吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）

高二数学开学考
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 在数列 中, ,则 ( )
A. 2 B. 3
C. D.
2. 已知直线 的方程为 ，则 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3. 三棱锥 的所有棱长都为 分别是 的中点，则 ()
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
4. 椭圆 的左、右焦点分别为 ,经过 的直线交椭圆于 两点, 若 的周长为 ，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5. 在正方体 中, 为棱 的中点, ,则 ( )
A. -1 B. -3 C. 1 D. 3
6. 如图,已知直线与抛物线 交于 两点,且 交 于 ,点 的坐标为 ,则 ( )
A. B. 2
C. D.
7. 某公司购置了一台价值为 300 万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值逐年减
少.经验表明,每经过一年其价值就会减少 ( 为正常数) 万元.已知这台设备的使用年限为 10 年,超过 10 年,它的价值将低于购进价值的 10%,设备将报废. 则 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
8. 过抛物线 上的一个动点 作圆 (其中 为正常数)的两条切线，切点分别为 ，若 的最小值为 8，则 ()
A. 1 B. 2 C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 已知双曲线 的离心率为 ,则( )
A.
B. 双曲线的焦点坐标为 和
C. 点 在双曲线上
D. 若 为双曲线的右焦点， 为双曲线右支上任意一点，则
10. 已知等差数列 的前 项和为 ,公差为 ,则下列判断正确的是 ( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
11. 已知抛物线 的焦点 到准线的距离为 4,过焦点 的直线与抛物线 交于 两点, 为坐标原点,则 ( )
A.
B. 以线段 为直径的圆与抛物线 的准线相切
C. 若 是线段 的中点，则直线 的斜率的最大值为
D. 若直线 与抛物线 的准线相交于点 ,则 轴
三、填空题(每题 6 分，共 15 分)
12. 设数列 的前 项和为 ,且 ,则 _____.
13. 已知椭圆 ,若斜率为 的直线 过点 ,与 轴交于点 ,与椭圆相交于 两点,若 ,则 的值为_____.
14. 若 ,设不等式 对任意正整数 均成立,则实数 的取值范围是_____.
四、解答题
15. 等差数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 99 项和.
16. 已知函数 ,数列 满足
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ,求证: .
17. 设抛物线 的焦点为 ,直线 与抛物线 交于不同的两点 ,线段 的中点 的横坐标为 2,且 .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)若直线 经过焦点 ，求直线 的方程.
18. 已知一动圆与圆 、圆 都外切.
(1)求动圆圆心 的轨迹方程 ；
(2)若直线 与(1)中所得曲线 交于 、 两点，且 . 求 的值
19. 已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，直线 的方程为 .
(1)求 的方程；
(2)过 的左焦点 的直线与 交于 两点.
(i) 求 ( 为坐标原点) 面积的最大值;
(ii) 为 上的动点,记直线 的斜率之和为 ,求 .
1. C
已知 ,根据递推公式 ,
当 时, ;
当 时, .
故选: C.
2. D
直线 的方程为 ,故直线的斜率为 , 设直线 的倾斜角为 ,则 ,又 ,即 .
故选: D.
3. A
分别是 的中点, 且 ,即
又 三棱锥 的所有棱长都为 任意两条棱的夹角为 ,
,
故选: A.
4. D
由题意及椭圆的定义可知
，即 ，
又 ,
则离心率为 .
故选: D.
5. C
如下图所示:
因为 为 的中点,所以 ,
又因为 ,且 ,
即
,
显然 不共面,所以 ,解得 ,故 . 故选: C.
6. A
设 两点的坐标分别为 ,由直线 的斜率为 ,
可得直线 的方程为 ,整理为 ,
联立方程 ,
消去 后整理为 ,
所以 .
又由 ,则 ,
即 ,可得 ,
故选: A.
7. D
设使用 年后该设备的价值为 ,则由 ,
有 ,
又由 ,有 ,可得 .
故选: D.
8. B
根据圆的切线的性质可知 ,
设 ,有
,
可得 ,可得 ,此时 .
故选: B
9. AD
对于 ,由 ,可得 ,故 正确;
对于 ,由于 ,故焦点坐标为 和 ,故 错误;
对于 ,由 ,可得点 不在双曲线上,故 错误;
对于 ,由双曲线的性质,有 ,故 正确.
故选: AD.
10. ACD
等差数列 的前 项和为 ,公差为 ,
对于 : 若 ,则 选项正确;
对于 : 若 ,则 选项正确;
对于 : 若 ,则 选项错误;
对于 D: 若 ,则 选项正确; 故选: ACD.
11. BCD
由抛物线 的焦点 到准线的距离为 4,可得 ,则 .
设 两点的坐标为 ,直线 的方程为 .
联立方程 ,消去 后整理为 ,
显然有 ,则 ,
可得 .
对于 ,由 ,故 错误;
对于 ,由 ,设线段 的中点为 ,
则点 到准线 的距离为 ,
即以 为直径的圆与抛物线 的准线相切,故 正确;
对于 ,由 项可得直线 的斜率为 ,
因 (当且仅当 时取等号),
所以 ,故直线 的斜率的最大值为 ,故 正确;
对于 ,因直线 的斜率为 ,可得直线 的方程为 ,
令 可求得点 的坐标为 ,
又因 ,所以 轴,故 正确.
故选: BCD.
12.
由 ,
可得 ,
两式作差可得: ,
又当 时， ，符合上式，
所以 ,
故答案为:
13.
直线 过点 且斜率为 ,则直线 的方程为 .
令 ,得 .
联立直线 与椭圆方程 ,整理得: .
设 ,则 .
,即 .
又 ,代入 整理得: .
故答案为:
14.
首先,将 代入不等式右边,得 ,原不等式化为
对任意正整数 均成立,分奇偶讨论:
当 为奇数时, ,不等式变为 ,需 小于等于所有奇数项 的最小值,
通过计算 (对所有 ),知 严格递增,
故奇数项最小值为 ,即 ,
当 为偶数时, ,不等式变为 ,即 ,
需 大于等于所有偶数项 的最大值,因 严格递增,
偶数项 最小值为 ,故 最大值为 ,即 ,
综上, 需同时满足上述两个条件,故取值范围为两者的交集,即 .
故答案为:
15. (1)
(2)-149
(1) 等差数列 的前 项和为 ,
,即 ,
又 ,即 ,
解得 ,
(2)记数列 的前 99 项和为 ,
即 .
16.(1) 因为 ,所以 , 则 . 又 , 所以 ,
两式相加得,
由 可得, ,
所以 ,故 .
(2)证明:由(1)知 ，
所以 .
故
又
所以数列 是递增数列.
当 时, 取得最小值 ,又 ,
所以 .
17.
(2)
(1) 设 ,
线段 的中点 的横坐标为 ,
由抛物线定义可得 ,解得 ,
抛物线 的标准方程为 .
(2)由(1)可知抛物线的焦点为 ，
当直线 的斜率不存在时,可知 ,不合题意,
故可设直线 的方程为 ,
由 得 ,
由 可得 ,
直线 的方程为 .
18.
(2)
(1)由题意设动圆半径为 ,则 ,故圆心 的轨迹是以 为焦点的双曲线的左支 (去掉顶点),其方程为
(2)直线 与 得 易知 ，设
则
得 或
(舍去) 即
19. (1)
(2) (i) (ii)
(1) 由题意得
解得
故椭圆 的方程为 .
(2)(i)由题意可知直线 的斜率所为 0，设直线 的方程为 . 联立 得 .
设 ,则 ,
所以
,
令 ,
设 ,易知 在 单调递增,
所以当 ,即 时, 取得最小值, ,
此时 取得最大值 .
(ii) 在 (i) 中 .
所以
.
因此 .