吉林长春市九台区第一中学2025-2026学年第二学期期初考试高一数学试卷（含解析）

九台一中 2025-2026 学年度第二学期期初考试 高一数学试卷
(时间:120 分钟 分数:150 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 下列说法中正确的是( )
A. 向量的模都是正实数
B. 单位向量都是相等向量
C. 向量的大小与方向无关
D. 方向不同的向量不能比较大小, 但同向的向量可以比较大小
2. 化简 的结果等于( )
A. B. C. D.
3. 使 “ ”成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. 或
C. D. 或
4. 已知 ,直线 和 是函数 图象的两条相邻的对称轴,则 ( )
A. B. C. D.
5. 在用 “二分法” 求函数 零点近似值时，第一次所取的区间是 ，则第三次所取的区间可能是( )
A. B.
C. D.
6. 设 ,则( )
A. B. C. D.
7. 已知 ,则 的大小关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
8. 函数 是定义域为 的奇函数,且对于任意的 ,都有 成立. 如果 ,则实数 的取值集合是( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得 3 分, 有选错的得 0 分.
9. 已知不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10. (多选)若函数 的图像经过第一、三、四象限,则下列选项中正确的有
A. B. C. D.
11. 已知函数 ,则下列命题正确的有( )
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 直线 是函数 图象的一条对称轴 D. 在区间 上单调递增
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 设集合 ，则 _____.
13. 的值为_____.
14. 对于函数 ,若在定义域内存在实数 满足 ,则称函数 为“倒戈函数”. 设 是定义在 上的“倒戈函数”,则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 6 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 计算:
(1)求值: ；
(2)解方程: .
16. 已知函数 为偶函数,且在 上为增函数.
(1)求 的值；
(2)在(1)的条件下，若 在 上为单调函数，求实数 的取值范围.
17. 已知 为偶函数,当 时, .
(1)求 的解析式;
( 2 )若对于任意的 ，关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围.
18. 已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求 的解析式；
(2)将 的图象先向右平移 个单位，再将图象上的所有点横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),所得到的图象对应的函数为 ,求 在 上的最大值与最小值.
19. 已知函数 为奇函数.
(1)求实数 的值；
( 2 )判断函数 的单调性，并用函数单调性的定义证明:
(3)若 ，求实数 的取值范围.
1. C
零向量的模为 0 , 故 A 不正确;
单位向量的方向可以是任意的，故 B 不正确；
向量的大小即为向量的模, 指的是有向线段的长度, 与方向无关, 故 C 正确;
不管向量的方向如何, 它们都不能比较大小, 故 D 不正确.
故选: C
2. B
.
故选:
3. C
各选项中,只有 为 的真子集,其余均不为真子集,
故“ ”是“ ”的一个充分不必要条件,
故选:C
4. A
解: 因为直线 和 是函数 图像的两条相邻的对称轴,
所以 ,即
所以 ,解得 ,
所以 ,
因为直线 为函数 图象的对称轴,
所以 ,得 ,
所以 ,
因为 ,所以
故选: A
5. D
第一次所取的区间是 第二次所取的区间可能为 第三次所取的区间可能为 .
6. C
,
又 在 上单调递增,且 ,
故选 C
7. A
因为 ,所以 ,解得 ,同理可得 ,
由 ,可得 ,又 ,可得 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 .
8. C
因为对于任意的 ,都有 ,
当 时, ,即 ;
当 时, ,即 ,
即 在定义域 上单调递减.
又 是定义域为 的奇函数,所以 ,
所以 ,则 ,即 ,
即 ,所以 ,
即不等式 的解集为 .
故选:C.
9. BD
由不等式 的解集为 ,
所以, ,故 错误;
方程 的两个根为 ,
,则 ,故 B 正确, 错误;
,故 D 正确.
10. AD
因为函数 的图像经过第一、三、四象限,所以其大致图像如图所示:
由图像可知函数为增函数,所以 . 当 时, ,
故选 AD.
11. BCD
由题意可得:
,
对于选项 ,因为 ,故 错误,
对于选项 ,函数最大值为 ,故 正确,
对于选项 ,函数 的对称轴为 ,当 时, , 故 C 正确,
对于选项 D,令 ,当 ,则: ,因为正弦函数在 上单调递增, 故 D 正确.
12.
因为 ,所以 ,
又因为 ,所以 .
13. 0
.
故答案为: 0
14.
: 是定义在 上的“倒戈函数,
存在 满足 ,
,
,
构造函数 ,
令 ,
,
,
故答案为: .
15.
(2)
(1)
(2)由 ，得 ，
解得 ,解得 ,解得 .
16.
(2)
(1)因为函数 在 上为增函数,则 ，
解得 ,所以 ,解得 ,
又 ,所以 或 ,
当 时, ,函数 为奇函数,不符合题意,舍去;
当 时, ,函数 为偶函数,符合题意;
综上所述: .
(2)由(1)知 ，所以 ，
又因为 在 上为单调函数,所以 或 ,
解得 或 ,所以实数 的取值范围为 .
17. (1) .
(1)设 ,则 ,
所以 ;
(2)当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，即 .
因为 ,所以 恒成立,
当 时, 最大值为 -4,所以 ,
所以 .
18.(1) (2)最小值与最大值分别为
解: (1) 观察图象, ,
(2)将 图象右平移 个单位，得到 的图象，
再将图象上的所有点横坐标变为原来的 倍得到 ,
当
在 上的最小值与最大值分别为
19.(1)函数 的定义域为 ,
又 为奇函数,所以 对 恒成立,
所以 对 恒成立,即 ,
所以 ,所以 ,
因为 ,所以 ;
(2)函数 在 上单调递增，理由如下:
由(1)可得 ,
,且 ,
则
因为 ,所以 ,所以 ,
又 ,所以 ,
即 ,所以 ,
所以函数 在 上单调递增.
(3)由 ，得 ，
由(2)知函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ,所以 ,解得 ,
所以实数 的取值范围 .