吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题（含解析） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 485.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-13 00:00:00 | ||
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文档简介
高一数学
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知 ,则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. " "的否定是( )
A. B.
C. D.
4. 已知 ,则( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 ，则( )
A. 是最小正周期为 的奇函数 B. 是最小正周期为 的偶函数
C. 是最小正周期为 的奇函数 D. 是最小正周期为 的偶函数
6. 已知函数 的定义域为 ,且对 ,则 ( )
A. 3 B. 2
C. D.
7. 已知函数 在区间 上是增函数,若函数 在 上有且仅有一个最大值，则 的范围为( )
A. B. C. D.
8. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法, 它是以神经网络为出发点的, 在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为 ,其中 表示每一轮优化时使用的学习率, 表示初始学习率, 表示衰减系数, 表示训练迭代轮数, 表示衰减速度. 已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5 , 衰减速度为 18 , 且当训练迭代轮数为 18 时, 学习率衰减为 0.4 ，则学习率衰减到 0.2 以下 (不含 0.2 ) 所需的训练迭代轮数至少为( )(参考数据: )
A. 72 B. 73 C. 74 D. 76
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 为实数，则下列结论中正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 将函数 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位后得到函数 的图象,则 ( )
A. 的最小正周期为
B. 为函数 图象的一个对称中心
C. 函数 在 上单调递减 D. 函数 在 上的最大值是 3
11. 设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ，则下列结论正确的是( )
A. B. 为奇函数
C. 在 上为减函数 D. 方程 仅有 6 个实数解
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 ，则函数 的零点是_____.
13. 若存在区间 ,使得函数 在 上的值域为 ,则实数 的取值范围是_____.
14. 在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，则 取得最大值时， _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知集合 .
(1)若 ，求 和 ；
(2)若集合 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
16. 已知函数 .
(1)若 在区间 上不单调，求实数 的取值范围；
( 2 )若 ，求 在区间 上的最小值 .
17. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定: 血液中酒精含量达到 的驾驶员即为酒后驾车， 及以上认定为醉酒驾车.经过反复试验, 喝了一定量的酒后, 酒精在人体血液中含量的变化规律如下: 一开始含量呈线性增长,当其上升到 时,会以每小时 的速度减少(函数模型如图).
(1)求血液中酒精含量 (单位: )关于时间 (单位:小时)的函数解析式；
(2)某驾驶员在喝了同等量的酒后，至少要经过几个小时才能合法驾驶？(结果取整数). (参考数据: )
18. 已知函数 .
(1)若 且 的最大值为 2，求函数 在 上的单调递增区间；
(2)若 ,已知 ,若关于 的方程 在 时有两解,求实数 的取值范围;
(3)已知 的一条对称轴方程为 ，若对于任意 ，在区间 上总存在唯一确定的 ,使得 ,求实数 的取值范围.
19. 已知函数 的定义域为 ,区间 ,定义 在 上的振幅为 ,其中 . 若 ,则称 在 上具有 “1-振幅性质”.
(1)设函数 ， ，判断 在 上是否具有“1-振幅性质”.
(2)某公园拟在直线形道路 旁修建一条休闲小道，休闲小道的第一段为如图所示的曲线段 ,它是函数 的图象,第二段为曲线段 ,它是函数 的图象.
(i) 求点 的坐标;
(ii) 为使休闲小道不偏离道路 过远,需休闲小道对应的函数在 上具有“1-振幅性质”,求实数 的取值范围.
1. C
解不等式 ,得 ,则 ,而 , 所以 .
故选:
2.
因为 在 上单调递增,
所以当 时, 成立,反之当 时, 成立,
所以 是 的充要条件.
故选: C
3. D
“ ”的否定是 .
故选: D.
4. A
由对数函数性质可知, ;
由指数函数性质可知, ,因为 且 ,所以 ;
又 ,因为 且 ,所以 .
综上所述， .
故选: A.
5. C
由诱导公式得 ,
因为 ,
所以 是奇函数,其最小正周期为 . 故 为最小正周期为 的奇函数.
故选: C.
6. A
分别令 和 得到: ,解得: . 故选: A.
7. D
因为 ,所以 ,
因为函数 在区间 上单调递增,
所以 ,而令 ,解得 ,
结合 ,可得 ,
由正弦函数的性质得 的最大值为 2,
令 ,得到 ,
则 在 上取得的第一个最大值的横坐标为 ,
而取得的第二个最大值的横坐标为 ,
可得 ,解得 ,
综上所述,得到 ,即 ,故 正确.
故选:
8.
由于 ,所以 ,
依题意 ,则 ,则 ,
由 ,所以,即 ,
所以所需的训练迭代轮数至少为 74 次.
故选: C.
9. AD
对于 ,由 ,则 且 ,得 ,故 正确;
对于 ,当 时,若 ,有 ,不满足条件 ,故 错误;
对于 ,由 ,因此 错误;
对于 ,当 ,则 , 正确.
故选: AD.
10. BCD
将函数 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位可得到函数 的图象,
对于 的最小正周期 ,故 错误;
对于 ,则 ,所以 为函数 图象的一个对称中心，故 正确；
对于 ,当 时, ,
而 在 上单调递减,所以 在 上单调递减,故 正确;
对于 ,当 时, ,
而 在 上单调递增,在 上单调递减; 所以 在 上单调递增,
在 上单调递减,当 时, 有最大值为 ,故 D 正确;
故选: BCD
11. ABD
对于 为偶函数,故 ,
令 ,得 ,
为奇函数,故 ,
令 ,得 ,其中 ,
所以 ,故 A 正确;
对于 ,因为 为奇函数,则 ,得 ,
又 为偶函数,则 ,得 ,
所以 ,则 ,
即 ,则 ,
即 ,所以 8 为函数 的一个周期. 故 ,
所以 ,
从而 为奇函数,故 正确;
对于 在区间 上是增函数,在区间 上是减函数,且 的图象关于点 对称,
所以 在区间 上单调递减,在 上单调递增,又 周期为 8,
故 在区间 上单调递减，在 上单调递增，故 C 错误；
对于 ,作出 与 的大致图象,如图所示,
其中 单调递减且 ,所以两函数图象有 6 个交点,
故方程 仅有 6 个实数解,故 正确.
故选: ABD.
12. -1 和 4
依题意, 或 ,
解得 或 (负根舍去).
故答案为: -1 和 4
13.
由函数 在 上为单调递增函数,
要使得 在 上的值域为 ,则满足 ,
所以 是方程 的两个实数根,
又由 ,可得 ,
令 ,则 ,则方程 有两个不同的正实数根,
则满足 即 ,解得 , 所以实数 的取值范围为 .
故答案为: .
14. 4
因为 ,由正弦定理得 ,
因为 ,所以 ,则 ,
又因为 ,所以 ,
即 ,
由于 是锐角三角形， ，
等式两边同时除以 ,得到
,即 ,
因为 ,所以 ,则 ,
那么 ,
由 ,可得 ,
令 ,则 ,
对于 ,根据基本不等式得
,即 的最大值为0,
此时 ,
因为 ,且 ,
所以 .
故答案为: 4
15. (1) 或 ; (2) .
(1)当 时， ，而 ， 所以 或 .
(2)由集合 是 的充分不必要条件，得非空集合 是 的真子集，
因此 或 ,
解得 或 ,则 ,
所以实数 的取值范围是 .
16.
(2)
(1) 因为函数 在 上不单调,对称轴 ,
所以 ,即 ,解得 ,
故实数 的取值范围为 ;
(2)因为 开口向上,对称轴 ，
当 时,函数 在 上单调递减,
所以 ;
当 时,函数 在 上单调递减,在 单调递增,
所以 ;
故 .
17. (1)
(2)10 个小时
(1) 依题意,一开始酒精含量呈直线上升时,设 ,
函数过点 ,
解得 ,即 ,
当 时,解得 ,
又当其上升到 时,会以每小时 的速度减少,
当 时, ,
(2)设至少要经过 个小时才能合法驾驶，
根据题意， ，
即 ,即 ,
可得 ,
,
驾驶员至少要经过 10 个小时才能合法驾驶.
18.
(2)
(3)
(1) 解: 由函数 ,其中 ,
因为函数 的最大值为 2,可得 ,解得 ,
所以 ,
令 ,可得 ,
当 时,可得 ,
因为 ,所以函数 在区间 上的递增区间为 .
(2)解:当 时， ，
则
因为 在 时有两解,所以 在 上有两解,
令 ,可得 ,
转化为 与 在 上有两个交点,
又由 ,
结合正弦函数的性质，可得 ，即实数 的取值范围为 .
(3)解:因为 ，解得 ，
所以 ,
因为 ,可得 ,所以 ,
对任意 ,总存在唯一确定的 ,
使得 成立,所以 ,
且 有且仅有唯一解,
令 ,则 ,所以 ,
所以 ,解得 ,所以 ,即实数 的范围为 .
19. (1)具有“1-振幅性质”
(2) (i) (ii)
(1) 因为 在 上单调递增,
所以 ,
所以 ,有 ,
所以 在 上具有 “1-振幅性质”.
(2)(i)由题图可知， 在 时的最大值为 1，则 .
因为 ,所以 ,
,故 .
所以 ,故 .
(ii) 因为 的图象经过点 ,
所以 ,则 ,
所以 .
由题图可知 的最小值为 0,最大值为 1 .
设 ,则 在其定义域上单调递减.
① 当 时， 在 上单调递增，
要满足休闲小道对应的函数在 上具有 “1-振幅性质”,
则 ,即 ,解得 .
② 当 时， 在 上单调递减，
要满足休闲小道对应的函数在 上具有 “1-振幅性质”,
则 ,即 ,解得 .
综上,实数 的取值范围为 .
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知 ,则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. " "的否定是( )
A. B.
C. D.
4. 已知 ,则( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 ，则( )
A. 是最小正周期为 的奇函数 B. 是最小正周期为 的偶函数
C. 是最小正周期为 的奇函数 D. 是最小正周期为 的偶函数
6. 已知函数 的定义域为 ,且对 ,则 ( )
A. 3 B. 2
C. D.
7. 已知函数 在区间 上是增函数,若函数 在 上有且仅有一个最大值，则 的范围为( )
A. B. C. D.
8. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法, 它是以神经网络为出发点的, 在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为 ,其中 表示每一轮优化时使用的学习率, 表示初始学习率, 表示衰减系数, 表示训练迭代轮数, 表示衰减速度. 已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5 , 衰减速度为 18 , 且当训练迭代轮数为 18 时, 学习率衰减为 0.4 ，则学习率衰减到 0.2 以下 (不含 0.2 ) 所需的训练迭代轮数至少为( )(参考数据: )
A. 72 B. 73 C. 74 D. 76
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 为实数，则下列结论中正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 将函数 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位后得到函数 的图象,则 ( )
A. 的最小正周期为
B. 为函数 图象的一个对称中心
C. 函数 在 上单调递减 D. 函数 在 上的最大值是 3
11. 设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ，则下列结论正确的是( )
A. B. 为奇函数
C. 在 上为减函数 D. 方程 仅有 6 个实数解
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 ，则函数 的零点是_____.
13. 若存在区间 ,使得函数 在 上的值域为 ,则实数 的取值范围是_____.
14. 在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，则 取得最大值时， _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知集合 .
(1)若 ，求 和 ；
(2)若集合 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
16. 已知函数 .
(1)若 在区间 上不单调，求实数 的取值范围；
( 2 )若 ，求 在区间 上的最小值 .
17. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定: 血液中酒精含量达到 的驾驶员即为酒后驾车， 及以上认定为醉酒驾车.经过反复试验, 喝了一定量的酒后, 酒精在人体血液中含量的变化规律如下: 一开始含量呈线性增长,当其上升到 时,会以每小时 的速度减少(函数模型如图).
(1)求血液中酒精含量 (单位: )关于时间 (单位:小时)的函数解析式；
(2)某驾驶员在喝了同等量的酒后，至少要经过几个小时才能合法驾驶？(结果取整数). (参考数据: )
18. 已知函数 .
(1)若 且 的最大值为 2，求函数 在 上的单调递增区间；
(2)若 ,已知 ,若关于 的方程 在 时有两解,求实数 的取值范围;
(3)已知 的一条对称轴方程为 ，若对于任意 ，在区间 上总存在唯一确定的 ,使得 ,求实数 的取值范围.
19. 已知函数 的定义域为 ,区间 ,定义 在 上的振幅为 ,其中 . 若 ,则称 在 上具有 “1-振幅性质”.
(1)设函数 ， ，判断 在 上是否具有“1-振幅性质”.
(2)某公园拟在直线形道路 旁修建一条休闲小道，休闲小道的第一段为如图所示的曲线段 ,它是函数 的图象,第二段为曲线段 ,它是函数 的图象.
(i) 求点 的坐标;
(ii) 为使休闲小道不偏离道路 过远,需休闲小道对应的函数在 上具有“1-振幅性质”,求实数 的取值范围.
1. C
解不等式 ,得 ,则 ,而 , 所以 .
故选:
2.
因为 在 上单调递增,
所以当 时, 成立,反之当 时, 成立,
所以 是 的充要条件.
故选: C
3. D
“ ”的否定是 .
故选: D.
4. A
由对数函数性质可知, ;
由指数函数性质可知, ,因为 且 ,所以 ;
又 ,因为 且 ,所以 .
综上所述， .
故选: A.
5. C
由诱导公式得 ,
因为 ,
所以 是奇函数,其最小正周期为 . 故 为最小正周期为 的奇函数.
故选: C.
6. A
分别令 和 得到: ,解得: . 故选: A.
7. D
因为 ,所以 ,
因为函数 在区间 上单调递增,
所以 ,而令 ,解得 ,
结合 ,可得 ,
由正弦函数的性质得 的最大值为 2,
令 ,得到 ,
则 在 上取得的第一个最大值的横坐标为 ,
而取得的第二个最大值的横坐标为 ,
可得 ,解得 ,
综上所述,得到 ,即 ,故 正确.
故选:
8.
由于 ,所以 ,
依题意 ,则 ,则 ,
由 ,所以,即 ,
所以所需的训练迭代轮数至少为 74 次.
故选: C.
9. AD
对于 ,由 ,则 且 ,得 ,故 正确;
对于 ,当 时,若 ,有 ,不满足条件 ,故 错误;
对于 ,由 ,因此 错误;
对于 ,当 ,则 , 正确.
故选: AD.
10. BCD
将函数 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位可得到函数 的图象,
对于 的最小正周期 ,故 错误;
对于 ,则 ,所以 为函数 图象的一个对称中心，故 正确；
对于 ,当 时, ,
而 在 上单调递减,所以 在 上单调递减,故 正确;
对于 ,当 时, ,
而 在 上单调递增,在 上单调递减; 所以 在 上单调递增,
在 上单调递减,当 时, 有最大值为 ,故 D 正确;
故选: BCD
11. ABD
对于 为偶函数,故 ,
令 ,得 ,
为奇函数,故 ,
令 ,得 ,其中 ,
所以 ,故 A 正确;
对于 ,因为 为奇函数,则 ,得 ,
又 为偶函数,则 ,得 ,
所以 ,则 ,
即 ,则 ,
即 ,所以 8 为函数 的一个周期. 故 ,
所以 ,
从而 为奇函数,故 正确;
对于 在区间 上是增函数,在区间 上是减函数,且 的图象关于点 对称,
所以 在区间 上单调递减,在 上单调递增,又 周期为 8,
故 在区间 上单调递减，在 上单调递增，故 C 错误；
对于 ,作出 与 的大致图象,如图所示,
其中 单调递减且 ,所以两函数图象有 6 个交点,
故方程 仅有 6 个实数解,故 正确.
故选: ABD.
12. -1 和 4
依题意, 或 ,
解得 或 (负根舍去).
故答案为: -1 和 4
13.
由函数 在 上为单调递增函数,
要使得 在 上的值域为 ,则满足 ,
所以 是方程 的两个实数根,
又由 ,可得 ,
令 ,则 ,则方程 有两个不同的正实数根,
则满足 即 ,解得 , 所以实数 的取值范围为 .
故答案为: .
14. 4
因为 ,由正弦定理得 ,
因为 ,所以 ,则 ,
又因为 ,所以 ,
即 ,
由于 是锐角三角形， ，
等式两边同时除以 ,得到
,即 ,
因为 ,所以 ,则 ,
那么 ,
由 ,可得 ,
令 ,则 ,
对于 ,根据基本不等式得
,即 的最大值为0,
此时 ,
因为 ,且 ,
所以 .
故答案为: 4
15. (1) 或 ; (2) .
(1)当 时， ，而 ， 所以 或 .
(2)由集合 是 的充分不必要条件，得非空集合 是 的真子集，
因此 或 ,
解得 或 ,则 ,
所以实数 的取值范围是 .
16.
(2)
(1) 因为函数 在 上不单调,对称轴 ,
所以 ,即 ,解得 ,
故实数 的取值范围为 ;
(2)因为 开口向上,对称轴 ，
当 时,函数 在 上单调递减,
所以 ;
当 时,函数 在 上单调递减,在 单调递增,
所以 ;
故 .
17. (1)
(2)10 个小时
(1) 依题意,一开始酒精含量呈直线上升时,设 ,
函数过点 ,
解得 ,即 ,
当 时,解得 ,
又当其上升到 时,会以每小时 的速度减少,
当 时, ,
(2)设至少要经过 个小时才能合法驾驶，
根据题意， ，
即 ,即 ,
可得 ,
,
驾驶员至少要经过 10 个小时才能合法驾驶.
18.
(2)
(3)
(1) 解: 由函数 ,其中 ,
因为函数 的最大值为 2,可得 ,解得 ,
所以 ,
令 ,可得 ,
当 时,可得 ,
因为 ,所以函数 在区间 上的递增区间为 .
(2)解:当 时， ，
则
因为 在 时有两解,所以 在 上有两解,
令 ,可得 ,
转化为 与 在 上有两个交点,
又由 ,
结合正弦函数的性质，可得 ，即实数 的取值范围为 .
(3)解:因为 ，解得 ，
所以 ,
因为 ,可得 ,所以 ,
对任意 ,总存在唯一确定的 ,
使得 成立,所以 ,
且 有且仅有唯一解,
令 ,则 ,所以 ,
所以 ,解得 ,所以 ,即实数 的范围为 .
19. (1)具有“1-振幅性质”
(2) (i) (ii)
(1) 因为 在 上单调递增,
所以 ,
所以 ,有 ,
所以 在 上具有 “1-振幅性质”.
(2)(i)由题图可知， 在 时的最大值为 1，则 .
因为 ,所以 ,
,故 .
所以 ,故 .
(ii) 因为 的图象经过点 ,
所以 ,则 ,
所以 .
由题图可知 的最小值为 0,最大值为 1 .
设 ,则 在其定义域上单调递减.
① 当 时， 在 上单调递增，
要满足休闲小道对应的函数在 上具有 “1-振幅性质”,
则 ,即 ,解得 .
② 当 时， 在 上单调递减，
要满足休闲小道对应的函数在 上具有 “1-振幅性质”,
则 ,即 ,解得 .
综上,实数 的取值范围为 .
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