吉林通化市辉南县第六中学等校2026届高三下学期3月质量检测数学试题（含解析）

高三数学
考生注意:
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分. 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前, 考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3. 考生作答时, 请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4. 本卷命题范围: 高考范围.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数 ，则 ( )
A. B. C. 5 D.
2. 已知点 ， ， ，且 ，则点 的坐标为( )
A.
B. C. D.
3. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知圆台的上、下底面半径分别为 ,半径为 2 的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为 ，则圆台的表面积为( )
A. B. C. D.
6. 某款新能源汽车 2025 年的产量为 5000 辆, 从 2026 年开始每年不断扩大生产规模, 计划到 2030 年此款汽车年产量达到 10000 辆，那么 2025~2030 年的年平均增长率大约为()
A. 115% B. 15% C. 30% D. 60%
7. 在 中, 为边 上一点,且 平分 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ，若 ， ，使得 成立,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知圆 与圆 ,则下列说法正确的有( )
A. 若 ,则两圆外离
B. 若两圆相交,则
C. 若 ,则两圆的公共弦所在直线方程为
D. 若 ,则直线 为两圆的公切线
10. 如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形， 平面 分别是 的中点,则( )
A. 平面 B. 平面
C. 平面 平面 D. 平面 平面
11. 已知定义域为 的奇函数 满足 ,使得 , 为函数 的导函数且 的定义域为 ,则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知随机变量 ,且 ,那么 _____.
13. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 是 上一点,且 ， ，则 的离心率为_____.
14. 若 对 恒成立,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 指数是体重指数,当 时,体重正常,某健美机构随机抽取顾客的 BMI 数据进行统计,得到如下 列联表:
BMI 数据 合计
正常范围 不正常范围
男顾客 75 15 90
女顾客 30 20 50
合计 105 35 140
(1)依据小概率值 的独立性检验，能否推断出男、女顾客的 BMI 是否存在差异？
(2)该机构统计出上述男顾客平均体重为 ，女顾客的平均体重为 ，试估计该机构全体顾客的平均体重.
公式: ,其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
16. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
17. 如图,在正四棱柱 中, .
(1)求点 到直线 的距离；
(2)求二面角 的正弦值.
18. 已知 ,动点 满足 ,设 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)设直线 与曲线 有两个交点 ,求 的取值范围;
(3)设直线 与曲线 交于 两点，求证: 为定值.
19. 设函数 .
(1)若 ，求 的图象在 处的切线方程；
(2)若 在 上恒成立,求 的取值范围;
(3)当 时，若 满足 ，求证: .
1. D
,所以
2. D
因为点 ,则 , 可得 ,所以点 的坐标为 .
3. A
由题意得 ,
所以 ,
所以 .
4. D
因为 ,所以 ,
则 ,
所以 ,
所以 .
5. C
如图,设内切球的半径为 ,
设圆台上、下底面圆心分别为 ,则圆台内切球的球心 一定在 的中点处,
设球 与母线切于 点，所以 ,所以 ，
所以 与 全等，所以 ，同理 ，
圆台的母线长 ，
又 ,所以 ,解得 ,
又 ,所以 ,
所以 ,圆台的表面积为 .
6. B
设 2025~2030 年的年平均增长率为 ,
由题意知 ,所以 ,
两边取对数得 ,
将 代入,得 ,
所以 ,所以平均增长率大约为 .
故选: B.
7. A
因为 ,
由余弦定理得 ,
且 ,则 ,
由三角形面积公式得 ，
即 ,解得 .
8.
,使得 ,所以 ,
当 时, 在 上单调递增, ;
当 时, ;
当 时, 在 上单调递减, .
当 时, ,所以 在 上单调递增, ,
所以当 时, ,所以 ;
当 时, ;
当 时, ,所以 .
综上所述， ，即实数 的取值范围是 .
9. BD
由圆 ,得圆心 ,半径 ,
由圆 ,得圆心 ,半径 .
对于 ,若 ,两圆外切,故 错误;
对于 ,由两圆相交,得 ,
即 ,解得 ,故 正确;
对于 ,若 ,则 ,
此时 ,所以两圆相交,
因为两圆方程作差得 ,
所以两圆的公共弦所在直线方程为 ,故 C 错误;
对于 ,若 ,则 到直线 的距离 ,
到直线 的距离 ,
所以直线 为两圆的公切线,故 正确.
10. ACD
因为 分别是 的中点,所以 ,
又 平面 平面 ,所以 平面 ,故 A 正确;
因为四边形 为矩形,不一定是菱形,所以 不一定成立,
所以 平面 不一定成立,故 错误;
因为 分别是 的中点,所以 ,又 ,所以 ,
又 平面 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 ,故 正确;
因为四边形 为矩形,所以 ,
因为 平面 平面 ,所以 ,
又 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,
所以平面 平面 ,故 D 正确.
11. ACD
令 ,代入到 中,
得: ,即: ,
令 ,得 ,
而 是定义域为 的奇函数,所以 ,
所以 ,故 A 正确;
假设 成立,又因为 ,
所以 ,所以 为偶函数,
又已知 是定义域为 的奇函数，
所以对 ,
与 ,使得 矛盾,故 错误;
两边求导数,得 ,
即 ,故 正确;
因为 是定义域为 的奇函数,
所以 ,
两边求导得: ,
又 ,
所以 ,
在 中令 ,得 ,故 正确.
由 ,得 .
13.
因为 ,所以 ,
由椭圆定义,得 ,
又因为 ,
所以 .
设 的焦距为 ,由勾股定理,得 ,
又 ,所以 ,
所以 .
14.
令 ,则 在 内的图象连续不断,
可得 对 恒成立,
因为 ,则 ,
当 或 时,则 ,可得 ;
当 时, ,可得 ;
若 或 ,则 或 ,
因为 在 和 两侧的取值要求符号相反,且 为连续函数,
所以必有 和
可得 ,解得 ,
经检验 符合题意,所以 .
15. (1)可以认为男、女顾客的BMI存在差异
(2)65
(1)零假设 : 男、女顾客的BMI没有差异,
根据列联表中的数据计算,得 ,
根据小概率值 的独立性检验,
可以推断 不成立,即可以认为男、女顾客的BMI存在差异.
(2)因为男、女顾客的平均体重分别为 、 ，
所以可以估计该机构全体顾客的平均体重为: .
16.
(2)
(1)设 的公差为 ，则由题有 ， ,所以 .
(2)由(1)得 ， ，
所以 ,
所以 ,
两式相减得 ,
即 ,
解得 .
17.
(2)
(1)以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
由 ,得 ,
又 ,所以 到直线 的距离为
(2) ，
设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,
令 ,则 ,所以平面 的一个法向量为 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,即
令 ,则 ,所以平面 的一个法向量为 ,
设二面角 的平面角为 ,
则 ,
又 ,所以 ,即二面角 的正弦值为 .
则 ,
又 ,所以 ,即二面角 的正弦值为 .
18.
(2)
(3)定值为 ，
(3)如图，作出符合题意的图形，
设 ， ，其中 ， ，联立方程组 ，
得 ,
显然 ,且 ,
由韦达定理得 ,
同理得 ，所以
故 为定值.
19.(1) 由 ,得 ,
,则 ,
所以 的图象在 处的切线方程为 ,即 .
(2)由 ，得 ，
因为 在 上单调递增,所以 .
若 ,则 在 上恒成立,所以 在 上单调递增,
又 ,所以 在 上恒成立.
若 ,令 ,得 ,或 ,且 ,
当 时, 单调递减,
所以 ,与 在 上恒成立矛盾.
综上所述， 的取值范围是 .
(3)当 时， ，所以 在 上单调递增,
又 ,所以 时, 时, .
若 ,则 ,不合题意;
若 ,则 ,不合题意,所以 .
设 ,
则 ,
所以 在 上单调递增.
因为 ,所以 .
因为 ,所以 ,
又 ,所以 ,即 .
又 在 上单调递增,所以 ,即 .
所以 ,即 .