【提升版】北京版数学八（下）第十五章 四边形 单元检测
一、选择题（每题2分，共16分）
1．已知一个多边形有两条对角线， 则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：多边形对角线条数公式，当N=2时，求得n=4.
故答案为：A.
【分析】本题要掌握多边形角线条数公式，如果知道多边形边数可求得对角线条数，反之如果知道对角线条数可求得多边形边数.
2．当一个多边形的边数增加时，它的内角和与外角和的变化情况分别是（ ）
A．增大，增大 B．增大，不变 C．不变，增大 D．不变，不变
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵n边形的内角和为
∴内角和随着边数的增加而增大
∵n边形外角和为
∴外角和不随着边数的增加而变化
故答案为：B.
【分析】利用n边形内角和公式和外角和，得出结果。
3．（2024八下·柳江期中）如图，小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【答案】D
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：要确定平行四边形，即确定四边形的四个顶点，
而③和④中有两个顶点，两边的延长线即可确定另外两个顶点，即确定该平行四边形.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的定义即可求得.
4． 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，下列条件中，不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是 （ ）
A．OB=OD，OA=OC B．AD∥BC，AB=CD
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AB=CD
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.因为OB=OD，OA=OC，所以四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；
B.由 不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故此选项符合题意；
C.因为 所以四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
D.因为 CD，AB=CD，所以四边形 ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可.
5．（2025八下·东阳期末） 如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝4，AC＝2BC，点D，F是AB边上的动点，且AD＝BF，过点D，F作BC的平行线交AC于点E，G．下列两条线段的和，不随D，F的运动而改变的是（ ）
A．AD+DF B．DE+FG
C．A D．+DE D．DF+FG
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过G作GH//AB交BC于H，
∵FG//BC，
∴四边形FBHG是平行四边形
∴BH=FG，CH=BF，
∵AD=BF，
∴GH=AD，
∵DE//BC，
∴∠C=∠AED，
∵GH//AB，
∴∠CGH=∠A，
∴△GHC≌△ADE(AAS)
∴HC=DE，
∴DE+FG=HC+BH=BC，
∵AC=2BC=4，
∴DE+FG=BC=2，
故B符合题意；
当F向上运动时，AD+DF变小，反之AD+DF变大，故A不符合题意；
当D向上运动时，AD+DE变小，反之AD+DE变大，故C不符合题意；
当D向上运动，F向下运动时，DF+FG变大，反之变小，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】过G作GH//AB交BC于H，证明四边形FBHG是平行四边形，△GHC≌△ADE，将线段进行转化，判断哪条线段的和不随动点运动而改变.
6．（2025八下·长沙月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，两点的坐标分别为，，则菱形的面积为（ ）
A．24 B．48 C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵，两点的坐标分别为，
∴
∴
∵四边形是菱形
∴.
故选：B.
【分析】由题意，根据三角形的面积公式求出的面积，然后根据图形的构成“”即可求解．
7．（2025八下·惠州期中）如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，平行四边形是菱形
B．当时，平行四边形是矩形
C．当时，平行四边形是菱形
D．当且时，平行四边形是正方形
【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】A．当时，无法确定平行四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意；
B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意．
故答案为A．
【分析】本题考查平行四边形的性质及矩形、菱形、正方形的判定定理。矩形的判定条件是“有一个角是直角的平行四边形”，故选项B正确；菱形的判定条件是“对角线互相垂直的平行四边形”，故选项C正确；正方形的判定条件是“有一组邻边相等且对角线相等的平行四边形”，选项D中说明邻边相等，说明对角线相等，故是正方形，D正确；选项A中仅能说明对角线与边垂直，无法推出平行四边形的邻边相等，不满足菱形“邻边相等”的判定条件，因此不能确定是菱形，A不正确。
8．（2025八下·温江期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AC=BD C．AB=BC D．∠ABD=∠DBC
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD
∴平行四边形ABCD是矩形，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ABD=∠BDC
∵∠ABD=∠DBC
∴∠BDC=∠DBC
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定方法逐项判断即可.
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2024八下·左权期末）门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是 °．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
∴∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD=180°×4－（∠1+∠2+∠3+∠4）=420°，
∴∠D=180°×(5－2)－420°=120°.
【分析】根据多边形的内角与外角互补，以及题意求出 ∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD 的度数，再结合多边形的内角和公式，即可求出∠D的度数．
10．（多边形的对角线++++++++ ）过m边形的顶点能作7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，则（m﹣k）n= ．
【答案】125
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】：∵n边形从一个顶点发出的对角线有n﹣3条，
∴m=7+3=10，n=3，k=5，h=4；
∴（m﹣k）n=（10﹣5）3=125，
故答案为：125．
【分析】若过m边形的一个顶点有7条对角线，则m=10；n边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而n=3；k边形有k条对角线，即得到方程 k（k﹣3）=k，解得k=5；正h边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而h=4．代入解析式就可以求出代数式的值．
11．（2025八下·海宁月考）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点的坐标为 .
【答案】(3，6)，(-1，-2)，(7，2)
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：观察图象可知满足条件的点D的坐标为(3，6)，(-1，-2)，(7，2)，
故答案为：(3，6)，(-1，-2)，(7，2).
【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质即可得出答案.
12．（2025八下·成都期中）如图，△ABC中，∠A=45°，D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O，BD=CE，∠BOC=120°，若，CD=6，则BD= .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：点C作NF∥AB， 且CF= BE， 过点D作DN⊥FN于N，则∠DCN =∠A=45°，
∴DN=CN，由勾股定理得： ，
∵CF\|BE， CF=BE，
∴四边形BEFC为平行四边形，
∴BF = EC = BD，BF∥EC，
∴∠DBF=180°-∠BOC =180°-120°= 60°
∴△BDF为等边三角形，
∴BD=DF，
由勾股定理得：
故答案为：
【分析】过点C作NF∥AB，且CF= BE， 过点D作DN⊥FN于N，根据勾股定理求出DN、CN，进而求出FN，根据平行四边形的性质得到BF =EC =BD，BF∥EC，根据等边三角形的性质得到BD =DF，根据勾股定理求出DF，得到答案.
13．（2025八下·宁波期末） 如图，BD是菱形ABCD的对角线，于点E，交BD于点F，若，则=
【答案】110°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C=140°
∴∠ABC=180°-∠C=180°-140°=40°，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD平分∠ABC
∴，
∵AE⊥BC，
∴∠BEF=90°，
∵∠BFE+∠DBC+∠BEF=180°，
∴∠BFE=180°-∠BEF-∠DBC=70°，
∴∠BFA=180°-∠BFE=180°-70°=110°，
故答案为：110°.
【分析】首先利用菱形邻角互补求出∠ABC的度数，再根据菱形对角线平分一组对角得到∠DBC的度数，最后在△BEF中利用三角形内角和定理求出∠BFE，进而求出∠BFA.
14．（2025八下·绵阳期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点，，则BD的长为 ．
【答案】8
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
，
，
，
.
故答案为：8.
【分析】利用矩形的性质可得OB=OA，再通过等边三角形的性质可得OB=AB，进而求得AB的长度.
15．（2025八下·开福期末） 如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，则的长为 ．
【答案】16
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中， M、N分别为BC、OC的中点，
故答案为： 16.
【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质 进行求解问题.
16．（2017八下·东营期末）若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是 ．
【答案】
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，
所以这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率= ．
故答案为： ．
【分析】根据中心对称图形的定义得到平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，于是利用概率公式可计算出抽到的图形属于中心对称图形的概率．
三、解答题（共12题，共68分）
17．（2024八下·浙江月考） 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）画以点O为对称中心，为顶点的；
（2）的周长为 ．
【答案】（1）解：如图，
（2）
【知识点】勾股定理；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解(1)
（2）∵AB=CD=；
AD=BC=；
∴周长为AB+BC+CD+AD=；
故答案为：.
【分析】（1）找到A关于O对称的点C、B关于O对称的点D，顺次连结A、B、C、D，平行四边形ABCD即为所求；
（2）利用勾股定理求出四边长，加起来即可.
18．（2025八下·娄底期中）一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为．
（1）求这个n边形一个内角的度数．
（2）求这个n边形的内角和．
【答案】（1）解：设这个n边形的每个内角度数为7x，则与它的相邻的外角的度数为，根据题意，得
.
解得：，
，，
故这个n边形一个内角的度数为.
（2）由（1）得，这个n边形一个内角的度数为，
∴140°·n=180°·(n－2).
解得：n=9
∴这个n边形的内角和为140°×9=1260°．
【知识点】一元一次方程的其他应用；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）设这个n边形的每个内角度数为7x，则与它的相邻的外角的度数为，根据多边形的内角和外角的关系列出方程，求解即可得出一个内角和一个外角的度数；
（2）根据n边形的内角和公式，得到关于n的方程并求解，再代入公式求解即可．
（1）解：设这个n边形一个内角的度数为，则它的相邻外角的度数为，
根据题意，得
解得：，
，，
故这个n边形一个内角的度数为；
（2）根据（1）得这个n边形一个外角的度数为，
，
这个n边形的内角和为．
19．（2025八下·临海月考） 小吴和小李一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，以AB、BC为边作.
小吴：如图2，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
小李：如图3，分别以点A、点C为圆心，相同长度（大于AC）为半径作弧，两弧分别相交于点M、N，连接MN交AC于点O，作射线BO，并截取，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
（1） 填空：判断他们的作图方法是否正确.（填“正确”或“错误”）
① 小吴的作法 ；② 小李的作法 .
（2） 从(1)中任选一项判断，说明理由.（要求：写出推理过程）
【答案】（1）正确；正确
（2）解：选择①，∵， ，
∴ABCD为平行四边.
选择②，∵， ，
∴ABCD为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）小吴的方法可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判断；小李的方法可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判断；
（2）若选小吴的方法，就证明两组对边相等；若选小李的方法，就证明对角线互相平分.
20．（2025八下·龙泉期中）小华与小红一起研究一个尺规作图问题：
如图1，已知E是边BC上一点（不包含B，C），连结AE，用尺规作，其中是边AD上一点。
小红：如图2，以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小华：以点为圆心，AE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小红：小华，你的作法有问题。
小华：哦．．．．．．我明白了！
（1）根据小红的作法，证明：。
（2）指出小华作法中存在的问题。
【答案】（1）在中，，
，
，
四边形AECF为平行四边形，
。
（2）原因：以为圆心，AE长为半径作弧，与BC可能有两个交点，如图所示：
故小华的作法存在问题。
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD//BC，即CE//AF，进而可得四边形AECF为平行四边形，再根据平行四边形的性质可得CF//AE.
(2)若以点C为圆心，AB长为半径作弧，与AD可能有两个交点，即可得出答案.
21．（2025八下·东莞期中）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）求秋千的长度．
（2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m．
【答案】（1）解：由题意得，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
则．
设秋千的长度为，则．
在，由勾股定理得，
即，
解得．
∴秋千的长度为5m；
（2）3
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】（2）解：当时，，则，
得，
在中，根据勾股定理，得，
即，
解得．
∴将秋千往前推送3m．
故答案为：3．
【分析】（1）利用矩形的判定方法求出四边形是矩形，再求出CD的值，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）先求出AC=4m，再利用勾股定理求出，最后计算求解即可。
（1）解：由题意得，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，则．
设秋千的长度为，则．
在，根据勾股定理，得，
即，
解得．
所以秋千得长度为5m；
（2）解：当时，，则，得，
在中，根据勾股定理，得，
即，
解得．
所以将秋千往前推送3m．
故答案为：3．
22．（2025八下·宁波期中）如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，且，连接.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点，连接，若，，求的长.
【答案】（1）证明：菱形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是矩形；
（2）解：菱形，
，
，
在与中，
，
，
，
矩形，
，
，
，
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质得出OD⊥OC，进而利用平行四边形的判定和矩形的判定解答即可；
(2)根据菱形的性质得出OB=OD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可.
23．（2025八下·杭州月考）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形，
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 .
（2）如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，BD是对角线，点D在格点上.
（3）如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，AE=AF=CG且∠DGC=∠DEG，求证：四边形DEFG是垂等四边形.
【答案】（1）矩形（写一个即可）
（2）解：如图1中，四边形ABCD即为所求.
（3）证明：在正方形 ABCD 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形 DEFG 是垂等四边形
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：(1)∵矩形的邻边垂直且对角线相等，
∴矩形是垂等四边形，
故答案为：矩形.
【分析】(1)根据垂等四边形的定义判断即可；
(2)根据垂等四边形的定义画出图形即可；
(3)证明∠EFG=90°，EG=DF即可.
24．（2025八下·长兴期中）在Rt△ABC中，∠C =90°，E，F分别是边AB，AC的中点，延长BC到点D，使BC =2CD，连结EF，CE，DF.
（1）求证：四边形CDFE是平行四边形。
（2）连结DE，交AC于点O，若AB=BD =9，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，
，，
∵，∴
∴CD=EF，
∴四边形DCEF是平行四边形
（2）解：
在Rt中，，
在平行四边形DCEF中，，在Rt中，，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由中位线定理知EF平行BC且等于BC的一半，又CD等于BC的一半且在BC的延长线上，则EF与DC平行且相等，则四边形CDFE是平行四边形；
（2）由于DE是平行四边形CDFE的对角线，因此只需求出OD的长即可，此时利用DC与BC的数量关系可得DC的长，再由平行四边形的对角互相平分结合中点的概念可得OC是AC的四分之一，此时再利用勾股定理可求出AC的长，则OC可得，再在直角三角形OCD中应用勾股定理即可求得OD的长，则DE的长为OD的2倍.
25．（2025八下·椒江期末） 尺规作图问题：
如图1，在等腰三角形ABC中，，D，E分别是BC，AB的中点，在AC边上作一点F，使得四边形AEDF为菱形.
甲同学：如图2，以点A为圆心，AE长为半径画弧，交AC于点F，连接DF，则四边形AEDF为菱形.
乙同学：以点D为圆心，DE长为半径画弧，交AC于点F，连接DF，则四边形AEDF为菱形.
甲同学：你的作法有问题.
乙同学：哦…我明白了！
（1）证明：甲同学所作的四边形AEDF为菱形；
（2）请指出乙同学作法中存在的问题.
【答案】（1）证明：，D为BC中点，
，又为AB中点，
.
是的中位线，
.
由作图知：
.
四边形AEDF是平行四边形，
，
四边形AEDF是菱形.
（2）解：以D为圆心，DE为半径作弧，与AC可能会有两个交点，故存在问题.
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
(2)根据点F不唯一，判断出乙的方法有问题
26．（2024八下·朔州期中）山西某大学新建了一个校史馆，其中一个矩形展厅利用智能机器人担任讲解员，展厅已有一个矩形展柜（图中展柜1），计划新建矩形展柜2．李老师将展柜2的尺寸规划任务交给希望兴趣小组，小组的同学们把“校史馆展柜设计”的任务作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告，计算的长度．
课题 校史馆展柜设计
调查方式 走访调研、实地察看测量
测量过程及计算 调研内容及图示
相关数据及说明 机器人从出口正中心（即的中点）通过时，机器人的边缘距离点H和点E的安全距离都为
计算结果 ……
【答案】解：如图，延长交于点P，连接．
四边形与四边形为矩形，
．
，
四边形为矩形，
，，，
．
由题意知，．
在中，．
四边形为矩形，
，
，
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；矩形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】延长交于点P，连接．可推出四边形为矩形；在中，求出，再根据矩形的性质利用线段的和差运算，即可求解.
27．有两块腰长为 20cm 的等腰直角三角形白铁皮ABC.
（1）按图①裁出一块正方形 DEFG，四个顶点都在△ABC的边上，求裁出的正方形DEFG的边长.
（2）按图②裁出面积总和为125 cm2 的两块矩形铁皮，裁剪过程如下：
步骤1：在等腰直角三角形白铁皮 ABC上裁下一块长宽不等的矩形CDEF，矩形的四个顶点都在△ABC 的边上，留下两块等腰直角三角形零料，分别记为△AEF，△BDE.
步骤2：取其中一块零料△BDE，从零料上裁下一块正方形GHMN，正方形的四个顶点都在零料边上.
求裁下的正方形GHMN 的边长.
【答案】（1）解：设正方形DEFG的边长为x cm.
在正方形DEFG中，DE=EF=FG=DG=x cm，∠DEF=∠EFG=∠FGD=∠GDE=90°，
∴∠AGD=∠BFE=90°.
∵等腰直角三角形ABC的腰长为20 cm，
∴AC=BC=20 cm，∠A=∠B=45°，
∴在△ADG和△BEF中，∠ADG=45°=∠A，∠BEF=45°=∠B，
∴△ADG和△BEF均是等腰直角三角形，
∴AG=DG=x cm，BF=EF=x cm，
∴AB=3x cm.
在等腰直角三角形ABC中，由勾股定理，得
AC2+BC2=AB2，
∴AC=AB= cm，
∴=20，
解得x=，
即正方形DEFG的边长为 cm
（2）解：设正方形GHMN的边长为y cm.
在等腰直角三角形BDE中，
由(1)的求解过程可知BD=DE=y cm.
∵在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=20 cm，
∴CD=BC-BD=(20-y)cm，
∴矩形CDEF的面积为CD·DE=(20-y)×y=(30y-y2)cm2.
∵矩形CDEF和正方形GHMN的面积总和为125 cm2，正方形GHMN的面积为y2 cm2，
∴(30y-y2)+y2=125，
整理，得7y2-60y+250=0，
解得y1=5，y2=，
即正方形GHMN的边长为5 cm或 cm
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】(1)设正方形的边长为 xcm，根据等腰直角三角形的性质表示出相关线段长，再由等腰直角三角形ABC的性质及腰长为20cm列方程求解即可得到答案；
(2)设正方形GHMN边长为ycm，在等腰直角三角形BDE中，由(1)的求解过程可知BD 在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=20cm，从而求出 表示出矩形CDEF的面积和正方形GHMN的面积，由按图2裁出面积总和为 得到 配方后直接开平方即可得到.
28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连结AE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）E是线段CD的 ，点A 与点F关于点 成中心对称；
（2）若AB=AD+BC ，求证：△ABF是等腰三角形；
（3）四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积
【答案】（1）中点；E
（2）证明：∵由（1）可知E是线段CD的中点，DE=EC．
∵AD∥BC，
∴∠D= ∠ DCF．
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(ASA) ，
∴AD= FC．
∵AB=AD+BC，
∴AB= BC+CF=BF，
∴△ABF是等腰三角形．
（3）解：∵△ADE≌△FCE，
∴S△ADE=S△FCE，
∵S四边形ABCD=S四边形ABCE+S△ADE，S△ABF=S四边形ABCE+S△CEF，
∴S△ABF=S四边形ABCD．
∵S四边形ABCD=12，
∴S△ABF=12．
【知识点】等腰三角形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（1）∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段CD的中点，DE=EC，
∵AD∥BC，
∴∠D= ∠ DCF．
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(ASA) ，
∴AE=EF，
∴点A与点F关于点E成中心对称；
故答案为：中点；E；
【分析】（1）利用中心对称的定义回答第一空；用ASA证出△ADE≌△FCE，得到AE=EF，即可得出点A与点F关于点E成中心对称；
（2）用ASA证出△ADE≌△FCE，得到AD=FC，进而结合AB=AD+BC、线段的和差及等量替换可推出AB=BF，从而根据等腰三角形的判定得出结论；
（3）由全等三角形的面积相等得S△ADE=S△FCE，再由S四边形ABCD=S四边形ABCE+S△ADE，S△ABF=S四边形ABCE+S△CEF，可推出S△ABF=S四边形ABCD，从而即可得出答案.
1 / 1【提升版】北京版数学八（下）第十五章 四边形 单元检测
一、选择题（每题2分，共16分）
1．已知一个多边形有两条对角线， 则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
2．当一个多边形的边数增加时，它的内角和与外角和的变化情况分别是（ ）
A．增大，增大 B．增大，不变 C．不变，增大 D．不变，不变
3．（2024八下·柳江期中）如图，小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
4． 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，下列条件中，不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是 （ ）
A．OB=OD，OA=OC B．AD∥BC，AB=CD
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AB=CD
5．（2025八下·东阳期末） 如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝4，AC＝2BC，点D，F是AB边上的动点，且AD＝BF，过点D，F作BC的平行线交AC于点E，G．下列两条线段的和，不随D，F的运动而改变的是（ ）
A．AD+DF B．DE+FG
C．A D．+DE D．DF+FG
6．（2025八下·长沙月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，两点的坐标分别为，，则菱形的面积为（ ）
A．24 B．48 C． D．
7．（2025八下·惠州期中）如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，平行四边形是菱形
B．当时，平行四边形是矩形
C．当时，平行四边形是菱形
D．当且时，平行四边形是正方形
8．（2025八下·温江期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AC=BD C．AB=BC D．∠ABD=∠DBC
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2024八下·左权期末）门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是 °．
10．（多边形的对角线++++++++ ）过m边形的顶点能作7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，则（m﹣k）n= ．
11．（2025八下·海宁月考）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点的坐标为 .
12．（2025八下·成都期中）如图，△ABC中，∠A=45°，D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O，BD=CE，∠BOC=120°，若，CD=6，则BD= .
13．（2025八下·宁波期末） 如图，BD是菱形ABCD的对角线，于点E，交BD于点F，若，则=
14．（2025八下·绵阳期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点，，则BD的长为 ．
15．（2025八下·开福期末） 如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，则的长为 ．
16．（2017八下·东营期末）若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是 ．
三、解答题（共12题，共68分）
17．（2024八下·浙江月考） 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）画以点O为对称中心，为顶点的；
（2）的周长为 ．
18．（2025八下·娄底期中）一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为．
（1）求这个n边形一个内角的度数．
（2）求这个n边形的内角和．
19．（2025八下·临海月考） 小吴和小李一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，以AB、BC为边作.
小吴：如图2，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
小李：如图3，分别以点A、点C为圆心，相同长度（大于AC）为半径作弧，两弧分别相交于点M、N，连接MN交AC于点O，作射线BO，并截取，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
（1） 填空：判断他们的作图方法是否正确.（填“正确”或“错误”）
① 小吴的作法 ；② 小李的作法 .
（2） 从(1)中任选一项判断，说明理由.（要求：写出推理过程）
20．（2025八下·龙泉期中）小华与小红一起研究一个尺规作图问题：
如图1，已知E是边BC上一点（不包含B，C），连结AE，用尺规作，其中是边AD上一点。
小红：如图2，以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小华：以点为圆心，AE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小红：小华，你的作法有问题。
小华：哦．．．．．．我明白了！
（1）根据小红的作法，证明：。
（2）指出小华作法中存在的问题。
21．（2025八下·东莞期中）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）求秋千的长度．
（2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m．
22．（2025八下·宁波期中）如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，且，连接.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点，连接，若，，求的长.
23．（2025八下·杭州月考）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形，
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 .
（2）如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，BD是对角线，点D在格点上.
（3）如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，AE=AF=CG且∠DGC=∠DEG，求证：四边形DEFG是垂等四边形.
24．（2025八下·长兴期中）在Rt△ABC中，∠C =90°，E，F分别是边AB，AC的中点，延长BC到点D，使BC =2CD，连结EF，CE，DF.
（1）求证：四边形CDFE是平行四边形。
（2）连结DE，交AC于点O，若AB=BD =9，求DE的长.
25．（2025八下·椒江期末） 尺规作图问题：
如图1，在等腰三角形ABC中，，D，E分别是BC，AB的中点，在AC边上作一点F，使得四边形AEDF为菱形.
甲同学：如图2，以点A为圆心，AE长为半径画弧，交AC于点F，连接DF，则四边形AEDF为菱形.
乙同学：以点D为圆心，DE长为半径画弧，交AC于点F，连接DF，则四边形AEDF为菱形.
甲同学：你的作法有问题.
乙同学：哦…我明白了！
（1）证明：甲同学所作的四边形AEDF为菱形；
（2）请指出乙同学作法中存在的问题.
26．（2024八下·朔州期中）山西某大学新建了一个校史馆，其中一个矩形展厅利用智能机器人担任讲解员，展厅已有一个矩形展柜（图中展柜1），计划新建矩形展柜2．李老师将展柜2的尺寸规划任务交给希望兴趣小组，小组的同学们把“校史馆展柜设计”的任务作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告，计算的长度．
课题 校史馆展柜设计
调查方式 走访调研、实地察看测量
测量过程及计算 调研内容及图示
相关数据及说明 机器人从出口正中心（即的中点）通过时，机器人的边缘距离点H和点E的安全距离都为
计算结果 ……
27．有两块腰长为 20cm 的等腰直角三角形白铁皮ABC.
（1）按图①裁出一块正方形 DEFG，四个顶点都在△ABC的边上，求裁出的正方形DEFG的边长.
（2）按图②裁出面积总和为125 cm2 的两块矩形铁皮，裁剪过程如下：
步骤1：在等腰直角三角形白铁皮 ABC上裁下一块长宽不等的矩形CDEF，矩形的四个顶点都在△ABC 的边上，留下两块等腰直角三角形零料，分别记为△AEF，△BDE.
步骤2：取其中一块零料△BDE，从零料上裁下一块正方形GHMN，正方形的四个顶点都在零料边上.
求裁下的正方形GHMN 的边长.
28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连结AE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）E是线段CD的 ，点A 与点F关于点 成中心对称；
（2）若AB=AD+BC ，求证：△ABF是等腰三角形；
（3）四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：多边形对角线条数公式，当N=2时，求得n=4.
故答案为：A.
【分析】本题要掌握多边形角线条数公式，如果知道多边形边数可求得对角线条数，反之如果知道对角线条数可求得多边形边数.
2．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵n边形的内角和为
∴内角和随着边数的增加而增大
∵n边形外角和为
∴外角和不随着边数的增加而变化
故答案为：B.
【分析】利用n边形内角和公式和外角和，得出结果。
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：要确定平行四边形，即确定四边形的四个顶点，
而③和④中有两个顶点，两边的延长线即可确定另外两个顶点，即确定该平行四边形.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的定义即可求得.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.因为OB=OD，OA=OC，所以四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；
B.由 不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故此选项符合题意；
C.因为 所以四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
D.因为 CD，AB=CD，所以四边形 ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过G作GH//AB交BC于H，
∵FG//BC，
∴四边形FBHG是平行四边形
∴BH=FG，CH=BF，
∵AD=BF，
∴GH=AD，
∵DE//BC，
∴∠C=∠AED，
∵GH//AB，
∴∠CGH=∠A，
∴△GHC≌△ADE(AAS)
∴HC=DE，
∴DE+FG=HC+BH=BC，
∵AC=2BC=4，
∴DE+FG=BC=2，
故B符合题意；
当F向上运动时，AD+DF变小，反之AD+DF变大，故A不符合题意；
当D向上运动时，AD+DE变小，反之AD+DE变大，故C不符合题意；
当D向上运动，F向下运动时，DF+FG变大，反之变小，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】过G作GH//AB交BC于H，证明四边形FBHG是平行四边形，△GHC≌△ADE，将线段进行转化，判断哪条线段的和不随动点运动而改变.
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵，两点的坐标分别为，
∴
∴
∵四边形是菱形
∴.
故选：B.
【分析】由题意，根据三角形的面积公式求出的面积，然后根据图形的构成“”即可求解．
7．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】A．当时，无法确定平行四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意；
B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意．
故答案为A．
【分析】本题考查平行四边形的性质及矩形、菱形、正方形的判定定理。矩形的判定条件是“有一个角是直角的平行四边形”，故选项B正确；菱形的判定条件是“对角线互相垂直的平行四边形”，故选项C正确；正方形的判定条件是“有一组邻边相等且对角线相等的平行四边形”，选项D中说明邻边相等，说明对角线相等，故是正方形，D正确；选项A中仅能说明对角线与边垂直，无法推出平行四边形的邻边相等，不满足菱形“邻边相等”的判定条件，因此不能确定是菱形，A不正确。
8．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD
∴平行四边形ABCD是矩形，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ABD=∠BDC
∵∠ABD=∠DBC
∴∠BDC=∠DBC
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定方法逐项判断即可.
9．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
∴∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD=180°×4－（∠1+∠2+∠3+∠4）=420°，
∴∠D=180°×(5－2)－420°=120°.
【分析】根据多边形的内角与外角互补，以及题意求出 ∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD 的度数，再结合多边形的内角和公式，即可求出∠D的度数．
10．【答案】125
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】：∵n边形从一个顶点发出的对角线有n﹣3条，
∴m=7+3=10，n=3，k=5，h=4；
∴（m﹣k）n=（10﹣5）3=125，
故答案为：125．
【分析】若过m边形的一个顶点有7条对角线，则m=10；n边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而n=3；k边形有k条对角线，即得到方程 k（k﹣3）=k，解得k=5；正h边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而h=4．代入解析式就可以求出代数式的值．
11．【答案】(3，6)，(-1，-2)，(7，2)
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：观察图象可知满足条件的点D的坐标为(3，6)，(-1，-2)，(7，2)，
故答案为：(3，6)，(-1，-2)，(7，2).
【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：点C作NF∥AB， 且CF= BE， 过点D作DN⊥FN于N，则∠DCN =∠A=45°，
∴DN=CN，由勾股定理得： ，
∵CF\|BE， CF=BE，
∴四边形BEFC为平行四边形，
∴BF = EC = BD，BF∥EC，
∴∠DBF=180°-∠BOC =180°-120°= 60°
∴△BDF为等边三角形，
∴BD=DF，
由勾股定理得：
故答案为：
【分析】过点C作NF∥AB，且CF= BE， 过点D作DN⊥FN于N，根据勾股定理求出DN、CN，进而求出FN，根据平行四边形的性质得到BF =EC =BD，BF∥EC，根据等边三角形的性质得到BD =DF，根据勾股定理求出DF，得到答案.
13．【答案】110°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C=140°
∴∠ABC=180°-∠C=180°-140°=40°，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD平分∠ABC
∴，
∵AE⊥BC，
∴∠BEF=90°，
∵∠BFE+∠DBC+∠BEF=180°，
∴∠BFE=180°-∠BEF-∠DBC=70°，
∴∠BFA=180°-∠BFE=180°-70°=110°，
故答案为：110°.
【分析】首先利用菱形邻角互补求出∠ABC的度数，再根据菱形对角线平分一组对角得到∠DBC的度数，最后在△BEF中利用三角形内角和定理求出∠BFE，进而求出∠BFA.
14．【答案】8
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
，
，
，
.
故答案为：8.
【分析】利用矩形的性质可得OB=OA，再通过等边三角形的性质可得OB=AB，进而求得AB的长度.
15．【答案】16
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中， M、N分别为BC、OC的中点，
故答案为： 16.
【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质 进行求解问题.
16．【答案】
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，
所以这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率= ．
故答案为： ．
【分析】根据中心对称图形的定义得到平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，于是利用概率公式可计算出抽到的图形属于中心对称图形的概率．
17．【答案】（1）解：如图，
（2）
【知识点】勾股定理；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解(1)
（2）∵AB=CD=；
AD=BC=；
∴周长为AB+BC+CD+AD=；
故答案为：.
【分析】（1）找到A关于O对称的点C、B关于O对称的点D，顺次连结A、B、C、D，平行四边形ABCD即为所求；
（2）利用勾股定理求出四边长，加起来即可.
18．【答案】（1）解：设这个n边形的每个内角度数为7x，则与它的相邻的外角的度数为，根据题意，得
.
解得：，
，，
故这个n边形一个内角的度数为.
（2）由（1）得，这个n边形一个内角的度数为，
∴140°·n=180°·(n－2).
解得：n=9
∴这个n边形的内角和为140°×9=1260°．
【知识点】一元一次方程的其他应用；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）设这个n边形的每个内角度数为7x，则与它的相邻的外角的度数为，根据多边形的内角和外角的关系列出方程，求解即可得出一个内角和一个外角的度数；
（2）根据n边形的内角和公式，得到关于n的方程并求解，再代入公式求解即可．
（1）解：设这个n边形一个内角的度数为，则它的相邻外角的度数为，
根据题意，得
解得：，
，，
故这个n边形一个内角的度数为；
（2）根据（1）得这个n边形一个外角的度数为，
，
这个n边形的内角和为．
19．【答案】（1）正确；正确
（2）解：选择①，∵， ，
∴ABCD为平行四边.
选择②，∵， ，
∴ABCD为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）小吴的方法可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判断；小李的方法可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判断；
（2）若选小吴的方法，就证明两组对边相等；若选小李的方法，就证明对角线互相平分.
20．【答案】（1）在中，，
，
，
四边形AECF为平行四边形，
。
（2）原因：以为圆心，AE长为半径作弧，与BC可能有两个交点，如图所示：
故小华的作法存在问题。
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD//BC，即CE//AF，进而可得四边形AECF为平行四边形，再根据平行四边形的性质可得CF//AE.
(2)若以点C为圆心，AB长为半径作弧，与AD可能有两个交点，即可得出答案.
21．【答案】（1）解：由题意得，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
则．
设秋千的长度为，则．
在，由勾股定理得，
即，
解得．
∴秋千的长度为5m；
（2）3
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】（2）解：当时，，则，
得，
在中，根据勾股定理，得，
即，
解得．
∴将秋千往前推送3m．
故答案为：3．
【分析】（1）利用矩形的判定方法求出四边形是矩形，再求出CD的值，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）先求出AC=4m，再利用勾股定理求出，最后计算求解即可。
（1）解：由题意得，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，则．
设秋千的长度为，则．
在，根据勾股定理，得，
即，
解得．
所以秋千得长度为5m；
（2）解：当时，，则，得，
在中，根据勾股定理，得，
即，
解得．
所以将秋千往前推送3m．
故答案为：3．
22．【答案】（1）证明：菱形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是矩形；
（2）解：菱形，
，
，
在与中，
，
，
，
矩形，
，
，
，
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质得出OD⊥OC，进而利用平行四边形的判定和矩形的判定解答即可；
(2)根据菱形的性质得出OB=OD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可.
23．【答案】（1）矩形（写一个即可）
（2）解：如图1中，四边形ABCD即为所求.
（3）证明：在正方形 ABCD 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形 DEFG 是垂等四边形
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：(1)∵矩形的邻边垂直且对角线相等，
∴矩形是垂等四边形，
故答案为：矩形.
【分析】(1)根据垂等四边形的定义判断即可；
(2)根据垂等四边形的定义画出图形即可；
(3)证明∠EFG=90°，EG=DF即可.
24．【答案】（1）证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，
，，
∵，∴
∴CD=EF，
∴四边形DCEF是平行四边形
（2）解：
在Rt中，，
在平行四边形DCEF中，，在Rt中，，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由中位线定理知EF平行BC且等于BC的一半，又CD等于BC的一半且在BC的延长线上，则EF与DC平行且相等，则四边形CDFE是平行四边形；
（2）由于DE是平行四边形CDFE的对角线，因此只需求出OD的长即可，此时利用DC与BC的数量关系可得DC的长，再由平行四边形的对角互相平分结合中点的概念可得OC是AC的四分之一，此时再利用勾股定理可求出AC的长，则OC可得，再在直角三角形OCD中应用勾股定理即可求得OD的长，则DE的长为OD的2倍.
25．【答案】（1）证明：，D为BC中点，
，又为AB中点，
.
是的中位线，
.
由作图知：
.
四边形AEDF是平行四边形，
，
四边形AEDF是菱形.
（2）解：以D为圆心，DE为半径作弧，与AC可能会有两个交点，故存在问题.
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
(2)根据点F不唯一，判断出乙的方法有问题
26．【答案】解：如图，延长交于点P，连接．
四边形与四边形为矩形，
．
，
四边形为矩形，
，，，
．
由题意知，．
在中，．
四边形为矩形，
，
，
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；矩形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】延长交于点P，连接．可推出四边形为矩形；在中，求出，再根据矩形的性质利用线段的和差运算，即可求解.
27．【答案】（1）解：设正方形DEFG的边长为x cm.
在正方形DEFG中，DE=EF=FG=DG=x cm，∠DEF=∠EFG=∠FGD=∠GDE=90°，
∴∠AGD=∠BFE=90°.
∵等腰直角三角形ABC的腰长为20 cm，
∴AC=BC=20 cm，∠A=∠B=45°，
∴在△ADG和△BEF中，∠ADG=45°=∠A，∠BEF=45°=∠B，
∴△ADG和△BEF均是等腰直角三角形，
∴AG=DG=x cm，BF=EF=x cm，
∴AB=3x cm.
在等腰直角三角形ABC中，由勾股定理，得
AC2+BC2=AB2，
∴AC=AB= cm，
∴=20，
解得x=，
即正方形DEFG的边长为 cm
（2）解：设正方形GHMN的边长为y cm.
在等腰直角三角形BDE中，
由(1)的求解过程可知BD=DE=y cm.
∵在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=20 cm，
∴CD=BC-BD=(20-y)cm，
∴矩形CDEF的面积为CD·DE=(20-y)×y=(30y-y2)cm2.
∵矩形CDEF和正方形GHMN的面积总和为125 cm2，正方形GHMN的面积为y2 cm2，
∴(30y-y2)+y2=125，
整理，得7y2-60y+250=0，
解得y1=5，y2=，
即正方形GHMN的边长为5 cm或 cm
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】(1)设正方形的边长为 xcm，根据等腰直角三角形的性质表示出相关线段长，再由等腰直角三角形ABC的性质及腰长为20cm列方程求解即可得到答案；
(2)设正方形GHMN边长为ycm，在等腰直角三角形BDE中，由(1)的求解过程可知BD 在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=20cm，从而求出 表示出矩形CDEF的面积和正方形GHMN的面积，由按图2裁出面积总和为 得到 配方后直接开平方即可得到.
28．【答案】（1）中点；E
（2）证明：∵由（1）可知E是线段CD的中点，DE=EC．
∵AD∥BC，
∴∠D= ∠ DCF．
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(ASA) ，
∴AD= FC．
∵AB=AD+BC，
∴AB= BC+CF=BF，
∴△ABF是等腰三角形．
（3）解：∵△ADE≌△FCE，
∴S△ADE=S△FCE，
∵S四边形ABCD=S四边形ABCE+S△ADE，S△ABF=S四边形ABCE+S△CEF，
∴S△ABF=S四边形ABCD．
∵S四边形ABCD=12，
∴S△ABF=12．
【知识点】等腰三角形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（1）∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段CD的中点，DE=EC，
∵AD∥BC，
∴∠D= ∠ DCF．
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(ASA) ，
∴AE=EF，
∴点A与点F关于点E成中心对称；
故答案为：中点；E；
【分析】（1）利用中心对称的定义回答第一空；用ASA证出△ADE≌△FCE，得到AE=EF，即可得出点A与点F关于点E成中心对称；
（2）用ASA证出△ADE≌△FCE，得到AD=FC，进而结合AB=AD+BC、线段的和差及等量替换可推出AB=BF，从而根据等腰三角形的判定得出结论；
（3）由全等三角形的面积相等得S△ADE=S△FCE，再由S四边形ABCD=S四边形ABCE+S△ADE，S△ABF=S四边形ABCE+S△CEF，可推出S△ABF=S四边形ABCD，从而即可得出答案.
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