吉林长春市实验中学2025-2026学年高三下学期第二次周测数学试卷（含解析）

长春市实验中学 2025-2026 学年下学期第二次周测 高三数学试卷
一、单选题
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知一组数据:3，7，a，12，15 的平均数为 9，则该组数据的第 40 百分位数为( )
A. 6 B. 7 C. 7.5 D. 8
3. “ ”是“ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量 是非零向量,且满足 在 方向上的投影向量为 ,则 的夹角为( )
A. B. C. D.
5. 对于 个复数 ,如果存在 个不全为零的实数 ,使得 ,就称 线性相关. 若复数 线性相关, 则满足题意的非零实数组 可以为( )
A. B. C. D.
6. 已知圆锥的轴截面是边长为 4 的正三角形, 以其底面圆心为球心, 底面半径为半径的球和圆锥表面的交线长为( )
A. B. C. D.
7. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式. 如图,由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有 个小球,第二层有 个小球,第三层有 个小球……依此类推,最底层有 个小球, 共有 层,由“隙积术”可得 这 些小 球 的 总 个数 为
. 若由小球堆成的某个长方台形垛积共 8 层,小球总个数为 240 , 则该垛积的第一层的小球个数为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 若不等式 对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 若函数 既有极大值也有极小值,则( )
A. B. C. D.
10. 若 ,则( )
A. B.
C. D.
11. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与 交于 ， 两点，点 为点 在准线 上的射影,线段 与 轴的交点为 ,线段 的延长线交 于点 为坐标原点, 则 ( )
A. 三点共线 B.
C. 直线 与 有两个交点 D. 有最大值
三、填空题
12. 直线 过定点 ,且以 为其方向向量,则直线 的方程为_____.
13. 已知函数 ,若方程 有四个不同的解 ,且 ，则 的取值范围是_____.
14. 某文件被切分成 个独立分片上传云端,每个分片上传成功的概率为 ,且相互独立. 当成功上传了 个分片时,文件可被成功恢复的概率为 . 为使文件最终成功恢复的概率不小于 ，正整数 的最小值为_____. (参考数据: ， )
四、解答题
15. 某工厂购进 6 台车床，其中 4 台是合格品，2 台是次品，需要修理后才能使用. 由于车床外表没有区别，技术员要找出 2 台次品修理，只能逐台检查. 若找出 2 台次品，或找出 4 台合格品, 就结束查找.
(1)求第 1 次查找到的是合格品的概率；
(2)记 为查找结束时的查找次数，求 的分布列和数学期望.
16. 已知函数 .
条件①: 的最小正周期为 ;
条件②: 为奇函数;
条件③: 图象的一条对称轴为 ;
从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使 的解析式唯一确定，回答下列问题.
(1)求 的解析式;
(2)设函数 ，当 时，求函数 的值域.
17. 如图,在四棱锥 中, 平面 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若 ,且 在同一个球面上,球心为 .
(i) 为 的中点,求直线 与平面 所成角的正弦值;
(ii) 设球 的表面与线段 交于点 (异于点 ),求 的值.
18. 已知函数 其中, 是常数,而且 ,若 满足 .
(1) 的单调区间与极值；
(2) 为等差数列，求 ；
(3) ，求证 .
19. 在平面直角坐标系中,矩形 ,动点 在线段 上,动点 在 延长线上, 满足 ,直线 与直线 交于 点,已知 .
(1)证明:动点 点所在曲线方程为双曲线 .
(2)在 的右支上任取一点 ,以 为切点作 的切线交两条渐近线于 两点, 过 两点分别作两条渐近线的平行线交于 ,过 作直线 的平行线,分别交两条渐近线于 ,再过 两点分别作两条渐近线的平行线交于 ,一直反复操作,可得 .
(i) 写出直线 的方程 (不需要证明),并证明点 在同一条直线上.
(ii) 设 ,以此类推,证明: .
1. A
依题意, ,
所以 .
故选: A
2. C
因为 ,解得 ,
从小到大排列数据为:3,7,8,12,15.
又因为 ,所以这组数据的第 40 百分位数为: ,
故选: C.
3. A
若 ,根据基本不等式可得 ,当且仅当 时等号成立,所以由 可得 成立,
若 ,取 ,满足 ,但不满足 ,所以由 推不出 ,
所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件,
故选: A
4. C
由题意得 ,所以 ,即 , 于是 ,又 .
故选: C
5. D
由题意得, ,
即 ,
若 为 满足要求.
故选: D
6. D
作圆锥的轴截面 ,该截面与半球的截面为半圆,设半圆与 分别交于点 ,
如图,由已知, 为边长为 4 的等边三角形, 的中点 为球心,半圆 的半径为 2, 因为点 在半圆上,所以 ，
所以 ,故点 为 的中点,同理可得 为 的中点,所以 ,
所以由对称性可得,圆锥与球的交线为两个圆,一个为圆锥的底面圆,周长为 ,
另一个为所有母线的中点构成的圆,周长为 ,
所以交线长为 .
故选: D.
7.
由题意知, ,于是得最底层小球的数量为 ,即 , .
从而有 ,
整理得 ,
由于 皆为正整数,所以
(i) 当 时, ,
当 时, ,
(iii) 当 时, ,
(iv) 当 时,
只有 符合题意,即 的值为 2 .
故选: B.
8. B
设 ,则 的几何意义是直线 上的点 与曲线 上的点 的距离,
将直线 平移到与面线 相切时,切点 到直线 的距离最小.
而 ,令 ,则 ,可得 ,
此时, 到直线 的距离 ,故 ,
所以 .
故选:
9.
的定义域为 ,
要想 既有极大值也有极小值,则需 在定义域内至少有两个不先相等的实根, 故 在 上有两个不等实根,
根据 和 可知, 异号,即 错误.
故选: ABC
10. AC
A: 因为 ,
所以多项式 最高次项的次数为 6,
所以 ,因此本选项说法正确;
B: 因为 ,所以本选项说法不正确;
C: 在 中,
令 ,得 ,
令 ,得 ,
所以本选项说法正确;
D: 对 两边同时求导,
得 ,
令 ,得
,所以本选项说法不正确.
故选: AC
11. ABD
抛物线 ,则 ,所以焦点 ,准线 ,
设直线 的方程为 ,
联立 ,消去 可得: ,由韦达定理得 .
根据题意, ,则 ,
因为 ,且 ,即 ,
所以 .
可得 ,即 三点共线,故 选项正确;
已知点 为线段 与 轴的交点， ， ，则 点坐标为 ，
所以 ,则 ,
又因为 ,所以 ,即 ,故 选项正确; ,可得直线 的方程为 ,
令 ,可得 ,即 ,
则 ,直线 的方程为 ,即
联立 ,消去 可得 .
其判别式 ,
所以直线 与 有一个交点,故 选项错误;
,则 ,
又因为 ,则
当且仅当 ,即 时取等号,此时 最大,由 ,
得此时 ,
则此时 ,即 有最大值 选项正确.
故选: ABD.
12.
因为直线的方向向量为 ,所以直线的斜率为 ,
又直线过点 ,所以直线 的点斜式方程为: ,
化简得: .
故答案为:
13.
画出函数 的图象,如图所示:
方程 有四个不同的解 ,且 ,
由 时, ,则 与 的中点横坐标为 ,即: ,
当 时,由于 在 上是减函数,在 上是增函数,
又因为 ,则 ,有 ,
,又 ,
在 上递增,故取值范围是 . 故答案为: .
14. 13
记文件最终成功恢复为事件 ,则由全概率公式,
根据二项式定理 ,因此有:
所以 .
令 ,得 ,
所以 .
所以 的最小值为 13 .
故答案为: 13 .
15. (1)因为 6 台中有 4 台合格品,所以第 1 次查找的是合格品的概率 ;
(2) 的可能取值为2,3,4,5，
其中 表示表示第二次检查时结束,可能的原因是: 检查的两台均为次品,则
表示表示第三次查找时结束,可能的原因是: 最后一台检查为次品,前两次检查找到次品和合格品各一台,
则 ,
表示第四次检查时结束,可能的原因是: 最后一件为次品且前三次中有一个次品,或者四件均为合格品,
则 ,
则 ,
所以 的分布列为:
2 3 4 5
16.(1)选择条件①②，由 的最小正周期为 ，得 ；
由 为奇函数, ,得 ,所以 .
选择条件①③，由 的最小正周期为 ，得 ；
由 图象的一条对称轴为 ,得 ,而 ,
则 ,所以 .
选择条件②③，由 为奇函数， ，得 ；
由 图象的一条对称轴为 ,得 ,解得 ,
值不唯一,不符合题意,即②③不可选.
( 2 )由( 1 )知 ，则
,当 时, ,
则 ,
所以函数 的值域是 .
17.(1)证明:因为 平面 , 平面 ,所以 ,
又 平面 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以平面 平面 .
(2)(i)解法 1(坐标法):在四边形 中，因为 ， ， ，
故
又 ,所以
则 ,所以 ,结合 ,则 ,
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
则
平面 的一个法向量为 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
解法 2 (几何法): 在四边形 中,因为 , 故 ;
又 ,所以
则 ,所以 ,
又因为 平面 平面 ,所以 ,
而 平面 ,
故 平面 ,而 平面 ,所以
过 作 于点 ,连接 ,
因为 平面 面 ,所以 ,
又 平面 ,则 面 ,
则 即为 与平面 所成角, ,所以 .
(ii) 由 (1) 知 平面 平面 ,故 ,
因为 在同一个球面上,且 为直角,
即可得 的中点到 的距离均相等,故 为外接球直径,则球心 为 的中点.
解法 1 设 ,
为外接球直径,且 在球的表面上
,
,得 ,所以, .
解法 2 设 ,
由 ,得 ,
,解得 或 ,
由于点 异于点 ,所以 舍去,
所以 ,进一步可得 .
18.(1)因为 ,所以 ,
令 ,解得 ,
当 变化时 的变化情况如下表:
- 0 +
单调递减 单调递增
所以 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
当 时, 有极小值,且极小值为 ,无极大值.
(2)设数列 的公差为 ，由题意得 ，
② - ① 得
整理,得 ,
又因为 ,
所以 ,即 ,
所以 ,解得 ,
而当 时,易得 ,为常数列,满足题设要求.
(3)先证明 ,
设 是第一个不大于 ,即 ,
由( 1 )可知, 在区间 上单调递增,
所以 ,即 ,
这与假设矛盾,所以所设不成立,即 .
其次证明 ,令 ,
则 ,
所以 为单调增函数,当 时, ,
因为 ,所以 ,即 ,
故 .
19.(1) 由题设及图知 ,
由动点 在线段 上,且 ,则 ,易知 ,
由动点 在 延长线上,且 ,则 ,易知 ,
所以 ,
联立方程有 ,则 ,故 ,
综上, ,则
所以动点 点所在曲线方程为双曲线 ,得证;
(2)(i)当直线 斜率存在时,设直线 ，
联立 ,得 ,
所以 ,即 ,
所以 ,又 ,
所以 ,则 ,
所以 ,即 ,
所以 ,
当直线 斜率不存在时也满足,故直线 方程为 ,
双曲线的渐近线 ,联立 ,得 和 .
则交点 ,
,且 ,
,而 ,
,可得 三点共线且方程为 ,
由于 ,
,
,
,
,
,
共线,
共线,
共线,
共线且轨迹方程为 ,得证;
(ii) ,直线 方程 ,则 ,
所以 ,
设 ,直线 ,所以 ,
与 分别联立,得 和 ,
则 ,
,
即 ,
,又 ,
,则 ,
所以 ,得证.