【培优版】北京版数学八（下）第十五章 四边形 单元检测
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2024八下·琼海月考）下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·金华期末）中国古代建筑具有悠久的历史传统，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象.如下图是古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（ ）
A．1080° B．900° C．720° D．540°
3．（2025八下·诸暨期中）淇淇用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2023八下·嘉兴期末）一个多边形剪去一个角后得到一个新的多边形，则关于这两个多边形，下列量中一定没有发生变化的是（ ）
A．内角度数 B．内角和度数 C．对角线条数 D．外角和度数
5．（2024八下·惠城期中）下列命题中，其逆命题成立的有（ ）个．
①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④平行四边形的对角线互相平分
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知n边形的每个内角都相等，则使得n边形的每个内角的度数都是整数的n的值有（ ）
A．18个 B．20个 C．22个 D．无数个
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O，添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法中正确的有( )
①添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形；
②添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形；
③添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形；
④添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025八下·珠海期中）如图，菱形周长为16，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
二、填空题（每题2分，共16分）
9．若一个多边形的内角和为1260°，则这个多边形共有 条对角线.
10．（2025八下·临海月考） 如图，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DC，若DC恰好平分，，则DE的长为 .
11．（2025八下·惠州期中）如图，在矩形中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线交于点E，若，，对角线的长为 ．
12．（2025八下·珠海期中）如图，矩形的边，若将矩形变形为，并使得点A在水平方向移动的距离为1.5，则与的距离是 ．
13．（2025八下·惠州期中）如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长交于点，连结交于点下列结论：①②③是的中点④；其中正确的是 ．
14．（2025八下·启东月考）如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为 ．
15．（2025八下·永定期中）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，……，按此方式依次操作，则第2025个等边三角形的边长为 ．
16．（2022八下·胶州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是 ．
三、解答题（共12题，共68分）
17．（2025八下·柯桥月考）如图，在6×6网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．
线段AB的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
（1）如图1，画一个以AB为边的平行四边形．
（2）如图2，画一个以AB为边，且面积为12的平行四边形．
（3）如图3，画一个以AB为对角线，且面积为7的平行四边形．
18．（2023八下·青山湖期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
（1）通过计算判断△ABC的形状；
（2）在图中确定一个格点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为平行四边形，并求出 ABCD的面积．
19．（2024八下·通道期中）如果一个多边形的每个内角都相等，每个内角与每个外角的差是，求这个多边形的边数．
20．（初中数学北京课改版八年级下册15.2平行四边形和特殊的平行四边形 同步练习）如图，AB∥EF∥DC，AD∥GH∥BC，找出图中所有的平行四边形，并把它们表示出来.
21．（2025八下·龙泉期中）如图，E，F是的对角线AC上的两点，且。
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形。
（2）若，求四边形ABCD的面积。
22．（2025八下·宁波期中）如图，在边长为6的正方形中，，两点分别为线段，上的动点，且，求的最小值，并写出解答过程.
23．（2023八下·港南期中）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以作 条对角线；同样，经过B点可以作 条；经过C点可以作 条；经过D点可以作 条对角线.
通过以上分析和总结，图1共有 条对角线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 条对角线；
图3共有 条对角线；
（3）探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有 条对角线．(用含n的式子表示)
（4）特例验证：
十边形有 条对角线.
24．（2025八下·雨花月考）如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，线段与轴的夹角为，过点作轴的平行线交轴于点．点为轴正半轴上一点，点为直线上点右侧一动点，连接．设线段的长度为，线段的长度为．
（1）若，．
①求点的坐标；
②如图2，过点作于点，求的值．
（2）如图3，连接交于点．记，，，的面积分别为，，，且满足．
①判断四边形的形状并说明理由；
②若此时四边形的面积为，，且，求，的值．
25．（2025八下·罗定期中）在四边形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．点Q在的延长线上且．
（1）如图1，若四边形是正方形．
①求的度数；
②探究与的数量关系并说明理由．
（2）如图2，若四边形是菱形且．探究与的数量关系并说明理由．
26．（2025八下·广东期中）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、．
（1）当，时，
①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______；
②若，求此时的长；
（2）当，求的最小值．
27．（2025八下·义乌月考） 如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求的长．
28．（2025八下·潮南月考） 已知点 E，F，M，N 分别在矩形 ABCD 的边 DA，AB，BC，CD 上.
（1） 如图 1，若 EM 垂直平分 BD，求证：四边形 BMDE 是菱形；
（2） 如图 2，若 ，求证：；
（3） 如图 3，若四边形 EFMN 是平行四边形，，，求四边形 EFMN 周长的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故A不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故C不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故D项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故D不合题意，
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项进行分析即可．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】 解：∵正八边形的内角和为：
（8-2）×180°
=6×180°
=1080°，
∴正八边形的窗户它的内角和为1080°，
故答案为：A．
【分析】根据多边形的内角和公式，求出正八边形的内角和即可。
3．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正六边形每一个内角为120°
∴∠ACB=120°-80°=40°
∴∠CAB=180°-120°=60°
∴图3中正多边形的每一个内角为60°+80°=140°，
∴
故答案为：C.
【分析】利用正多边形的内角和外角性质，通过计算三角形的内角来推导出正多边形的内角，进而求解正多边形的边数.
4．【答案】D
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：n边形的外角和为360°，为一个定值，故外角和度数不变.
故答案为：D.
【分析】根据外角和定理可得：多边形的外角和为360°，据此判断.
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质；有理数的乘方法则；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②如果两个角是直角，那么它们相等逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等逆命题是如果两个实数的平方相等，那么它们相等，是假命题；
④平行四边形的对角线互相平分逆命题是对角线平分的四边形是平行四边形，是真命题；
故选：B．
【分析】
根据逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，把所给命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正n边形的每个内角为180°-，且是整数度，n≥3，
又∵360=23×32×5，
∴n=3，4，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45，60，72，90，120，180，360共22个.
故答案为：C.
【分析】每个内角=180°-相邻外角=180°-，求出其是整数度且n≥3的整数n值即可.
7．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解： ∵AB=AD， BC=DC，
∴AC垂直平分BD，
当添加：“AB∥CD”， 则∠ABD =∠BDC，
∵∠BDC=∠DBC，
∴∠ABO=∠CBO，
又∵BO=BO， ∠BOA =∠BOC，
∴△ABO≌△CBO(ASA)，
∴BA=BC，
∴AB= BC =CD = DA，
∴四边形ABCD是菱形，故①符合题意；
当添加“∠BAD=90°”， 无法证明四边形ABCD是矩形，故②符合题意；
当添加条件“OA=OC"时，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故③符合题意；
当添加条件“∠ABC =∠BCD =90°”时，则∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，
由证选项A可知四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，故④符合题意；
故选： C.
【分析】根据AB=AD， BC = DC， 可以得到AC垂直平分BD，然后再根据各个选项中的条件，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接交于点O，连接，，
∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵菱形周长为16，
∴，
∴是等边三角形，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．的最小值为．
故答案为：D．
【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形及矩形的判定与性质，解题需逐步推导图形关系。菱形的对角线互相垂直且平分，因此，，；由，，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形；又因为，即，有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形是矩形；矩形的对边相等，所以，在中，根据勾股定理，故。
9．【答案】27
【知识点】多边形的对角线；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n.
由题意，得(n-2)×180°=1260°，
解得n=9，
∴这个多边形共有=27(条)对角线.
故答案为：27.
【分析】先根据多边形内角和公式求出多边形的边数，再根据对角线条数公式计算结果.
10．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，分别是边，的中点，
∴是的中位线.
∴，且.
∴.
又∵恰好平分 ，
∴.
∴.
∴为等腰三角形，且.
∴.
故答案为：3.
【分析】利用三角形中位线的性质得到，然后结合角平分的条件证明是等腰三角形，从而得知BC长，计算出DE长.
11．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法得垂直平分，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，．
故答案为：．
【分析】本题考查基本作图（作垂直平分线）、矩形的性质及勾股定理的应用。根据作图步骤，直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因此。已知，在中，利用勾股定理，可计算出。矩形中，且，在中，再次应用勾股定理，代入、，得到。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】如图，延长交于，则
将矩形变形为，
，
，
，
与的距离为
故答案为：
【分析】本题考查矩形和平行四边形的性质、勾股定理，先根据图形变形的性质得到，且，构造，其中直角边，斜边，再利用勾股定理求出另一条直角边的长度，该长度即为与的距离。
13．【答案】①②③④
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在矩形中，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，故①正确，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
，，
，
，
，，
，
，
，
又，，
在和中，
，
，
，，
点是的中点，故③正确；
，，
，
，所以④正确；
故答案为：①②③④．
【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质。①由平分，矩形中，得，是等腰直角三角形，故，又，因此，①正确；②通过证明，得，，计算，，故，②正确；③通过证明，得，即是中点，③正确；④由，，得，，④正确。
14．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，作OK⊥BC，垂足为点K，
∵正方形边长为4，
∴OK=2，KC=2，
∴KC=CE，
∴CH是△OKE的中位线
∴，
作GM⊥CD，垂足为点M，
∵G点为EF中点，
∴GM是△FCE的中位线，
∴，，
∴，
在Rt△MHG中，，
故答案为：．
【分析】作OK⊥BC，垂足为点K，根据正方形性质可得OK=2，KC=2，则KC=CE，再根据三角形中位线定理可得，作GM⊥CD，垂足为点M，再根据三角形中位线定理可得，，再根据边之间的关系可得MH，再根据勾股定理即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定与性质；用代数式表示几何图形的数量关系；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：如图，连接，延长与第1个等边三角形的边相交于点，
是正六边形，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
四边形为平行四边形，
，
分别为的中点，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
第2个等边三角形的边长是第1个等边三角形的边长的，
同理下一个等边三角形的边长是前一个的等边三角形的边长的，
第个等边三角形的边长为，
所以，第2025等边三角形的边长为：．
故答案为：．
【分析】根据等边三角形的性质、正六边形的性质、平行四边形的判定和性质，先找到相邻两个等边三角形边长之间的关系，即可按此规律写出第2025个等边三角形的边长.
16．【答案】
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，点M1与点O关于点A成中心对称，点的坐标为（1，1），
点的坐标为（2，2），
点与点M1关于点B成中心对称，点的坐标为（3，0），
点的坐标为（4，-2），
点与点M2关于点C成中心对称，点C的坐标为（2，-1），
点的坐标为（0，0），
点又回到了原点，
∴按照此规律跳跃，每三个点循环一次，
，
∴点正好在原点，
∴点的坐标为（0，0）．
故答案为：（0，0）．
【分析】根据中心对称的性质分别求出M1、M2、M3的坐标，可知按照此规律跳跃，每三个点循环一次，由于，可知点M2022刚好和M3的坐标一致，即得结论；
17．【答案】（1）解：如图
（2）解：如图
（3）解：如图
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】(1)以AB为边作一个底为3，高为3的平行四边形即可；
(2)以AB为边作一个底为4，高为3的平行四边形即可；
(3)利用平行四边形的对角线性质和面积公式，再网格中选择合适的点构造满足条件的平行四边形.
18．【答案】解：（1）由题意可得，AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5，
∵()2＋(2)2＝25＝52，即AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，直线AD和CD的交点就是D的位置，格点D的位置如图，
∴平行四边形ABCD的面积为：AB×AC＝×2＝10．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）在Rt△AEB中根据勾股定理求出AB的长，同理，根据勾股定理求出BC、AC的长，可发现AB、BC、AC间的数量关系满足AB2＋AC2＝BC2，利用勾股定理的逆定理即可判断△ABC为直角三角形；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，直线AD和CD的交点就是D的位置．根据平行四边形ABCD的面积为△ABC面积的2倍即可得出平行四边形的面积．
19．【答案】解：设每一个外角为，则每一个内角为，
根据题意，得，
解得．
∴．
∴这个多边形的边数为8．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】设每一个外角为，用x可表示出每一个内角，根据一个外角与和它相邻的内角互补，列出关于x的方程求解，求出多边形的边数．
20．【答案】解：∵AB∥EF∥DC，AD∥GH∥BC，
∴DE∥HO∥CF，AE∥GO∥BF，DH∥EO∥AG，HC∥FO∥BG，
∴四边形EOHD，四边形OFCH，四边形AGOE，四边形GBFO，四边形EFCD，四边形ABFE，四边形AGHD，四边形GBCH，四边形ABCD都是平行四边形.
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得到图中所有的平行四边形.
21．【答案】（1）解：四边形ABCD是平行四边形，
，
在和中，
四边形AFCE是平行四边形（证明方法不唯一）
（2）四边形AFCE是平行四边形，，
，
在中，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC求得∠ADE=∠CBF，根据全等三角形的性质得到AE=CF，∠AED=∠CFB，求得∠AEF=∠CFE，根据平行四边形的判定定理得到结论；
(2)根据平行四边形的性质得到AE=4，根据勾股定理得到BE=6，根据平行四边形的面积公式即可得到结论.
22．【答案】解：如图，建立直角坐标系，分别取OA，AN中点E、F，连接EF，以CM为边构造△CMP≌△AFE连接OP，OC，
∴，则，
当点O、M、P在同一直线上时OM+MP值最小，
∴OM+MP最小值为OP，
∵四边形AOBC为正方形，
∴∠EAF=∠MCP=∠OCB=45°，且AE=CP=3，
∴∠OCP=90°，
在Rt△OBC中，，
在Rt△OCP中，，
则的最小值为9.
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】分别取OA，AN中点E、F，连接EF，以CM为边构造△CMP≌△AFE，连接OP，OC，推出当点O、M、P在同一直线上时OM+MP值最小，求出OP即可.
23．【答案】（1）1；1；1；1；2
（2）5；9
（3）
（4）35
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：（1）通过画图可知（如下图），经过A点可以作1条对角线；经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线.通过以上分析和总结，图1共有2条对角线.
故答案为：1；1；1；1；2.
（2）运用（1）的分析方法，如下图所示，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线.
故答案为：5；9.
（3）对于n边形（n＞3），从每个点出发可以引出（n-3）条对角线，共有n（n-3）条对角线，除去两两之间重复的对角线，所以需要除以2，因此共有条对角线.
故答案为：.
（4）十边形，n=10，代入计算，得十边形有35条对角线.
故答案为：35.
【分析】（1）根据要求画出对角线，即可得出答案；
（2）根据要求画出对角线，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）的分析探索，可得出规律；
（4）根据对角线数量的公式，将n=10代入计算即可.
24．【答案】（1）解：①由题意得：轴，，
∵轴轴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵点为第一象限内一点，
∴点的坐标为．
②∵轴，，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∵，，
∴，
∴
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，，
∴，
设，
∴，
∵轴，
∴点到的距离等于点到的距离，均等于，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
联立，
解得，，，
∴的边上的高为，
的边上的高为，
又∵的边上的高与的边上的高之和等于，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
②∵平行四边形的面积为，
∴，
由上已得：，
∴，即，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即，
整理得：，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，即，
解得：，
∴的值为，的值为
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的实际应用；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据直角三角形的性质"30度角所对的直角边等于斜边的一半"可得，在中，用勾股定理求得OE的值，然后根据点A所在的象限即可求解；
②先根据平行线间的距离可得点到的距离等于点到的距离，然后用三角形的面积公式可求解；
（2）①根据直角三角形的性质"30度角所对的直角边等于斜边的一半"可将AE用含a的代数式表示出来，在Rt△AOE中，用勾股定理将OE用含a的代数式表示出来，设，根据三角形的面积公式可得，，，从而可得，，，然后根据的边上的高与的边上的高之和等于列等式，化简整理可得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可求解；
②根据平行四边形的性质可得，根据勾股定理可得，用完全平方公式求出和的值，从而可得和的值，然后解二元一次方程组即可求解．
（1）解：①由题意得：轴，，
∵轴轴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵点为第一象限内一点，
∴点的坐标为．
②∵轴，，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，，
∴，
设，
∴，
∵轴，
∴点到的距离等于点到的距离，均等于，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
联立，
解得，，，
∴的边上的高为，
的边上的高为，
又∵的边上的高与的边上的高之和等于，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
②∵平行四边形的面积为，
∴，
由上已得：，
∴，即，
在中，，，，
由勾股定理得：，即，
整理得：，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，即，
解得，
所以的值为，的值为．
25．【答案】（1）解：①如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，理由如下：
如图2，在上取一点N，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图3，过点D作于E，连接，
∴，，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，
由（1）同理得：，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）①根据正方形性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）在上取一点N，使，连接，根据正方形性质可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）过点D作于E，连接，根据菱形性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，由（1）同理得：，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：①如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，理由如下：
如图2，在上取一点N，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图3，过点D作于E，连接，
∴，，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，
由（1）同理得：，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
26．【答案】（1）解：①如图，
；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】（1）①根据三角形中位线定理可得，再根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
②根据勾股定理，结合边之间的关系可得，根据正方形性质可得，，再代入等式即可求出答案.
（2）分别取、、、的中点、、、，连接，根据三角形中位线定理可得，根据边之间的关系可得，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，则，根据直线平行性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
27．【答案】（1）证明：∵在矩形中，
∴DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，
∵ 点是对角线的中点 ，
∴OD=OB，
在△OFD和△OEB中，∠FDO=∠EBO，∠DOF=∠BOE，OD=OB，
∴△OFD≌△OEB（ASA）
∴DF=BE，
∴ 四边形是平行四边形 。
（2）解：∵， ，
∴BD=，OD=5，
∵四边形是平行四边形，且 ，
∴四边形是菱形，且EF垂直平分BD，
设AE=a，则BE=DE=8-a，
在Rt△AED中，，即
解得a=1.75，即AE=1.75，DE=BE=6.25，
S菱形 DEBF=S△DEF，即，
∴，
解得 =。
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】本题主要考查矩形的性质、平行的性质、全等三角形的判断及性质、平行四边形的判定、勾股定理、菱形的判定和性质、菱形的面积和三角形面积等相关知识。
（1）通过矩形的性质，可以首先得到DF∥BE，然后根据“两直线平行、内错角相等”得出∠FDO=∠EBO，接着利用ASA证明出△OFD≌△OEB，得出DF=BE，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出证明结果；
（2）首先根据勾股定理求出BD的长度，即可得出OD的长度；然后根据“临边相等的平行四边形是菱形”得出四边形是菱形，并根据“菱形的对角线互相垂直平分”从而得出EF垂直平分BD；然后再次利用勾股定理求出AE、DE、BE的长度，利用面积相等列出等式，即可求出EF的长度。
28．【答案】（1）解： ∵EM垂直平分BD，
∴，，
又∵矩形ABCD中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形BMDE是平行四边形，
又∵，
四边形是菱形；
（2）解：如图，延长MN交AB，AD的延长线于P，G，过A作，使得，连接PQ，MO，
∵矩形ABCD，，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴Rt△QPM中，，
∴，
∵，
∴；
∴；
（3）解： 如图，延长 EN 交 BC 的延长线于 H，则，
又平行四边形 MNEF 中，，而，
，
，
，
如图，作点 F关于 BC的对称点F'，连接F'M，F'N，则，，即的最小值为F'N的长，
由勾股定理可得，，
的最小值为，
∴平行四边形 EFMN 周长的最小值为
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求出，， 再利用全等三角形的判定方法证明，最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意先求出，再利用勾股定理求出F'N的值，最后计算求解即可.
1 / 1【培优版】北京版数学八（下）第十五章 四边形 单元检测
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2024八下·琼海月考）下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故A不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故C不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故D项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故D不合题意，
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项进行分析即可．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（2024八下·金华期末）中国古代建筑具有悠久的历史传统，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象.如下图是古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（ ）
A．1080° B．900° C．720° D．540°
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】 解：∵正八边形的内角和为：
（8-2）×180°
=6×180°
=1080°，
∴正八边形的窗户它的内角和为1080°，
故答案为：A．
【分析】根据多边形的内角和公式，求出正八边形的内角和即可。
3．（2025八下·诸暨期中）淇淇用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正六边形每一个内角为120°
∴∠ACB=120°-80°=40°
∴∠CAB=180°-120°=60°
∴图3中正多边形的每一个内角为60°+80°=140°，
∴
故答案为：C.
【分析】利用正多边形的内角和外角性质，通过计算三角形的内角来推导出正多边形的内角，进而求解正多边形的边数.
4．（2023八下·嘉兴期末）一个多边形剪去一个角后得到一个新的多边形，则关于这两个多边形，下列量中一定没有发生变化的是（ ）
A．内角度数 B．内角和度数 C．对角线条数 D．外角和度数
【答案】D
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：n边形的外角和为360°，为一个定值，故外角和度数不变.
故答案为：D.
【分析】根据外角和定理可得：多边形的外角和为360°，据此判断.
5．（2024八下·惠城期中）下列命题中，其逆命题成立的有（ ）个．
①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④平行四边形的对角线互相平分
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质；有理数的乘方法则；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②如果两个角是直角，那么它们相等逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等逆命题是如果两个实数的平方相等，那么它们相等，是假命题；
④平行四边形的对角线互相平分逆命题是对角线平分的四边形是平行四边形，是真命题；
故选：B．
【分析】
根据逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，把所给命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，即可得出答案。
6．已知n边形的每个内角都相等，则使得n边形的每个内角的度数都是整数的n的值有（ ）
A．18个 B．20个 C．22个 D．无数个
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正n边形的每个内角为180°-，且是整数度，n≥3，
又∵360=23×32×5，
∴n=3，4，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45，60，72，90，120，180，360共22个.
故答案为：C.
【分析】每个内角=180°-相邻外角=180°-，求出其是整数度且n≥3的整数n值即可.
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O，添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法中正确的有( )
①添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形；
②添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形；
③添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形；
④添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解： ∵AB=AD， BC=DC，
∴AC垂直平分BD，
当添加：“AB∥CD”， 则∠ABD =∠BDC，
∵∠BDC=∠DBC，
∴∠ABO=∠CBO，
又∵BO=BO， ∠BOA =∠BOC，
∴△ABO≌△CBO(ASA)，
∴BA=BC，
∴AB= BC =CD = DA，
∴四边形ABCD是菱形，故①符合题意；
当添加“∠BAD=90°”， 无法证明四边形ABCD是矩形，故②符合题意；
当添加条件“OA=OC"时，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故③符合题意；
当添加条件“∠ABC =∠BCD =90°”时，则∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，
由证选项A可知四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，故④符合题意；
故选： C.
【分析】根据AB=AD， BC = DC， 可以得到AC垂直平分BD，然后再根据各个选项中的条件，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.
8．（2025八下·珠海期中）如图，菱形周长为16，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接交于点O，连接，，
∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵菱形周长为16，
∴，
∴是等边三角形，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．的最小值为．
故答案为：D．
【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形及矩形的判定与性质，解题需逐步推导图形关系。菱形的对角线互相垂直且平分，因此，，；由，，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形；又因为，即，有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形是矩形；矩形的对边相等，所以，在中，根据勾股定理，故。
二、填空题（每题2分，共16分）
9．若一个多边形的内角和为1260°，则这个多边形共有 条对角线.
【答案】27
【知识点】多边形的对角线；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n.
由题意，得(n-2)×180°=1260°，
解得n=9，
∴这个多边形共有=27(条)对角线.
故答案为：27.
【分析】先根据多边形内角和公式求出多边形的边数，再根据对角线条数公式计算结果.
10．（2025八下·临海月考） 如图，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DC，若DC恰好平分，，则DE的长为 .
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，分别是边，的中点，
∴是的中位线.
∴，且.
∴.
又∵恰好平分 ，
∴.
∴.
∴为等腰三角形，且.
∴.
故答案为：3.
【分析】利用三角形中位线的性质得到，然后结合角平分的条件证明是等腰三角形，从而得知BC长，计算出DE长.
11．（2025八下·惠州期中）如图，在矩形中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线交于点E，若，，对角线的长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法得垂直平分，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，．
故答案为：．
【分析】本题考查基本作图（作垂直平分线）、矩形的性质及勾股定理的应用。根据作图步骤，直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因此。已知，在中，利用勾股定理，可计算出。矩形中，且，在中，再次应用勾股定理，代入、，得到。
12．（2025八下·珠海期中）如图，矩形的边，若将矩形变形为，并使得点A在水平方向移动的距离为1.5，则与的距离是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】如图，延长交于，则
将矩形变形为，
，
，
，
与的距离为
故答案为：
【分析】本题考查矩形和平行四边形的性质、勾股定理，先根据图形变形的性质得到，且，构造，其中直角边，斜边，再利用勾股定理求出另一条直角边的长度，该长度即为与的距离。
13．（2025八下·惠州期中）如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长交于点，连结交于点下列结论：①②③是的中点④；其中正确的是 ．
【答案】①②③④
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在矩形中，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，故①正确，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
，，
，
，
，，
，
，
，
又，，
在和中，
，
，
，，
点是的中点，故③正确；
，，
，
，所以④正确；
故答案为：①②③④．
【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质。①由平分，矩形中，得，是等腰直角三角形，故，又，因此，①正确；②通过证明，得，，计算，，故，②正确；③通过证明，得，即是中点，③正确；④由，，得，，④正确。
14．（2025八下·启东月考）如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，作OK⊥BC，垂足为点K，
∵正方形边长为4，
∴OK=2，KC=2，
∴KC=CE，
∴CH是△OKE的中位线
∴，
作GM⊥CD，垂足为点M，
∵G点为EF中点，
∴GM是△FCE的中位线，
∴，，
∴，
在Rt△MHG中，，
故答案为：．
【分析】作OK⊥BC，垂足为点K，根据正方形性质可得OK=2，KC=2，则KC=CE，再根据三角形中位线定理可得，作GM⊥CD，垂足为点M，再根据三角形中位线定理可得，，再根据边之间的关系可得MH，再根据勾股定理即可求出答案.
15．（2025八下·永定期中）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，……，按此方式依次操作，则第2025个等边三角形的边长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定与性质；用代数式表示几何图形的数量关系；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：如图，连接，延长与第1个等边三角形的边相交于点，
是正六边形，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
四边形为平行四边形，
，
分别为的中点，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
第2个等边三角形的边长是第1个等边三角形的边长的，
同理下一个等边三角形的边长是前一个的等边三角形的边长的，
第个等边三角形的边长为，
所以，第2025等边三角形的边长为：．
故答案为：．
【分析】根据等边三角形的性质、正六边形的性质、平行四边形的判定和性质，先找到相邻两个等边三角形边长之间的关系，即可按此规律写出第2025个等边三角形的边长.
16．（2022八下·胶州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，点M1与点O关于点A成中心对称，点的坐标为（1，1），
点的坐标为（2，2），
点与点M1关于点B成中心对称，点的坐标为（3，0），
点的坐标为（4，-2），
点与点M2关于点C成中心对称，点C的坐标为（2，-1），
点的坐标为（0，0），
点又回到了原点，
∴按照此规律跳跃，每三个点循环一次，
，
∴点正好在原点，
∴点的坐标为（0，0）．
故答案为：（0，0）．
【分析】根据中心对称的性质分别求出M1、M2、M3的坐标，可知按照此规律跳跃，每三个点循环一次，由于，可知点M2022刚好和M3的坐标一致，即得结论；
三、解答题（共12题，共68分）
17．（2025八下·柯桥月考）如图，在6×6网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．
线段AB的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
（1）如图1，画一个以AB为边的平行四边形．
（2）如图2，画一个以AB为边，且面积为12的平行四边形．
（3）如图3，画一个以AB为对角线，且面积为7的平行四边形．
【答案】（1）解：如图
（2）解：如图
（3）解：如图
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】(1)以AB为边作一个底为3，高为3的平行四边形即可；
(2)以AB为边作一个底为4，高为3的平行四边形即可；
(3)利用平行四边形的对角线性质和面积公式，再网格中选择合适的点构造满足条件的平行四边形.
18．（2023八下·青山湖期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
（1）通过计算判断△ABC的形状；
（2）在图中确定一个格点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为平行四边形，并求出 ABCD的面积．
【答案】解：（1）由题意可得，AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5，
∵()2＋(2)2＝25＝52，即AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，直线AD和CD的交点就是D的位置，格点D的位置如图，
∴平行四边形ABCD的面积为：AB×AC＝×2＝10．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）在Rt△AEB中根据勾股定理求出AB的长，同理，根据勾股定理求出BC、AC的长，可发现AB、BC、AC间的数量关系满足AB2＋AC2＝BC2，利用勾股定理的逆定理即可判断△ABC为直角三角形；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，直线AD和CD的交点就是D的位置．根据平行四边形ABCD的面积为△ABC面积的2倍即可得出平行四边形的面积．
19．（2024八下·通道期中）如果一个多边形的每个内角都相等，每个内角与每个外角的差是，求这个多边形的边数．
【答案】解：设每一个外角为，则每一个内角为，
根据题意，得，
解得．
∴．
∴这个多边形的边数为8．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】设每一个外角为，用x可表示出每一个内角，根据一个外角与和它相邻的内角互补，列出关于x的方程求解，求出多边形的边数．
20．（初中数学北京课改版八年级下册15.2平行四边形和特殊的平行四边形 同步练习）如图，AB∥EF∥DC，AD∥GH∥BC，找出图中所有的平行四边形，并把它们表示出来.
【答案】解：∵AB∥EF∥DC，AD∥GH∥BC，
∴DE∥HO∥CF，AE∥GO∥BF，DH∥EO∥AG，HC∥FO∥BG，
∴四边形EOHD，四边形OFCH，四边形AGOE，四边形GBFO，四边形EFCD，四边形ABFE，四边形AGHD，四边形GBCH，四边形ABCD都是平行四边形.
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得到图中所有的平行四边形.
21．（2025八下·龙泉期中）如图，E，F是的对角线AC上的两点，且。
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形。
（2）若，求四边形ABCD的面积。
【答案】（1）解：四边形ABCD是平行四边形，
，
在和中，
四边形AFCE是平行四边形（证明方法不唯一）
（2）四边形AFCE是平行四边形，，
，
在中，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC求得∠ADE=∠CBF，根据全等三角形的性质得到AE=CF，∠AED=∠CFB，求得∠AEF=∠CFE，根据平行四边形的判定定理得到结论；
(2)根据平行四边形的性质得到AE=4，根据勾股定理得到BE=6，根据平行四边形的面积公式即可得到结论.
22．（2025八下·宁波期中）如图，在边长为6的正方形中，，两点分别为线段，上的动点，且，求的最小值，并写出解答过程.
【答案】解：如图，建立直角坐标系，分别取OA，AN中点E、F，连接EF，以CM为边构造△CMP≌△AFE连接OP，OC，
∴，则，
当点O、M、P在同一直线上时OM+MP值最小，
∴OM+MP最小值为OP，
∵四边形AOBC为正方形，
∴∠EAF=∠MCP=∠OCB=45°，且AE=CP=3，
∴∠OCP=90°，
在Rt△OBC中，，
在Rt△OCP中，，
则的最小值为9.
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】分别取OA，AN中点E、F，连接EF，以CM为边构造△CMP≌△AFE，连接OP，OC，推出当点O、M、P在同一直线上时OM+MP值最小，求出OP即可.
23．（2023八下·港南期中）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以作 条对角线；同样，经过B点可以作 条；经过C点可以作 条；经过D点可以作 条对角线.
通过以上分析和总结，图1共有 条对角线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 条对角线；
图3共有 条对角线；
（3）探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有 条对角线．(用含n的式子表示)
（4）特例验证：
十边形有 条对角线.
【答案】（1）1；1；1；1；2
（2）5；9
（3）
（4）35
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：（1）通过画图可知（如下图），经过A点可以作1条对角线；经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线.通过以上分析和总结，图1共有2条对角线.
故答案为：1；1；1；1；2.
（2）运用（1）的分析方法，如下图所示，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线.
故答案为：5；9.
（3）对于n边形（n＞3），从每个点出发可以引出（n-3）条对角线，共有n（n-3）条对角线，除去两两之间重复的对角线，所以需要除以2，因此共有条对角线.
故答案为：.
（4）十边形，n=10，代入计算，得十边形有35条对角线.
故答案为：35.
【分析】（1）根据要求画出对角线，即可得出答案；
（2）根据要求画出对角线，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）的分析探索，可得出规律；
（4）根据对角线数量的公式，将n=10代入计算即可.
24．（2025八下·雨花月考）如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，线段与轴的夹角为，过点作轴的平行线交轴于点．点为轴正半轴上一点，点为直线上点右侧一动点，连接．设线段的长度为，线段的长度为．
（1）若，．
①求点的坐标；
②如图2，过点作于点，求的值．
（2）如图3，连接交于点．记，，，的面积分别为，，，且满足．
①判断四边形的形状并说明理由；
②若此时四边形的面积为，，且，求，的值．
【答案】（1）解：①由题意得：轴，，
∵轴轴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵点为第一象限内一点，
∴点的坐标为．
②∵轴，，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∵，，
∴，
∴
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，，
∴，
设，
∴，
∵轴，
∴点到的距离等于点到的距离，均等于，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
联立，
解得，，，
∴的边上的高为，
的边上的高为，
又∵的边上的高与的边上的高之和等于，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
②∵平行四边形的面积为，
∴，
由上已得：，
∴，即，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即，
整理得：，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，即，
解得：，
∴的值为，的值为
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的实际应用；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据直角三角形的性质"30度角所对的直角边等于斜边的一半"可得，在中，用勾股定理求得OE的值，然后根据点A所在的象限即可求解；
②先根据平行线间的距离可得点到的距离等于点到的距离，然后用三角形的面积公式可求解；
（2）①根据直角三角形的性质"30度角所对的直角边等于斜边的一半"可将AE用含a的代数式表示出来，在Rt△AOE中，用勾股定理将OE用含a的代数式表示出来，设，根据三角形的面积公式可得，，，从而可得，，，然后根据的边上的高与的边上的高之和等于列等式，化简整理可得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可求解；
②根据平行四边形的性质可得，根据勾股定理可得，用完全平方公式求出和的值，从而可得和的值，然后解二元一次方程组即可求解．
（1）解：①由题意得：轴，，
∵轴轴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵点为第一象限内一点，
∴点的坐标为．
②∵轴，，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，，
∴，
设，
∴，
∵轴，
∴点到的距离等于点到的距离，均等于，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
联立，
解得，，，
∴的边上的高为，
的边上的高为，
又∵的边上的高与的边上的高之和等于，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
②∵平行四边形的面积为，
∴，
由上已得：，
∴，即，
在中，，，，
由勾股定理得：，即，
整理得：，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，即，
解得，
所以的值为，的值为．
25．（2025八下·罗定期中）在四边形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．点Q在的延长线上且．
（1）如图1，若四边形是正方形．
①求的度数；
②探究与的数量关系并说明理由．
（2）如图2，若四边形是菱形且．探究与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）解：①如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，理由如下：
如图2，在上取一点N，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图3，过点D作于E，连接，
∴，，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，
由（1）同理得：，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）①根据正方形性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）在上取一点N，使，连接，根据正方形性质可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）过点D作于E，连接，根据菱形性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，由（1）同理得：，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：①如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，理由如下：
如图2，在上取一点N，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图3，过点D作于E，连接，
∴，，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，
由（1）同理得：，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
26．（2025八下·广东期中）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、．
（1）当，时，
①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______；
②若，求此时的长；
（2）当，求的最小值．
【答案】（1）解：①如图，
；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】（1）①根据三角形中位线定理可得，再根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
②根据勾股定理，结合边之间的关系可得，根据正方形性质可得，，再代入等式即可求出答案.
（2）分别取、、、的中点、、、，连接，根据三角形中位线定理可得，根据边之间的关系可得，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，则，根据直线平行性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
27．（2025八下·义乌月考） 如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：∵在矩形中，
∴DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，
∵ 点是对角线的中点 ，
∴OD=OB，
在△OFD和△OEB中，∠FDO=∠EBO，∠DOF=∠BOE，OD=OB，
∴△OFD≌△OEB（ASA）
∴DF=BE，
∴ 四边形是平行四边形 。
（2）解：∵， ，
∴BD=，OD=5，
∵四边形是平行四边形，且 ，
∴四边形是菱形，且EF垂直平分BD，
设AE=a，则BE=DE=8-a，
在Rt△AED中，，即
解得a=1.75，即AE=1.75，DE=BE=6.25，
S菱形 DEBF=S△DEF，即，
∴，
解得 =。
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】本题主要考查矩形的性质、平行的性质、全等三角形的判断及性质、平行四边形的判定、勾股定理、菱形的判定和性质、菱形的面积和三角形面积等相关知识。
（1）通过矩形的性质，可以首先得到DF∥BE，然后根据“两直线平行、内错角相等”得出∠FDO=∠EBO，接着利用ASA证明出△OFD≌△OEB，得出DF=BE，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出证明结果；
（2）首先根据勾股定理求出BD的长度，即可得出OD的长度；然后根据“临边相等的平行四边形是菱形”得出四边形是菱形，并根据“菱形的对角线互相垂直平分”从而得出EF垂直平分BD；然后再次利用勾股定理求出AE、DE、BE的长度，利用面积相等列出等式，即可求出EF的长度。
28．（2025八下·潮南月考） 已知点 E，F，M，N 分别在矩形 ABCD 的边 DA，AB，BC，CD 上.
（1） 如图 1，若 EM 垂直平分 BD，求证：四边形 BMDE 是菱形；
（2） 如图 2，若 ，求证：；
（3） 如图 3，若四边形 EFMN 是平行四边形，，，求四边形 EFMN 周长的最小值.
【答案】（1）解： ∵EM垂直平分BD，
∴，，
又∵矩形ABCD中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形BMDE是平行四边形，
又∵，
四边形是菱形；
（2）解：如图，延长MN交AB，AD的延长线于P，G，过A作，使得，连接PQ，MO，
∵矩形ABCD，，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴Rt△QPM中，，
∴，
∵，
∴；
∴；
（3）解： 如图，延长 EN 交 BC 的延长线于 H，则，
又平行四边形 MNEF 中，，而，
，
，
，
如图，作点 F关于 BC的对称点F'，连接F'M，F'N，则，，即的最小值为F'N的长，
由勾股定理可得，，
的最小值为，
∴平行四边形 EFMN 周长的最小值为
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求出，， 再利用全等三角形的判定方法证明，最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意先求出，再利用勾股定理求出F'N的值，最后计算求解即可.
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