上都不正确
【答案】B
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】∵与成正比，
∴=k（x-3），其中k≠0，
整理可得：，
∴y是x的一次函数，
故答案为：B.
【分析】利用正比例函数的定义可得=k（x-3），其中k≠0，再求出，即可得到y是x的一次函数.
3．（2022八下·新乐期中）若等腰三角形的周长为60 cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，则y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围是（ ）
A．y＝60－2x(0C．y＝ (60－x)(0【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围；列一次函数关系式
【解析】【解答】∵2y+x=60，
∴y＝ (60－x)(0故答案为：D.
【分析】根据题意直接列出函数解析式即可。
4．（2023八下·潼南期末）定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法：
①；
②若，则或4；
③的解集为或；
④若函数的图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的图象；解含括号的一元一次方程；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，故①正确；
当即时，，
解得符合题意；
当即时，，
解得与矛盾，不合题意，故②错误；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
综上，不等式的解集为或，故③正确；
当即时，，
当即时，
函数图象如下，当函数图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
所以④正确；
正确的结论有①③④，共三个，
故选C．
【分析】①根据新定义且-4＞-5， 对直接列式计算，再判断即可；②分情况讨论：当和当，结合新定义分别解答，再判断即可；③ 分情况讨论：当和当，结合新定义分别建立不等式并解之，再判断即可；分两种情况：当和当时，利用新定义分别求出y值，再结合图象判断即可．
5．（2024八下·宣化期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点，．若直线与线段AB有交点，则k的值可能是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】 解：如图，
令x=0，则y=0 k-2=2，
所以直线y=kx+2与y轴的交点坐标为C（0，2），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
则
解得．
所以直线AC的解析式为y=4x+2，
设直线BC的解析式为y=ex+f，
则，
解得．
所以直线BC的解析式为y=-x+2，
若直线y=kx+2与线段AB有交点，则k的取值范围是k≥4或k≤-1，
各选项中D符合条件，ABC不符合条件．
故答案为：D．
【分析】先求出直线y=kx+2与y轴的交点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC、BC的解析式，然后根据直线与线段AB有交点，则k值小于直线AC的k值，或大于直线BC的k值，然后根据此范围进行选择即可．
6．（2023八下·邕宁期末）对于函数，下列结论：①它的图象必经过点②它的图象经过第一、二、四象限 ③当时，④的值随值的增大而增大，其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： ① .∵当x=-1时，y=-5×（-1）+1=6≠5，
∴点不在一次函数的图象上，
故错误；
②.∵k=-5＜0，b=1＞0，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，
故正确；
∵x=1时，y=-5×1+1=-4＜0，
又k=-5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＞1时，y＜0，
故③正确，④错误．
故答案为：C.
【分析】 根据一次函数的性质对4个选项逐一验证．
7．（2024八下·岳阳期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“和二点”．例如：点到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点也是“和二点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和二点”，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：取连，
在HG上任取一点P，作轴轴，垂直分别为
∴PN=OM
∵
∵，
∴均为等腰直角三角形
∴∠OHG=45°
∵∠PMH=90°
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∴HG上任意一点P都是“和二点”
同理上的任意一点也是“和二点”
∴当一次函数的图象与线或线有交点时，一次函数的图象上存在“和二点”
把H(-2，0)，E(-3，-4)代入一次函数得：
解得：
把G(0，-2)，E(-3，-4)代入一次函数得：
解得：
∴k的取值范围：
故选：D．
【分析】
先取连，，得到，即：均为等腰直角三角形，故：∠OHG=45°，在HG上任取一点P，作轴轴，垂直分别为，则，从而得到任意一点p是上的点为“和二点”，同理上的任意一点也是“和二点，可得到当一次函数的图象与线或有交点时，一次函数的图象上存在“和二点”，再分别求出当一次函数的图象经过点E，H和E，G时的函数图象的解析式即可.
8．（2025八下·长沙期中）已知A，B两地相距1200米，甲和乙两人均从地出发，向地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离（米）和甲出发的时间（分）之间的关系，现有如下结论：①乙每分钟比甲多走10米；②乙用18分钟追上了甲；③乙比甲早1分钟到达终点；④图中点的坐标为．则下列结论正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解： 图象中y轴表示两人之间的距离，x轴为甲出发时间，
①乙每分钟比甲多走150÷(18-3)=10(米)，故①正确，符合题意；
②乙用18-3=15(分钟)追上了甲， 故②不正确，不符合题意；
③甲的速度为150÷3=50(米/分钟)，
则甲到达B地所用时间为1200÷50=24(分钟)，
乙的速度为50+10=60(米/分钟)，
则乙到达B地所用时间为1200÷60=20(分钟)，
∴当x=20+3=23时乙到达B地，
∴乙比甲早24-23=1(分钟)到达终点B，故③正确，符合题意；
④由③可知，点Q的横坐标为23，
甲出发23分钟后距A地50×23=1150(米)，则当x=23时，甲、乙两人之间的距离为1200-1150=50(米)，
∴点Q的坐标为(23，50)，故④正确，符合题意，
综上，正确的有①③.
故答案为：A.
【分析】乙出发时与甲之间的距离除以乙追上甲所用的时间即为二者的速度差，据此计算可判断①；乙到达B地时对应x的值减去乙出发时对应x的值即乙追上甲所用的时间，根据速度=路程÷时间求出甲的速度，由时间=路程÷速度求出甲到达B地所用时间；结合①求出乙的速度，由时间=路程÷速度求出乙到达B地所用时间，从而求出乙到达B地时对应x的值，进而计算乙比甲早几分钟到达终点B；由③可知点Q的横坐标，根据路程=速度×时间求出Q点时甲距A地距离，从而求出甲、乙两人之间的距离，即Q的纵坐标，进而得到点Q的坐标.
二、填空题（共12题，共68分）
9．（2024八下·长安期中）如图，已知一次函数的图象经过点和点，则关于x的不等式组的解集为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：把点A（-1，2）和点B（-2，0）代入y=kx+b中，
.
解得.
∴解析式为：y=2x+4，
则不等式组为.
解不等式组的解集为：
故答案为：
【分析】 由点A（-1，2）和点B（-2，0）得出k，b，写出在x轴上方且函数y=kx+b的函数值小于函数y=-x的函数值对应的自变量的范围即可．
10．（2024八下·青秀期中）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，且
∴二元一次方程组的解是，
故答案为：.
【分析】根据题意且进而即可解出二元一次方程组.
11．（2024八下·平南期末）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积，绘制了如图所示的函数图象（图中为一线段），则72g该种液体的体积为 ．
【答案】80
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：当20≤V≤120时，设液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积的关系为m=kv+b（k≠0），
则，解得，
∴m=0.9v+140，
当m=140+72时，140+72=0.9v+140，
∴v=80（）.
【分析】利用待定系数法求出当20≤V≤120时函数解析式为m=0.9v+140，再把m=140+72代入求出v即可.
12．（2024八下·绵阳期末）若函数与的图象相交于第四象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；两一次函数图象相交或平行问题；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：联立得：，
解得：，
即交点坐标为，
∵交点在第四象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】解联立两函数解析式组成的方程组，用含k的式子表示出x、y，可得交点坐标，进而根据第四象限的点横坐标为正数，纵坐标为负数列出关于字母k的不等式组，求解即可得出k的取值范围.
13．（2023八下·汉阳期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若函数（为常数）与直线有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是 ．
①的面积总为；
②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标x满足，则b的取值范围为；
③若，则的解集为；
④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：①令，得：
∴
∴
∴故①正确；
②当时，
当时，
∴b的取值范围：，故②正确；
③，解得：
，解得：
∴直线与函数交点为：，
∴的解集为：，故③正确；
④当时，正比例函数与（为常数）的图象平行，
∴若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则故④错误；
综上正确的有：①②③，
故答案为：.
【分析】求出A，B的坐标，根据三角形的面积计算公式，可判断①；根据x满足，即可计算出b的取值范围，即可判断②；求出直线与函数交点，再根据图象即可判断③；根据两函数平行计算出系数的取值，即可判断④.
14．（2024八下·丰都县期末）如果关于的分式方程有非负整数解，一次函数的图象过一、三、四象限，则所有符合条件的整数的和是 ．
【答案】-4
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵ 的图象过一、三、四象限，
∴
∴-4解 ，
去分母，得x-(m+1)=2(x-2)，
解得x=3-m.
∵原分式方程有非负整数解，
∴x=3-m≠2，即m≠1，
综上所述，-4∴m=-3时，x=3-(-3)=6，符合题意；
m=-2时，x=3-(-2)=5，符合题意；
m=-1时，x=3-(-1)=4，符合题意；
m=0时，x=3-0=3，符合题意；，
m=2时，x=3-2=1，符合题意.
∴符合题意的整数m有：-3，-2，-1，0，2，
和是-3-2-1+0+2=-4.
故答案为：-4.
【分析】整数m要符合的条件有：使分式方程有解（非增根，隐含条件），且解为非负整数，使一次函数的图象过一、三、四象限；首先用m表示出分式方程的解，求出使分式方程的解非增根时，m的取值范围，再根据一次函数的图象求出m的求值范围，取两者的公共部分；最后验证这个部分哪些整数m使分式方程的解是非负整数.
15．（2024八下·石家庄期中）如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为．
①若入射光线与平面镜有公共点，的取值范围是 ．
②规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，点是整点的个数是 ．
【答案】；7
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①当入射光线刚好经过点A（4，2）时，
得2=4n+n，
解得：n=；
当入射光线刚好经过点B（4，6）时，
得6=4n+n，
解得：n=，
入射光线与平面镜有公共点，的取值范围是.
故答案为：.
②如图所示，作出点C关于AB的对称点C'，作直线AC'、BC'分别交y轴于点E1、E2，
C（-1，0），A（4，2），
C'坐标为（9，0），
设直线AC'的表达式为y1=kx+b（k≠0），
把A（4，2），C'（9，0）代入y1=kx+b（k≠0），
得，
解得：，
直线AC'的表达式为，
设直线BC'的表达式为y2=ax+c（a≠0），
把B（4，6），C'（9，0）代入y2=ax+c（a≠0），
得，
解得：，
直线BC'的表达式为，
当x=0时，，，
即点E1（0，），点E2（0，），
点整点有：4，5，6，7，8，9，10，共7个.
故答案为：7.
【分析】①利用待定系数法分别求出直线AC和直线BC的表达式即可得到n的取值范围；
②作出点C关于AB的对称点C'，作直线AC'、BC'分别交y轴于点E1、E2，先根据轴对称的性质求出点C'的坐标，再利用待定系数法分别求出AC'，BC'的表达式，进而得到AC'，BC'于y轴的交点坐标，根据点E的坐标在此范围内即可得到答案.
16．（2024八下·香河期末）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，写出m的取值范围
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵函数的图象经过点和，
∴解得，
∴函数解析式y=x-1，
∵函数图象过点且平行于x轴的直线交于点C，
∴当y=x-1=-3时x=-2，
∴点C（-2，-3），
把点C（-2，-3)代入得，
∴要满足当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值时m 的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题先运用待定系数法求得一次函数与正比例函数的解析式，要满足在时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，图象中必须当x每取一个值，一次函数表示的点在正比例函数表示的点的上方.
三、解答题（共12题，共68分）
17．（2024八下·栾城期中）如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
（1）求m的值及的解析式；
（2）求的值；
（3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值．
【答案】（1）解：把代入一次函数，可得，解得，
，
设的解析式为，则，解得，
的解析式为
（2）解：如图，过作于，于，则，，
，令，则；令，则，
，，，，
（3）解：一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，
当经过点时，；当，平行时，；当，平行时，；
故的值为或2或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，再设的解析式为， 将点C的坐标代入求出a的值即可；
（2）过作于，于，则，，先求出点A、B的坐标，可得，，再利用三角形的面积公式及割补法求解即可；
（3）分类讨论，再结合两直线平行k相等可得 当经过点时，；当，平行时，；当，平行时，，从而得解.
18．（2024八下·丹江口期中） 为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买A、B两种不同型号的篮球共120个．已知购买3个A型篮球和2个B型篮球共需260元，购买2个A型篮球和3个B型篮球共需要240元．
（1）求购买一个A型篮球、一个B型篮球各需多少元？
（2）若该校计划投入资金W元用于购买这两种篮球，设购进的A型篮球为m个，求W
关于m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若购买B型篮球的数量不超过A型篮球数量，则该校至少需要
投入资金多少元？
【答案】（1）解： 设购买一个A型篮球需x元，一个B型篮球需y元，
由题意得：，
解得，符合题意，
答：购买一个A型篮球需60元，一个B型篮球需40元；.
（2）解：由题意得：购买B型篮球的个数为（120－m）个，
则W=60m+40（120－m），
即W=20m+4800，
则W关于m的函数关系式为W=20m+4800；
（3）解：∵购买B型篮球的数量不超过A型篮球数量，
∴120－m≤m，
解得m≥60，
又∵120－m＞0，
∴60≤m＜120，
∵k=20＞0，
∴在60≤m＜120内，W随m的增大而增大，
∴当m=60时，W取得最小值，最小值为20×60+4800=6000，
答：该校至少需要投入资金6000元．
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买一个A型篮球需x元，一个B型篮球需y元，根据题中的两个相等关系“购买3个A型篮球和2个B型篮球共需260元，购买2个A型篮球和3个B型篮球共需要240元”可得关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）由题意得：购买B型篮球的个数为（120－m）个，根据投入资金W元=m个A型篮球的费用+（120－m）个B型篮球的费用可将W用含m的代数式表示出来；
（3）根据题中的不等关系“购买B型篮球的数量不超过A型篮球数量”可得关于m的不等式，解不等式求出m的范围，结合（2）中的函数关系式并根据一次函数的性质可求解.
19．（2024八下·江岸期末）某网络公司给出A，B两种上网的月收费方式（如下表）
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/h）
A 30 30
B 45 50 3
设上网时间为t（单位：h），，根据表格回答：
（1）请写出B种方式上网费用y（单位：元）关于上网时间t（单位：h）的函数解析式；
（2）若，选取B种方式的上网费用低于A种方式时，求上网时间t的取值范围；
（3）若，当上网时间为m时，A方式和B方式的上网费用相同，若m的值存在两个，直接写出a的取值范围 .
【答案】（1）解：①当时，
②当时，
（2）当时，A方式上网费用
①当时，，选取A种方式上网费用低，（舍）；
②当时，令得，
当时，选取B种方式上网费用低
③当时，令得恒成立，
当时，选取B种方式上网费用低.
综上所述时，选取B种方式上网费用低．
（3）
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用
【解析】【解答】（3）对于A种上网方式，当0＜t≤30时，y=30；当30＜t≤720时，y=30+a（t-30）=at+30（1-a）；
∴A种方式上网费用y关于上网时间t的函数解析式为y=．
如图，当30＜t≤720时，A种方式上网费用y关于上网时间t的函数图象PM经过坐标（720，2055），图象PN经过坐标（50，45）．
当图象PM经过坐标（720，2055）时，得720a+30（1-a）=2055，解得a≈2.93；
当图象PN经过坐标（50，45）时，得50a+30（1-a）=45，解得a=0.75；
∴若m的值存在两个，a的取值范围为0.75＜a＜2.9．
故答案为：0.75＜a＜2.9．
【分析】（1）根据“当0＜t≤50时，上网费用=月使用费；当50＜t≤720时，上网费用=月使用费+超时费×（t-包时上网时间）”作答并写为分段函数即可；
（2）根据（1）的方法写出A种方式上网费用y关于上网时间t的函数解析式，在同一坐标系中作出A、B两种方式上网费用y关于上网时间t的函数图象，根据图象作答即可；
（3）求出超时费为a元/h时A种方式上网费用y关于上网时间t的函数解析式，在上面的坐标系数中分析两图象交点情况，从而求出a的取值范围。
20．（2024八下·顺德期中）一次函数的图象经过点、，与y轴相交于点D，且和一次函数的图象交于点C，如图所示．
（1）填空：不等式的解集是 ．
（2）若点C的横坐标是1，请完成下面的问题：
①填空：不等式的解集是 ．
②求a的值．
③把直线AC绕点D顺时针旋转30°交x轴于点E，求线段AE的长．
【答案】（1）x＞-2
（2）解“①x<1
②∵一次函数y=kx+b的图象经过点A(-2，0)，B(-1，1)，∴，∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2，当x=1时，y=x+2=3，∴点C的坐标为(1，3)，∵一次函数y=-2x+a的图象经过点C(1，3)，∴3=-2x1+a，∴a=5；
③作∠ADE的平分线DF交x轴于F，当x=0时，y=2，∴点D的坐标为(0，2)，∴OD=2，∵OA=2，∴OA=OD，∴∠ADO=45°，∵∠ADE=30°，∴∠ADF=∠EDF=15°，∴∠FDO=∠ADO+∠ADF=60°，∴∠DFO=30°，∴DF=2OD=4，，∵∠ADE=30°，∠ADO=45°，∴∠EDO=75°，∴∠DEO=90°-75°=15°，：.ZDEF=∠EDF=15°，∴EF=DF=4，∴；∴
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：（1）∵ 一次函数的图象经过点、，
∴ 不等式的解集是x＞-2；
故答案为：x＞-2.
（2） ①∵ 一次函数的图象 和一次函数的图象交于点C ，点C的横坐标为1，
∴ 不等式的解集是x＜1；
故答案为：x＜1.
【分析】（1）根据直线AC在x轴上方的部分对应的x的取值集合就是不等式kx+b>0的解集，即可求解；
（2） ① 根据直线AC在直线y=-2x+a下方的部分对应的x的取值集合就是不等式 的解集，即可求解；
②根据题意求出直线AC的解析式，进而求出点C的坐标，将C点坐标代入y=-2x+a，即可求解；
③作∠ADE的平分线DF交x轴于F，由OA=OD，得到∠ADO=45°，进而求出∠FDO=60°，再求出EF=DF=4，即可得到OD的长，进而即可求出AE的长。
21．（2024八下·龙岗期中）深圳百合外国语学校八年级某数学学习小组在研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整：
（1）列表：表格是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：
x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y a －1 0 1 2 b 2 1 0 …
表格中a的值为 ，b的值为 ．
（2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象：
（3）请观察函数的图象，回答下列问题：
①不等式的解集为 ；
②若，为该函数图象上不同的两点，则m＝ ；
③定义，例如，，则函数的最大值为 ．
【答案】（1），3
（2）解：函数图象如下：
（3）①或；②；③
【知识点】函数自变量的取值范围；函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
解：（1）当x=-4时，，
当x=1时，，
故答案为：，3；
（3）①由(2)图象可知：当或时，，即，
∴不等式的解集为：或，
故答案为：或；
②∵点A（m，n）点B（6，n）为该函数图象上的两个点
∴将点A点B坐标代入函数解析式得：当，时，，
当x=m，y=-2时，
解得：或，
∵点A和点B是函数图象上两个不同的点
∴m=6需舍去
∴
故答案为：；
③设函数，
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如下：
当时，有，
解得：或3，
由图知：当时，，
∴
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
当时，，
∴，
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
当时，，
∴
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
综上可得，的最大值是
故答案为：．
【分析】
本题主要考查了新定义、一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象，熟练掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象是解决本题关键．
（1）根据表格中的数据把和x=1分别代入函数表达式：，计算即可得到答案；
（2）根据（1）中的表格数据，在图像上描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线即可得到函数图象，即可得出答案；
（3）①不等式，意味着函数，通过观察所画的函数图象，找到y值在x轴下方对应的x的取值范围即可得出答案；
②根据这两个点坐标在函数图象上，分别将这两个点的坐标代入函数表达式计算即可得到m，n的值，即可得出答案；
③根据题意：设函数，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象根据函数图象和性质解决，即可得出答案．
（1），
，
故答案为：，3；
（2）函数图象如下：
（3）①观察图象可得，当或时，，即，
∴不等式的解集为：或，
故答案为：或；
②把，代入，得，
当时，有，
解得：或，
∴
故答案为：；
③设，，
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如下：
当时，有，
解得：或3，
当时，，
∴
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
当时，，
∴，
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
当时，，
∴
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
综上可得，的最大值是
故答案为：．
22．（2024八下·南昌月考） 为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示.
（1）分别求，关于的函数关系式；
（2）两图象交于点，求点坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
【答案】（1）由题意可得，y甲=0.85x；
乙商店：当0≤x≤300时，y乙与x的函数关系式为y乙=x；
当x＞300时，y乙=300+（x-300）×0.7=0.7x+90，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙=
（2）由，解得，
点A的坐标为（600，510）；
（3）由点A的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元，
结合图象可知，
当x＜600时，选择甲商店更合算；
当x=600时，两家商店所需费用相同；
当x＞600时，选择乙商店更合算．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）先根据题意求出关于的函数关系式，再利用待定系数法和题目的已知条件求出甲的分段函数.
(2)把 y甲 和 y乙 联立成方程组或方程解出交点坐标.
(3)找出交点坐标，观察图像，看 y甲 和 y乙哪个在上方来判断 y甲 和 y乙的大小关系，并下结论.
23．（2024八下·定兴期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：分别与轴，轴交于，两点，与直线：交于点．
（1）求的值及直线的函数解析式；
（2）当时，满足不等式，求的取值范围；
（3）若直线：与的边有两个公共点，求的取值范围．
【答案】（1）解：直线：经过点，
，
，
直线的解析式为，
把点代入得，
，
点，
直线：过点．
，
，
直线的解析式为；
（2）∵当时，满足不等式，且直线和直线 相交于点P(2，1)，
据图可得：的取值范围是；
（3）解：当直线：过原点时，，
直线：过点时，，
若直线：与的边有两个公共点，的取值范围是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】
（1）先把点A代入求出，得出：直线的解析式为，再把点代入得解出a值，得出点P的坐标，最后把点P代入直线直线：，求出即可；
（2）观察图像，当时，在的上方，故当时，
（3）当直线：过原点时，；当直线：过点时，；于是可得当的取值范围是时， 直线：与的边有两个公共点 .
24．（2024八下·荷塘期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量的取值范围是全体实数下表是与的几组对应值：
其中， ；
（2）如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
（3）观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是 ；
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而 ；
（4）进一步探究，若关于的方程只有一个解，则的取值范围是 ．
【答案】（1）3
（2）画出该函数图象的另一部分如图；
（3）；增大
（4）或
【知识点】一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】（1）解：当x=-1时，，
∴m=3，
故答案为：3；
（3）①观察图象可得，该函数图象的最低点坐标是（2，0）；
②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
故答案为：①（2，0），②增大；
（4）由题意，得，函数与函数的图象只有一个交点，
观察图象可得：此时的取值范围是或；
故答案为：或．
【分析】（1）把x=-1代入函数的解析式，求出对应的函数值，可以求得m的值；
（2）利用表格的数据确定点的坐标，再描点连线画出相应的函数图象；
（3）观察函数图象，利用图象的性质即可得出结论；
（4）把方程只有一个解，转化为函数只有一个交点，观察函数图象，可以得到满足题意的K的取值范围；
25．（2020八下·滨江开学考）甲、乙两位同学从学校出发沿同一条绿道到相距学校 的图书馆去看书，甲步行，乙骑自行车.图1中 ， 分别表示甲、乙离开学校的路程 与甲行走的时间 之间的函数图象.
（1）求线段 所在直线的函数表达式；
（2）设 表示甲、乙两人之间的路程，在图2中补全d关于x的函数图象；（标注必要的数据）
（3）当x在什么范围时，甲、乙两人之间的路程至少为 .
【答案】（1）解：设AC表达式为y=kx+b，把（6，0）、（21，25）代入得
解得k=100，b=-600，
所以AC所在直线的函数表达式y=100x-600；
（2）解：设甲出发x分钟后两人相遇，则
解得x=15，
即甲出发15分钟后两人相遇，此时d=0，
21分钟后乙到图书馆，甲距图书馆1500-60×21=240米，
因此图象如下：
（3）解：设甲出发x分钟甲、乙两人之间的路程至少为210m．
①当乙没出发时，60x≥210，
解得x≥；
②当甲乙相遇前，即x≤15时
60x （100x 600）≥210
解得x≤，
即≤x≤时甲、乙两人之间的路程至少为210m；
③当甲乙相遇后，即x＞15时
100x 600 60x≥210，
解得x≥20.25，
即20.25≤x≤21时甲、乙两人之间的路程至少为210m；
④乙到达终点后，
1500 60x≥210，
解得x≤21.5；
综上当≤x≤或20.25≤x≤21.5分钟时甲、乙两人之间的路程至少为210m．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）设甲出发x分钟后相遇，根据速度×时间=路程及追及的时候甲与乙所行的路程相等列方程，计算相遇时的时间，可补全图象；
（3）分①当乙没出发时，②当甲乙相遇前，③当甲乙相遇后，④乙到达终点后四种可能列不等式求解.
26．（2024八下·凤山期末）综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象．
（1）列表：
x … 0 1 2 …
y … 3 m n 3 …
表格中_____________，_____________；
（2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论．
结论1：_____________；
结论2：_____________；
（4）写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的．
【答案】（1）1；1
（2）解：如图，
（3）函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称
（4）解：方程的解为：，
理由如下：画出函数和的图象，如图所示：
函数和的图象交点坐标分别为，
∴关于的方程的解为：．
【知识点】函数的图象；一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的关系；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：1；1；
（3）解：根据题意得：
结论1：函数有最小值，最小值为；
结论2：函数的图象关于直线对称；
故答案为：函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称
【分析】（1）根据函数解析式，将x的值分别代入求出y的值即可；（2）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可；（3）根据函数图象直接分析求解即可；（4）结合函数图象直接分析求解即可.
（1）解：；
故答案为：1；1
（2）解：如图，
（3）解：根据题意得：
结论1：函数有最小值，最小值为；
结论21：函数的图象关于直线对称；
（4）解：方程的解为：，理由如下：
画出函数和的图象，如图所示：
函数和的图象交点坐标分别为，
∴关于的方程的解为：．
27．（2025八下·深圳期中）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出函数的图象，并对其性质探究：
（1）完成如下列表，在坐标系中描点、连线，画出该函数的图象；
（2）结合你所画的函数图象，写出函数的两条性质：
① ；
②
（3）当时，自变量的取值范围是 ；
（4）一次函数图象与函数的图象只有一个交点，那么的取值范围是 ．
【答案】（1）解：6；2；图像如下：
（2）当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞3时，y随x的增大而增大；；当1＜x＜3时，y=2
（3）-1.5＜x＜0或4＜x＜5.5
（4）k＜2或
【知识点】函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
解：（1） 当x=-1时，y=；
当x=3时，y=；
当x≤1时，y==1-x+3-x=-2x+4；
当1＜x＜3时，y==x-1+3-x=2；
当x≥3时，y==x-1+x-3=2x-4；
即，
由此可画出图像如下图所示：
故答案为：6；2；
（2）由（1）图像可知：
①当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞3时，y随x的增大而增大；②当1＜x＜3时，y=2；
（3）当4＜＜7时，即4＜y＜7
由（1）图像可知：当y=4时，x=0或x=4；当y=7时，x=-1.5或x=5.5
∴当4＜＜7时，x的取值范围是：-1.5＜x＜0或4＜x＜5.5
故答案为：-1.5＜x＜0或4＜x＜5.5
（4） 由（1）知：
一次函数y=kx+1必过点（0，1）
∵一次函数y=kx+1与y=的图像只有一个交点
∴k＜2
当1＜x＜3时，一次函数y=kx+1与y=的图像只有一个交点，此时一次函数y=kx+1必过点（3，2）
∴将点（3，2）代入y=kx+1得：2=3k+1
∴k=
综上：k的取值范围是：k＜2或k=
故答案为：k＜2或k=
【分析】
本题考查一次函数的图象与性质，分段函数的图象，熟知一次函数的性质是解题关键.
（1） 根据函数解析式，将x=-1和x=3分别代入函数解析式即可算出所对应的函数值，并再平面直角坐标系中描点、连线、画图即可得出答案；
（2） 根据（1）中的图像，写出两条性质即可；
（3） 观察函数图象可知：当y=4时，x=0或x=4；当y=7时，x=-1.5或x=5.5；根据图像即可得出x的取值范围；
（4）根据一次函数y=kx+1必过点（0，1），再根据两函数图象的交点即可求出k的取值范围；由此可得出答案.
28．（2025八下·深圳期中）红岭中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习。
【模型准备】
红岭中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯。兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量，例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10.拥堵度的数值越大，该方向越拥堵，记自东向西的拥堵度为u1，自西向东的拥堵度为u2.
【收集数据】
小组成员分工进行数据收集并整理如下：
时间x 8时 11时 14时 17时 20时
自东向西交通量y1（辆/分钟） 32 26 20 14 8
自西向东交通量y2（辆/分钟） 11 14 17 20 23
【建立模型】
成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到y1与x的函数关系式及y2与x的函数关系式.
【模型应用】
兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向，成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向.
【问题求解】
（1）y1与х的函数关系式为 ：y2与x的函数关系式为 ，（不写自变量的取值范围）
（2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算u1及u2的值说明哪个方向更拥堵.
（3）根据小敏的想法，在没有可变车道的情况下，若u1=u2，求x的值；并直接写出该路段8时至20时的可变车道设计方案.
【答案】（1）y1=-2x+ 48；y2=x+3
（2）解：当x=13时，y1=22， y2=16，
由题意可得：自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2，
∴
∵
∴自西向东方向更拥堵.
（3）解：)在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，
即，
当u1=u2时，y1=y2，
∴-2x+48=x+3，
解得x=15，
∴在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：(1) 设y1= k1x+ b1(k1，b1为常数，且k10).
将x=8，y1= 32和x=11，y1=26代入y1= k1x+ b1
∴，
解得：’
∴y1=-2x+ 48.
设y2 = k2x十 b2(k2，b2为常数，且k20)
将x=8，y2 =11和x=11，y2=14代入y2 = k2x十 b2
∴，
解得
∴y2=x+3.
故答案为：y1=-2x+ 48，y2=x+3.
【分析】(1)根据待定系数法求解即可；
(2)通过计算特定时刻拥堵度比较拥堵情况；
(3)依据拥堵度关系确定可变车道方案，从建模到应用逐步推导，解决车道优化问题。
1 / 1【培优版】北京版数学八（下）第十四章 函数 单元检测
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2024八下·博罗期末）已知函数y=3x|m-2|是关于x的正比例函数，则常数m的值为( )
A．3或1 B．3 C．±1 D．1
2．（2024八下·栾城期中）若与成正比，则（ ）
A．y是x的正比例函数 B．y是x的一次函数
C．y与x没有函数关系 D．以上都不正确
3．（2022八下·新乐期中）若等腰三角形的周长为60 cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，则y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围是（ ）
A．y＝60－2x(0C．y＝ (60－x)(04．（2023八下·潼南期末）定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法：
①；
②若，则或4；
③的解集为或；
④若函数的图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024八下·宣化期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点，．若直线与线段AB有交点，则k的值可能是（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．（2023八下·邕宁期末）对于函数，下列结论：①它的图象必经过点②它的图象经过第一、二、四象限 ③当时，④的值随值的增大而增大，其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2024八下·岳阳期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“和二点”．例如：点到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点也是“和二点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和二点”，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八下·长沙期中）已知A，B两地相距1200米，甲和乙两人均从地出发，向地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离（米）和甲出发的时间（分）之间的关系，现有如下结论：①乙每分钟比甲多走10米；②乙用18分钟追上了甲；③乙比甲早1分钟到达终点；④图中点的坐标为．则下列结论正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③
二、填空题（共12题，共68分）
9．（2024八下·长安期中）如图，已知一次函数的图象经过点和点，则关于x的不等式组的解集为 ．
10．（2024八下·青秀期中）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，二元一次方程组的解是 ．
11．（2024八下·平南期末）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积，绘制了如图所示的函数图象（图中为一线段），则72g该种液体的体积为 ．
12．（2024八下·绵阳期末）若函数与的图象相交于第四象限，则的取值范围是 ．
13．（2023八下·汉阳期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若函数（为常数）与直线有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是 ．
①的面积总为；
②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标x满足，则b的取值范围为；
③若，则的解集为；
④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则．
14．（2024八下·丰都县期末）如果关于的分式方程有非负整数解，一次函数的图象过一、三、四象限，则所有符合条件的整数的和是 ．
15．（2024八下·石家庄期中）如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为．
①若入射光线与平面镜有公共点，的取值范围是 ．
②规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，点是整点的个数是 ．
16．（2024八下·香河期末）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，写出m的取值范围
三、解答题（共12题，共68分）
17．（2024八下·栾城期中）如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
（1）求m的值及的解析式；
（2）求的值；
（3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值．
18．（2024八下·丹江口期中） 为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买A、B两种不同型号的篮球共120个．已知购买3个A型篮球和2个B型篮球共需260元，购买2个A型篮球和3个B型篮球共需要240元．
（1）求购买一个A型篮球、一个B型篮球各需多少元？
（2）若该校计划投入资金W元用于购买这两种篮球，设购进的A型篮球为m个，求W
关于m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若购买B型篮球的数量不超过A型篮球数量，则该校至少需要
投入资金多少元？
19．（2024八下·江岸期末）某网络公司给出A，B两种上网的月收费方式（如下表）
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/h）
A 30 30
B 45 50 3
设上网时间为t（单位：h），，根据表格回答：
（1）请写出B种方式上网费用y（单位：元）关于上网时间t（单位：h）的函数解析式；
（2）若，选取B种方式的上网费用低于A种方式时，求上网时间t的取值范围；
（3）若，当上网时间为m时，A方式和B方式的上网费用相同，若m的值存在两个，直接写出a的取值范围 .
20．（2024八下·顺德期中）一次函数的图象经过点、，与y轴相交于点D，且和一次函数的图象交于点C，如图所示．
（1）填空：不等式的解集是 ．
（2）若点C的横坐标是1，请完成下面的问题：
①填空：不等式的解集是 ．
②求a的值．
③把直线AC绕点D顺时针旋转30°交x轴于点E，求线段AE的长．
21．（2024八下·龙岗期中）深圳百合外国语学校八年级某数学学习小组在研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整：
（1）列表：表格是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：
x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y a －1 0 1 2 b 2 1 0 …
表格中a的值为 ，b的值为 ．
（2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象：
（3）请观察函数的图象，回答下列问题：
①不等式的解集为 ；
②若，为该函数图象上不同的两点，则m＝ ；
③定义，例如，，则函数的最大值为 ．
22．（2024八下·南昌月考） 为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示.
（1）分别求，关于的函数关系式；
（2）两图象交于点，求点坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
23．（2024八下·定兴期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：分别与轴，轴交于，两点，与直线：交于点．
（1）求的值及直线的函数解析式；
（2）当时，满足不等式，求的取值范围；
（3）若直线：与的边有两个公共点，求的取值范围．
24．（2024八下·荷塘期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量的取值范围是全体实数下表是与的几组对应值：
其中， ；
（2）如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
（3）观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是 ；
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而 ；
（4）进一步探究，若关于的方程只有一个解，则的取值范围是 ．
25．（2020八下·滨江开学考）甲、乙两位同学从学校出发沿同一条绿道到相距学校 的图书馆去看书，甲步行，乙骑自行车.图1中 ， 分别表示甲、乙离开学校的路程 与甲行走的时间 之间的函数图象.
（1）求线段 所在直线的函数表达式；
（2）设 表示甲、乙两人之间的路程，在图2中补全d关于x的函数图象；（标注必要的数据）
（3）当x在什么范围时，甲、乙两人之间的路程至少为 .
26．（2024八下·凤山期末）综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象．
（1）列表：
x … 0 1 2 …
y … 3 m n 3 …
表格中_____________，_____________；
（2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论．
结论1：_____________；
结论2：_____________；
（4）写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的．
27．（2025八下·深圳期中）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出函数的图象，并对其性质探究：
（1）完成如下列表，在坐标系中描点、连线，画出该函数的图象；
（2）结合你所画的函数图象，写出函数的两条性质：
① ；
②
（3）当时，自变量的取值范围是 ；
（4）一次函数图象与函数的图象只有一个交点，那么的取值范围是 ．
28．（2025八下·深圳期中）红岭中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习。
【模型准备】
红岭中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯。兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量，例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10.拥堵度的数值越大，该方向越拥堵，记自东向西的拥堵度为u1，自西向东的拥堵度为u2.
【收集数据】
小组成员分工进行数据收集并整理如下：
时间x 8时 11时 14时 17时 20时
自东向西交通量y1（辆/分钟） 32 26 20 14 8
自西向东交通量y2（辆/分钟） 11 14 17 20 23
【建立模型】
成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到y1与x的函数关系式及y2与x的函数关系式.
【模型应用】
兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向，成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向.
【问题求解】
（1）y1与х的函数关系式为 ：y2与x的函数关系式为 ，（不写自变量的取值范围）
（2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算u1及u2的值说明哪个方向更拥堵.
（3）根据小敏的想法，在没有可变车道的情况下，若u1=u2，求x的值；并直接写出该路段8时至20时的可变车道设计方案.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：由题意可得，，
∴ m-2=±1，
∴ m=3或1.
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数的定义可得，即可求得.
2．【答案】B
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】∵与成正比，
∴=k（x-3），其中k≠0，
整理可得：，
∴y是x的一次函数，
故答案为：B.
【分析】利用正比例函数的定义可得=k（x-3），其中k≠0，再求出，即可得到y是x的一次函数.
3．【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围；列一次函数关系式
【解析】【解答】∵2y+x=60，
∴y＝ (60－x)(0故答案为：D.
【分析】根据题意直接列出函数解析式即可。
4．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的图象；解含括号的一元一次方程；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，故①正确；
当即时，，
解得符合题意；
当即时，，
解得与矛盾，不合题意，故②错误；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
综上，不等式的解集为或，故③正确；
当即时，，
当即时，
函数图象如下，当函数图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
所以④正确；
正确的结论有①③④，共三个，
故选C．
【分析】①根据新定义且-4＞-5， 对直接列式计算，再判断即可；②分情况讨论：当和当，结合新定义分别解答，再判断即可；③ 分情况讨论：当和当，结合新定义分别建立不等式并解之，再判断即可；分两种情况：当和当时，利用新定义分别求出y值，再结合图象判断即可．
5．【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】 解：如图，
令x=0，则y=0 k-2=2，
所以直线y=kx+2与y轴的交点坐标为C（0，2），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
则
解得．
所以直线AC的解析式为y=4x+2，
设直线BC的解析式为y=ex+f，
则，
解得．
所以直线BC的解析式为y=-x+2，
若直线y=kx+2与线段AB有交点，则k的取值范围是k≥4或k≤-1，
各选项中D符合条件，ABC不符合条件．
故答案为：D．
【分析】先求出直线y=kx+2与y轴的交点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC、BC的解析式，然后根据直线与线段AB有交点，则k值小于直线AC的k值，或大于直线BC的k值，然后根据此范围进行选择即可．
6．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： ① .∵当x=-1时，y=-5×（-1）+1=6≠5，
∴点不在一次函数的图象上，
故错误；
②.∵k=-5＜0，b=1＞0，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，
故正确；
∵x=1时，y=-5×1+1=-4＜0，
又k=-5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＞1时，y＜0，
故③正确，④错误．
故答案为：C.
【分析】 根据一次函数的性质对4个选项逐一验证．
7．【答案】D
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：取连，
在HG上任取一点P，作轴轴，垂直分别为
∴PN=OM
∵
∵，
∴均为等腰直角三角形
∴∠OHG=45°
∵∠PMH=90°
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∴HG上任意一点P都是“和二点”
同理上的任意一点也是“和二点”
∴当一次函数的图象与线或线有交点时，一次函数的图象上存在“和二点”
把H(-2，0)，E(-3，-4)代入一次函数得：
解得：
把G(0，-2)，E(-3，-4)代入一次函数得：
解得：
∴k的取值范围：
故选：D．
【分析】
先取连，，得到，即：均为等腰直角三角形，故：∠OHG=45°，在HG上任取一点P，作轴轴，垂直分别为，则，从而得到任意一点p是上的点为“和二点”，同理上的任意一点也是“和二点，可得到当一次函数的图象与线或有交点时，一次函数的图象上存在“和二点”，再分别求出当一次函数的图象经过点E，H和E，G时的函数图象的解析式即可.
8．【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解： 图象中y轴表示两人之间的距离，x轴为甲出发时间，
①乙每分钟比甲多走150÷(18-3)=10(米)，故①正确，符合题意；
②乙用18-3=15(分钟)追上了甲， 故②不正确，不符合题意；
③甲的速度为150÷3=50(米/分钟)，
则甲到达B地所用时间为1200÷50=24(分钟)，
乙的速度为50+10=60(米/分钟)，
则乙到达B地所用时间为1200÷60=20(分钟)，
∴当x=20+3=23时乙到达B地，
∴乙比甲早24-23=1(分钟)到达终点B，故③正确，符合题意；
④由③可知，点Q的横坐标为23，
甲出发23分钟后距A地50×23=1150(米)，则当x=23时，甲、乙两人之间的距离为1200-1150=50(米)，
∴点Q的坐标为(23，50)，故④正确，符合题意，
综上，正确的有①③.
故答案为：A.
【分析】乙出发时与甲之间的距离除以乙追上甲所用的时间即为二者的速度差，据此计算可判断①；乙到达B地时对应x的值减去乙出发时对应x的值即乙追上甲所用的时间，根据速度=路程÷时间求出甲的速度，由时间=路程÷速度求出甲到达B地所用时间；结合①求出乙的速度，由时间=路程÷速度求出乙到达B地所用时间，从而求出乙到达B地时对应x的值，进而计算乙比甲早几分钟到达终点B；由③可知点Q的横坐标，根据路程=速度×时间求出Q点时甲距A地距离，从而求出甲、乙两人之间的距离，即Q的纵坐标，进而得到点Q的坐标.
9．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：把点A（-1，2）和点B（-2，0）代入y=kx+b中，
.
解得.
∴解析式为：y=2x+4，
则不等式组为.
解不等式组的解集为：
故答案为：
【分析】 由点A（-1，2）和点B（-2，0）得出k，b，写出在x轴上方且函数y=kx+b的函数值小于函数y=-x的函数值对应的自变量的范围即可．
10．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，且
∴二元一次方程组的解是，
故答案为：.
【分析】根据题意且进而即可解出二元一次方程组.
11．【答案】80
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：当20≤V≤120时，设液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积的关系为m=kv+b（k≠0），
则，解得，
∴m=0.9v+140，
当m=140+72时，140+72=0.9v+140，
∴v=80（）.
【分析】利用待定系数法求出当20≤V≤120时函数解析式为m=0.9v+140，再把m=140+72代入求出v即可.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；两一次函数图象相交或平行问题；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：联立得：，
解得：，
即交点坐标为，
∵交点在第四象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】解联立两函数解析式组成的方程组，用含k的式子表示出x、y，可得交点坐标，进而根据第四象限的点横坐标为正数，纵坐标为负数列出关于字母k的不等式组，求解即可得出k的取值范围.
13．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：①令，得：
∴
∴
∴故①正确；
②当时，
当时，
∴b的取值范围：，故②正确；
③，解得：
，解得：
∴直线与函数交点为：，
∴的解集为：，故③正确；
④当时，正比例函数与（为常数）的图象平行，
∴若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则故④错误；
综上正确的有：①②③，
故答案为：.
【分析】求出A，B的坐标，根据三角形的面积计算公式，可判断①；根据x满足，即可计算出b的取值范围，即可判断②；求出直线与函数交点，再根据图象即可判断③；根据两函数平行计算出系数的取值，即可判断④.
14．【答案】-4
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵ 的图象过一、三、四象限，
∴
∴-4解 ，
去分母，得x-(m+1)=2(x-2)，
解得x=3-m.
∵原分式方程有非负整数解，
∴x=3-m≠2，即m≠1，
综上所述，-4∴m=-3时，x=3-(-3)=6，符合题意；
m=-2时，x=3-(-2)=5，符合题意；
m=-1时，x=3-(-1)=4，符合题意；
m=0时，x=3-0=3，符合题意；，
m=2时，x=3-2=1，符合题意.
∴符合题意的整数m有：-3，-2，-1，0，2，
和是-3-2-1+0+2=-4.
故答案为：-4.
【分析】整数m要符合的条件有：使分式方程有解（非增根，隐含条件），且解为非负整数，使一次函数的图象过一、三、四象限；首先用m表示出分式方程的解，求出使分式方程的解非增根时，m的取值范围，再根据一次函数的图象求出m的求值范围，取两者的公共部分；最后验证这个部分哪些整数m使分式方程的解是非负整数.
15．【答案】；7
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①当入射光线刚好经过点A（4，2）时，
得2=4n+n，
解得：n=；
当入射光线刚好经过点B（4，6）时，
得6=4n+n，
解得：n=，
入射光线与平面镜有公共点，的取值范围是.
故答案为：.
②如图所示，作出点C关于AB的对称点C'，作直线AC'、BC'分别交y轴于点E1、E2，
C（-1，0），A（4，2），
C'坐标为（9，0），
设直线AC'的表达式为y1=kx+b（k≠0），
把A（4，2），C'（9，0）代入y1=kx+b（k≠0），
得，
解得：，
直线AC'的表达式为，
设直线BC'的表达式为y2=ax+c（a≠0），
把B（4，6），C'（9，0）代入y2=ax+c（a≠0），
得，
解得：，
直线BC'的表达式为，
当x=0时，，，
即点E1（0，），点E2（0，），
点整点有：4，5，6，7，8，9，10，共7个.
故答案为：7.
【分析】①利用待定系数法分别求出直线AC和直线BC的表达式即可得到n的取值范围；
②作出点C关于AB的对称点C'，作直线AC'、BC'分别交y轴于点E1、E2，先根据轴对称的性质求出点C'的坐标，再利用待定系数法分别求出AC'，BC'的表达式，进而得到AC'，BC'于y轴的交点坐标，根据点E的坐标在此范围内即可得到答案.
16．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵函数的图象经过点和，
∴解得，
∴函数解析式y=x-1，
∵函数图象过点且平行于x轴的直线交于点C，
∴当y=x-1=-3时x=-2，
∴点C（-2，-3），
把点C（-2，-3)代入得，
∴要满足当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值时m 的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题先运用待定系数法求得一次函数与正比例函数的解析式，要满足在时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，图象中必须当x每取一个值，一次函数表示的点在正比例函数表示的点的上方.
17．【答案】（1）解：把代入一次函数，可得，解得，
，
设的解析式为，则，解得，
的解析式为
（2）解：如图，过作于，于，则，，
，令，则；令，则，
，，，，
（3）解：一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，
当经过点时，；当，平行时，；当，平行时，；
故的值为或2或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，再设的解析式为， 将点C的坐标代入求出a的值即可；
（2）过作于，于，则，，先求出点A、B的坐标，可得，，再利用三角形的面积公式及割补法求解即可；
（3）分类讨论，再结合两直线平行k相等可得 当经过点时，；当，平行时，；当，平行时，，从而得解.
18．【答案】（1）解： 设购买一个A型篮球需x元，一个B型篮球需y元，
由题意得：，
解得，符合题意，
答：购买一个A型篮球需60元，一个B型篮球需40元；.
（2）解：由题意得：购买B型篮球的个数为（120－m）个，
则W=60m+40（120－m），
即W=20m+4800，
则W关于m的函数关系式为W=20m+4800；
（3）解：∵购买B型篮球的数量不超过A型篮球数量，
∴120－m≤m，
解得m≥60，
又∵120－m＞0，
∴60≤m＜120，
∵k=20＞0，
∴在60≤m＜120内，W随m的增大而增大，
∴当m=60时，W取得最小值，最小值为20×60+4800=6000，
答：该校至少需要投入资金6000元．
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买一个A型篮球需x元，一个B型篮球需y元，根据题中的两个相等关系“购买3个A型篮球和2个B型篮球共需260元，购买2个A型篮球和3个B型篮球共需要240元”可得关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）由题意得：购买B型篮球的个数为（120－m）个，根据投入资金W元=m个A型篮球的费用+（120－m）个B型篮球的费用可将W用含m的代数式表示出来；
（3）根据题中的不等关系“购买B型篮球的数量不超过A型篮球数量”可得关于m的不等式，解不等式求出m的范围，结合（2）中的函数关系式并根据一次函数的性质可求解.
19．【答案】（1）解：①当时，
②当时，
（2）当时，A方式上网费用
①当时，，选取A种方式上网费用低，（舍）；
②当时，令得，
当时，选取B种方式上网费用低
③当时，令得恒成立，
当时，选取B种方式上网费用低.
综上所述时，选取B种方式上网费用低．
（3）
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用
【解析】【解答】（3）对于A种上网方式，当0＜t≤30时，y=30；当30＜t≤720时，y=30+a（t-30）=at+30（1-a）；
∴A种方式上网费用y关于上网时间t的函数解析式为y=．
如图，当30＜t≤720时，A种方式上网费用y关于上网时间t的函数图象PM经过坐标（720，2055），图象PN经过坐标（50，45）．
当图象PM经过坐标（720，2055）时，得720a+30（1-a）=2055，解得a≈2.93；
当图象PN经过坐标（50，45）时，得50a+30（1-a）=45，解得a=0.75；
∴若m的值存在两个，a的取值范围为0.75＜a＜2.9．
故答案为：0.75＜a＜2.9．
【分析】（1）根据“当0＜t≤50时，上网费用=月使用费；当50＜t≤720时，上网费用=月使用费+超时费×（t-包时上网时间）”作答并写为分段函数即可；
（2）根据（1）的方法写出A种方式上网费用y关于上网时间t的函数解析式，在同一坐标系中作出A、B两种方式上网费用y关于上网时间t的函数图象，根据图象作答即可；
（3）求出超时费为a元/h时A种方式上网费用y关于上网时间t的函数解析式，在上面的坐标系数中分析两图象交点情况，从而求出a的取值范围。
20．【答案】（1）x＞-2
（2）解“①x<1
②∵一次函数y=kx+b的图象经过点A(-2，0)，B(-1，1)，∴，∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2，当x=1时，y=x+2=3，∴点C的坐标为(1，3)，∵一次函数y=-2x+a的图象经过点C(1，3)，∴3=-2x1+a，∴a=5；
③作∠ADE的平分线DF交x轴于F，当x=0时，y=2，∴点D的坐标为(0，2)，∴OD=2，∵OA=2，∴OA=OD，∴∠ADO=45°，∵∠ADE=30°，∴∠ADF=∠EDF=15°，∴∠FDO=∠ADO+∠ADF=60°，∴∠DFO=30°，∴DF=2OD=4，，∵∠ADE=30°，∠ADO=45°，∴∠EDO=75°，∴∠DEO=90°-75°=15°，：.ZDEF=∠EDF=15°，∴EF=DF=4，∴；∴
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：（1）∵ 一次函数的图象经过点、，
∴ 不等式的解集是x＞-2；
故答案为：x＞-2.
（2） ①∵ 一次函数的图象 和一次函数的图象交于点C ，点C的横坐标为1，
∴ 不等式的解集是x＜1；
故答案为：x＜1.
【分析】（1）根据直线AC在x轴上方的部分对应的x的取值集合就是不等式kx+b>0的解集，即可求解；
（2） ① 根据直线AC在直线y=-2x+a下方的部分对应的x的取值集合就是不等式 的解集，即可求解；
②根据题意求出直线AC的解析式，进而求出点C的坐标，将C点坐标代入y=-2x+a，即可求解；
③作∠ADE的平分线DF交x轴于F，由OA=OD，得到∠ADO=45°，进而求出∠FDO=60°，再求出EF=DF=4，即可得到OD的长，进而即可求出AE的长。
21．【答案】（1），3
（2）解：函数图象如下：
（3）①或；②；③
【知识点】函数自变量的取值范围；函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
解：（1）当x=-4时，，
当x=1时，，
故答案为：，3；
（3）①由(2)图象可知：当或时，，即，
∴不等式的解集为：或，
故答案为：或；
②∵点A（m，n）点B（6，n）为该函数图象上的两个点
∴将点A点B坐标代入函数解析式得：当，时，，
当x=m，y=-2时，
解得：或，
∵点A和点B是函数图象上两个不同的点
∴m=6需舍去
∴
故答案为：；
③设函数，
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如下：
当时，有，
解得：或3，
由图知：当时，，
∴
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
当时，，
∴，
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
当时，，
∴
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
综上可得，的最大值是
故答案为：．
【分析】
本题主要考查了新定义、一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象，熟练掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象是解决本题关键．
（1）根据表格中的数据把和x=1分别代入函数表达式：，计算即可得到答案；
（2）根据（1）中的表格数据，在图像上描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线即可得到函数图象，即可得出答案；
（3）①不等式，意味着函数，通过观察所画的函数图象，找到y值在x轴下方对应的x的取值范围即可得出答案；
②根据这两个点坐标在函数图象上，分别将这两个点的坐标代入函数表达式计算即可得到m，n的值，即可得出答案；
③根据题意：设函数，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象根据函数图象和性质解决，即可得出答案．
（1），
，
故答案为：，3；
（2）函数图象如下：
（3）①观察图象可得，当或时，，即，
∴不等式的解集为：或，
故答案为：或；
②把，代入，得，
当时，有，
解得：或，
∴
故答案为：；
③设，，
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如下：
当时，有，
解得：或3，
当时，，
∴
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
当时，，
∴，
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
当时，，
∴
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
综上可得，的最大值是
故答案为：．
22．【答案】（1）由题意可得，y甲=0.85x；
乙商店：当0≤x≤300时，y乙与x的函数关系式为y乙=x；
当x＞300时，y乙=300+（x-300）×0.7=0.7x+90，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙=
（2）由，解得，
点A的坐标为（600，510）；
（3）由点A的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元，
结合图象可知，
当x＜600时，选择甲商店更合算；
当x=600时，两家商店所需费用相同；
当x＞600时，选择乙商店更合算．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）先根据题意求出关于的函数关系式，再利用待定系数法和题目的已知条件求出甲的分段函数.
(2)把 y甲 和 y乙 联立成方程组或方程解出交点坐标.
(3)找出交点坐标，观察图像，看 y甲 和 y乙哪个在上方来判断 y甲 和 y乙的大小关系，并下结论.
23．【答案】（1）解：直线：经过点，
，
，
直线的解析式为，
把点代入得，
，
点，
直线：过点．
，
，
直线的解析式为；
（2）∵当时，满足不等式，且直线和直线 相交于点P(2，1)，
据图可得：的取值范围是；
（3）解：当直线：过原点时，，
直线：过点时，，
若直线：与的边有两个公共点，的取值范围是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】
（1）先把点A代入求出，得出：直线的解析式为，再把点代入得解出a值，得出点P的坐标，最后把点P代入直线直线：，求出即可；
（2）观察图像，当时，在的上方，故当时，
（3）当直线：过原点时，；当直线：过点时，；于是可得当的取值范围是时， 直线：与的边有两个公共点 .
24．【答案】（1）3
（2）画出该函数图象的另一部分如图；
（3）；增大
（4）或
【知识点】一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】（1）解：当x=-1时，，
∴m=3，
故答案为：3；
（3）①观察图象可得，该函数图象的最低点坐标是（2，0）；
②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
故答案为：①（2，0），②增大；
（4）由题意，得，函数与函数的图象只有一个交点，
观察图象可得：此时的取值范围是或；
故答案为：或．
【分析】（1）把x=-1代入函数的解析式，求出对应的函数值，可以求得m的值；
（2）利用表格的数据确定点的坐标，再描点连线画出相应的函数图象；
（3）观察函数图象，利用图象的性质即可得出结论；
（4）把方程只有一个解，转化为函数只有一个交点，观察函数图象，可以得到满足题意的K的取值范围；
25．【答案】（1）解：设AC表达式为y=kx+b，把（6，0）、（21，25）代入得
解得k=100，b=-600，
所以AC所在直线的函数表达式y=100x-600；
（2）解：设甲出发x分钟后两人相遇，则
解得x=15，
即甲出发15分钟后两人相遇，此时d=0，
21分钟后乙到图书馆，甲距图书馆1500-60×21=240米，
因此图象如下：
（3）解：设甲出发x分钟甲、乙两人之间的路程至少为210m．
①当乙没出发时，60x≥210，
解得x≥；
②当甲乙相遇前，即x≤15时
60x （100x 600）≥210
解得x≤，
即≤x≤时甲、乙两人之间的路程至少为210m；
③当甲乙相遇后，即x＞15时
100x 600 60x≥210，
解得x≥20.25，
即20.25≤x≤21时甲、乙两人之间的路程至少为210m；
④乙到达终点后，
1500 60x≥210，
解得x≤21.5；
综上当≤x≤或20.25≤x≤21.5分钟时甲、乙两人之间的路程至少为210m．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）设甲出发x分钟后相遇，根据速度×时间=路程及追及的时候甲与乙所行的路程相等列方程，计算相遇时的时间，可补全图象；
（3）分①当乙没出发时，②当甲乙相遇前，③当甲乙相遇后，④乙到达终点后四种可能列不等式求解.
26．【答案】（1）1；1
（2）解：如图，
（3）函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称
（4）解：方程的解为：，
理由如下：画出函数和的图象，如图所示：
函数和的图象交点坐标分别为，
∴关于的方程的解为：．
【知识点】函数的图象；一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的关系；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：1；1；
（3）解：根据题意得：
结论1：函数有最小值，最小值为；
结论2：函数的图象关于直线对称；
故答案为：函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称
【分析】（1）根据函数解析式，将x的值分别代入求出y的值即可；（2）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可；（3）根据函数图象直接分析求解即可；（4）结合函数图象直接分析求解即可.
（1）解：；
故答案为：1；1
（2）解：如图，
（3）解：根据题意得：
结论1：函数有最小值，最小值为；
结论21：函数的图象关于直线对称；
（4）解：方程的解为：，理由如下：
画出函数和的图象，如图所示：
函数和的图象交点坐标分别为，
∴关于的方程的解为：．
27．【答案】（1）解：6；2；图像如下：
（2）当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞3时，y随x的增大而增大；；当1＜x＜3时，y=2
（3）-1.5＜x＜0或4＜x＜5.5
（4）k＜2或
【知识点】函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
解：（1） 当x=-1时，y=；
当x=3时，y=；
当x≤1时，y==1-x+3-x=-2x+4；
当1＜x＜3时，y==x-1+3-x=2；
当x≥3时，y==x-1+x-3=2x-4；
即，
由此可画出图像如下图所示：
故答案为：6；2；
（2）由（1）图像可知：
①当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞3时，y随x的增大而增大；②当1＜x＜3时，y=2；
（3）当4＜＜7时，即4＜y＜7
由（1）图像可知：当y=4时，x=0或x=4；当y=7时，x=-1.5或x=5.5
∴当4＜＜7时，x的取值范围是：-1.5＜x＜0或4＜x＜5.5
故答案为：-1.5＜x＜0或4＜x＜5.5
（4） 由（1）知：
一次函数y=kx+1必过点（0，1）
∵一次函数y=kx+1与y=的图像只有一个交点
∴k＜2
当1＜x＜3时，一次函数y=kx+1与y=的图像只有一个交点，此时一次函数y=kx+1必过点（3，2）
∴将点（3，2）代入y=kx+1得：2=3k+1
∴k=
综上：k的取值范围是：k＜2或k=
故答案为：k＜2或k=
【分析】
本题考查一次函数的图象与性质，分段函数的图象，熟知一次函数的性质是解题关键.
（1） 根据函数解析式，将x=-1和x=3分别代入函数解析式即可算出所对应的函数值，并再平面直角坐标系中描点、连线、画图即可得出答案；
（2） 根据（1）中的图像，写出两条性质即可；
（3） 观察函数图象可知：当y=4时，x=0或x=4；当y=7时，x=-1.5或x=5.5；根据图像即可得出x的取值范围；
（4）根据一次函数y=kx+1必过点（0，1），再根据两函数图象的交点即可求出k的取值范围；由此可得出答案.
28．【答案】（1）y1=-2x+ 48；y2=x+3
（2）解：当x=13时，y1=22， y2=16，
由题意可得：自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2，
∴
∵
∴自西向东方向更拥堵.
（3）解：)在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，
即，
当u1=u2时，y1=y2，
∴-2x+48=x+3，
解得x=15，
∴在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：(1) 设y1= k1x+ b1(k1，b1为常数，且k10).
将x=8，y1= 32和x=11，y1=26代入y1= k1x+ b1
∴，
解得：’
∴y1=-2x+ 48.
设y2 = k2x十 b2(k2，b2为常数，且k20)
将x=8，y2 =11和x=11，y2=14代入y2 = k2x十 b2
∴，
解得
∴y2=x+3.
故答案为：y1=-2x+ 48，y2=x+3.
【分析】(1)根据待定系数法求解即可；
(2)通过计算特定时刻拥堵度比较拥堵情况；
(3)依据拥堵度关系确定可变车道方案，从建模到应用逐步推导，解决车道优化问题。
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