辽宁沈阳市第一二0中学2025-2026学年度下学期高三年级第七次质量监测（下学期期初）考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁沈阳市第一二0中学2025-2026学年度下学期高三年级第七次质量监测（下学期期初）考试数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 237.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-13 00:00:00 | ||
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文档简介
沈阳市第 120 中学 2025-2026 学年度下学期 高三年级第七次质量监测 数学
满分:150 分 时间:120 分钟
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 为 的共轭复数，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知集合 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知角 的终边经过点 ，且 ，则 ()
A. B. C. D.
5. 已知一个圆锥与一个圆台的高相等，圆锥的底面积和圆台的一个底面的面积相等. 若圆台的体积是圆锥的体积的 7 倍, 则圆台的上、下底面的面积之比为( )
A. B. C. D.
6. 在一定条件下,大气压强 (单位: 百帕) 随海拔高度 (单位: 米) 的变化满足如下函数关系式: 为正常数 . 已知海拔高度 0 米处的大气压强为 1000 百帕,海拔高度 10000 米处的大气压强为 250 百帕，那么，若大气压强增加 1 倍，则海拔高度降低 ( )
A. 100 米 B. 2500 米 C. 5000 米 D. 7500 米
7. 已知 的内角 的对边分别为 ，且面积为 . 若 且 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 已知 分别是双曲线 的左、右焦点,点 在双曲线上, ,圆 ,直线 与圆 相交于 两点,直线 与圆 相交于 两点. 若四边形 的面积为 ,则 的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的四 个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有 选错的得 0 分.
9. 经验表明,一般树的胸径 (树的主干在地面以上 处的直径) 越大,树就越高. 在研究树高 与胸径 之间的关系时,某同学收集了某种树的 5 组观测数据 (如下表):
胸径 8 9 10 11 12
树高 8.2 10 11 12 13.8
假设树高 与胸径 满足的经验回归方程为 ,则()
A.
B. 当胸径 时,树高 的预测值为 14
C. 表中的树高观测数据 的 40% 分位数为 10
D. 当胸径 时,树高 的残差为 -0.32
10. 已知函数 的最小正周期为 ，则下列结论正确的是( )
A.
B. 函数 的最大值为
C. 函数 的图象关于点 对称
D. 函数 在 上单调递增
11. 已知 两点的坐标分别为 为坐标平面内的动点,直线 的斜率之和为定值 . 设动点 的轨迹为 ,则()
A. 轨迹 关于直线 对称
B. 轨迹 关于原点对称
C. 当 时,轨迹 为一条直线
D. 当 时,轨迹 存在渐近线
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 某城市有 10 个著名的地标建筑, 文旅部门要从中选取 3 个作为城市名片进行特色文化宣传，且甲、乙、丙 3 个建筑中至少选 1 个，那么共有_____种不同的选法.
13. 已知集合 ,将 中所有元素按从小到大的顺序构成数列 ，则数列 的通项公式为_____.
14. 函数 的零点为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分
15. 已知数列 的前 项和为 ,其中 .
(1)求 的值以及数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
16. 已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于 0，求 的取值范围.
17. 已知圆 ,圆 . 当 变化时,圆 与圆 的交点 的轨迹为曲线 ,
(1)求曲线 的方程；
(2)已知点 ，过曲线 右焦点 的直线交曲线 于 、 两点，与直线 交于点 ,是否存在实数 ,使得 成立,若存在,求出 ; 若不存在, 请说明理由.
18. 在如图所示的圆柱中,轴截面是边长为 4 的正方形,点 为底面半圆弧 上的动点 (点 不与点 重合).
(1)当三棱锥 体积最大时，
(i) 求平面 与平面 所成角的余弦值;
(ii) 点 在线段 上运动,求 的最小值.
(2)是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角最大？若存在，求成角最大时的正弦值; 若不存在,请说明理由.
19. 某次投篮游戏,规定每名同学投篮 次 ,投篮位置有 两处,第一次在 处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进， 则下一次投篮位置不变. 在 处每次投进得 2 分,否则得 0 分; 在 处每次投进得 3 分,否则得 0 分. 已知甲在 两处每次投进的概率分别为 ,且每次投篮相互独立. 记甲第 次在 处投篮的概率为 ,第 次投篮后累计得分为 .
(1)求 的分布列及数学期望；
(2)求 的通项公式；
(3)证明: .
参考公式: 若 是离散型随机变量,则 .
1. C
因为 ,
所以 ,
则 .
故答案为: C.
2. D
已知 ,因此: ,
3. A
① 若 ,则 ,
所以 ” 是 “ ” 的充分条件;
②若 ，则 或 ，解得 或 或 .
当 时, ,符合题意;
当 时, ,符合题意;
当 时， ，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去，
所以 或 ,所以 ” 是 “ ” 的不必要条件,
所以由①②可知， ”是“ ”的充分不必要条件，
故选: A
4. A
因为角 的终边经过点 ,所以 ,
因为 ,
所以 ,
又 ,所以 ,
所以 ,
所以
.
故选: A
5. B
设圆锥的底面面积为 ,圆台另一个底面的面积为 ,高为 ,
则圆台的体积为: ，圆锥的体积为: ，
由题意可知: ,
即: ,变形可得: ,
解得: (负值舍去),则 .
故选: B
6. C
由题意可得 ,
所以 ,
设大气压强从 250 百帕增加 1 倍到 500 百帕,海拔高度降低 米,
则 ,所以 ,
所以 ,即 ,
所以 ,所以 .
故选: C.
7. A
在 中, ,而 , 由 ,得 ,又 ,则 , 由正弦定理得 ,解得 ,由 ,得 , 所以 .
8. D
根据对称性不妨设点 在第一象限,如图所示,
圆 ,圆心为 ,半径为 ,
设 ,点 在双曲线上, ,则有 ,可得 ,
过 作 的垂线,垂足为 为 的中点,则 ,
同理, ,由 ,
四边形 的面积为 ,
,化简得 ,则有
,则 的离心率 .
故选: D
9. AD
选项 A : ,把点 代入经验回归方程为 ,则 ,故 A 正确;
选项 B: 当 时, ,故 B 错误;
选项 C : 数据排序后为8.2,10,11,12,13.8共 5 个数据,由 ,
的 40% 分位数对应第 2 和第 3 个数据的平均值: ,故 错误;
选项 D : 当 时,预测值 ,残差为 ,故 D 正确.
故选: AD.
10. ACD
因为函数 ,所以
对于 : 函数 的最小正周期为 ,所以 ,所以 选项正确;
对于 : 函数 的最大值为 选项错误;
对于 ，计算得 ， ，函数 的图象关于点 对称， 所以函数 的图象关于点 对称, 选项正确;
对于 D: ,所以 单调递增,所以函数 在 上单调递增, 选项正确.
故选: ACD.
11. BD
设 ,因为 两点的坐标分别为 ,
所以 ,所以由题意得 ,
化简整理得 ①，
对于 ,用 代入方程①得 ,与原方程不一致,
所以轨迹 不关于直线 对称,故 错误;
对于 ,用 代入方程①得 ,与原方程一致,
故轨迹 关于原点对称，故 正确；
对于 ,当 时,轨迹方程为 ,所以 或 ,
所以轨迹 为直线 ,或直线 中去掉 的部分,故 错误;
对于 ,当 时,轨迹方程化为 ,
当 或 时, ,即 是渐近线,故 正确.
故选: BD.
12. 85
从 10 个地标建筑中选取 3 个,共有 种,
若不选甲、乙、丙这 3 个地标建筑,即从剩下的 7 个中选 3 个,有 种选法,
所以满足条件的选法有 (种).
故答案为: 85
13.
设 ,
则 ,
等式左侧为 3 的倍数, 为 3 的倍数,
所以 也为 3 的倍数,
故 为大于 1 的奇数,所以 .
故答案为: .
14.
根据对数恒等式 ,有 ,令 ,整理得 ,又 ,则 .
令 ,因为 ,则 ,即 ,令 .
当 时, ,则 ,不存在零点;
当 时, ,即 0 不是函数 的零点;
当 时,由 ,且 ,得
所以 在 上单调递减,又因 时, ,
故 是 的唯一零点,则 是函数 的唯一零点.
故答案为: .
15. (1)
(2)
(1)依题意， ，解得 ，所以
当 时, ,
当 时， ，满足上式，
综上所述， .
(2)由(1)得 ,故 ，
故 ,
故 ,
两式相减可得,
,
则 .
16.
(2)
(1) 当 时,则 ,
可得 ,
即切点坐标为 ,切线斜率 ,
所以切线方程为 ,即 .
(2)解法一:因为 的定义域为 ，且 ，
若 ,则 对任意 恒成立,
可知 在 上单调递增,无极值,不合题意;
若 ,令 ,解得 ; 令 ,解得 ;
可知 在 内单调递减,在 内单调递增,
则 有极小值 ,无极大值,
由题意可得: ,即 ,
构建 ,则 ,
可知 在 内单调递增,且 ,
不等式 等价于 ,解得 ,
所以 的取值范围为 ;
解法二: 因为 的定义域为 ,且 ,
若 有极小值,则 有零点,
令 ,可得 ,
可知 与 有交点,则 ,
若 ,令 ,解得 ; 令 ,解得 ;
可知 在 内单调递减,在 内单调递增,
则 有极小值 ,无极大值,符合题意,
由题意可得: ,即 ,
构建 ,
因为则 在 内单调递增,
可知 在 内单调递增,且 ,
不等式 等价于 ,解得 ,
所以 的取值范围为 .
17. (1) ；(2)存在； ， .
解: (1) 由题意可知 , 所以 ,
所以曲线 为以 为焦点的椭圆,且 , 所以曲线 的方程为 .
(2)假设存在，由题意知直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ,消去 整理得, ,
则 ,
所以
,
因为 ,
所以 ,所以 ,得 ,
所以存在 使 成立.
18. (1) (i) ; (ii)
(2)存在,
(1)(i) ，
又 是定值， 当三棱锥体积 最大时即高 最大，
即点 为半圆弧 的中点
设线段 的中点为 ,以 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 .
则 ,则 ,令 ,得 ,
则 .
因为 平面 平面 ,
又 平面 ,
平面 是平面 的法向量.
设平面 与平面 所成角的平面角为 ,则 .
平面 与平面 所成角的余弦值为
(ii) 将面 与面 绕 旋转,展开成平面图,连接 , 如图所示,此时 最小,即为 长,
由题意可知 ， ， ，
所以 ,
再由余弦定理可知 ,
即 的最小值为 .
(2)结合(1)可设 ，
所以 ,
平面 的法向量为 ,
设 为直线 与平面 所成角,
当直线 与平面 所成角最大时, 取最大值,
令 ,
则 ,
当且仅当 时, 取最大值,此时直线 与平面 所成角最大,
即存在点 ,使得直线 与平面 所成角最大.
19. (1)设“甲第 次在 处投进”为事件 ，“甲第 次在 处投进”为事件 ，
,依题意, 的可能取值为0,2,3,4.
所以 的概率分布为
0 2 3 4
1 5 1 5
(分).
(2)当 时，甲第 次在 处投篮分两种情形:
① 第 次在 处投篮且投进,这种情形概率为 ;
② 第 次在 处投篮且未投进，这种情形概率为 .
所以 ,
故 ,
因为 ,
所以 是以 为首项, 为公比的等比数列.
所以 ,
即 .
(3)因为第 次在 处投篮的概率为 ，在 处投篮的概率为 ， 记第 次得分 ,则 的可能取值为0,2,3,
所以 ,
因为 ,
所以
因为 ,
所以 .
满分:150 分 时间:120 分钟
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 为 的共轭复数，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知集合 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知角 的终边经过点 ，且 ，则 ()
A. B. C. D.
5. 已知一个圆锥与一个圆台的高相等，圆锥的底面积和圆台的一个底面的面积相等. 若圆台的体积是圆锥的体积的 7 倍, 则圆台的上、下底面的面积之比为( )
A. B. C. D.
6. 在一定条件下,大气压强 (单位: 百帕) 随海拔高度 (单位: 米) 的变化满足如下函数关系式: 为正常数 . 已知海拔高度 0 米处的大气压强为 1000 百帕,海拔高度 10000 米处的大气压强为 250 百帕，那么，若大气压强增加 1 倍，则海拔高度降低 ( )
A. 100 米 B. 2500 米 C. 5000 米 D. 7500 米
7. 已知 的内角 的对边分别为 ，且面积为 . 若 且 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 已知 分别是双曲线 的左、右焦点,点 在双曲线上, ,圆 ,直线 与圆 相交于 两点,直线 与圆 相交于 两点. 若四边形 的面积为 ,则 的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的四 个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有 选错的得 0 分.
9. 经验表明,一般树的胸径 (树的主干在地面以上 处的直径) 越大,树就越高. 在研究树高 与胸径 之间的关系时,某同学收集了某种树的 5 组观测数据 (如下表):
胸径 8 9 10 11 12
树高 8.2 10 11 12 13.8
假设树高 与胸径 满足的经验回归方程为 ,则()
A.
B. 当胸径 时,树高 的预测值为 14
C. 表中的树高观测数据 的 40% 分位数为 10
D. 当胸径 时,树高 的残差为 -0.32
10. 已知函数 的最小正周期为 ，则下列结论正确的是( )
A.
B. 函数 的最大值为
C. 函数 的图象关于点 对称
D. 函数 在 上单调递增
11. 已知 两点的坐标分别为 为坐标平面内的动点,直线 的斜率之和为定值 . 设动点 的轨迹为 ,则()
A. 轨迹 关于直线 对称
B. 轨迹 关于原点对称
C. 当 时,轨迹 为一条直线
D. 当 时,轨迹 存在渐近线
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 某城市有 10 个著名的地标建筑, 文旅部门要从中选取 3 个作为城市名片进行特色文化宣传，且甲、乙、丙 3 个建筑中至少选 1 个，那么共有_____种不同的选法.
13. 已知集合 ,将 中所有元素按从小到大的顺序构成数列 ，则数列 的通项公式为_____.
14. 函数 的零点为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分
15. 已知数列 的前 项和为 ,其中 .
(1)求 的值以及数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
16. 已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于 0，求 的取值范围.
17. 已知圆 ,圆 . 当 变化时,圆 与圆 的交点 的轨迹为曲线 ,
(1)求曲线 的方程；
(2)已知点 ，过曲线 右焦点 的直线交曲线 于 、 两点，与直线 交于点 ,是否存在实数 ,使得 成立,若存在,求出 ; 若不存在, 请说明理由.
18. 在如图所示的圆柱中,轴截面是边长为 4 的正方形,点 为底面半圆弧 上的动点 (点 不与点 重合).
(1)当三棱锥 体积最大时，
(i) 求平面 与平面 所成角的余弦值;
(ii) 点 在线段 上运动,求 的最小值.
(2)是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角最大？若存在，求成角最大时的正弦值; 若不存在,请说明理由.
19. 某次投篮游戏,规定每名同学投篮 次 ,投篮位置有 两处,第一次在 处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进， 则下一次投篮位置不变. 在 处每次投进得 2 分,否则得 0 分; 在 处每次投进得 3 分,否则得 0 分. 已知甲在 两处每次投进的概率分别为 ,且每次投篮相互独立. 记甲第 次在 处投篮的概率为 ,第 次投篮后累计得分为 .
(1)求 的分布列及数学期望；
(2)求 的通项公式；
(3)证明: .
参考公式: 若 是离散型随机变量,则 .
1. C
因为 ,
所以 ,
则 .
故答案为: C.
2. D
已知 ,因此: ,
3. A
① 若 ,则 ,
所以 ” 是 “ ” 的充分条件;
②若 ，则 或 ，解得 或 或 .
当 时, ,符合题意;
当 时, ,符合题意;
当 时， ，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去，
所以 或 ,所以 ” 是 “ ” 的不必要条件,
所以由①②可知， ”是“ ”的充分不必要条件，
故选: A
4. A
因为角 的终边经过点 ,所以 ,
因为 ,
所以 ,
又 ,所以 ,
所以 ,
所以
.
故选: A
5. B
设圆锥的底面面积为 ,圆台另一个底面的面积为 ,高为 ,
则圆台的体积为: ，圆锥的体积为: ，
由题意可知: ,
即: ,变形可得: ,
解得: (负值舍去),则 .
故选: B
6. C
由题意可得 ,
所以 ,
设大气压强从 250 百帕增加 1 倍到 500 百帕,海拔高度降低 米,
则 ,所以 ,
所以 ,即 ,
所以 ,所以 .
故选: C.
7. A
在 中, ,而 , 由 ,得 ,又 ,则 , 由正弦定理得 ,解得 ,由 ,得 , 所以 .
8. D
根据对称性不妨设点 在第一象限,如图所示,
圆 ,圆心为 ,半径为 ,
设 ,点 在双曲线上, ,则有 ,可得 ,
过 作 的垂线,垂足为 为 的中点,则 ,
同理, ,由 ,
四边形 的面积为 ,
,化简得 ,则有
,则 的离心率 .
故选: D
9. AD
选项 A : ,把点 代入经验回归方程为 ,则 ,故 A 正确;
选项 B: 当 时, ,故 B 错误;
选项 C : 数据排序后为8.2,10,11,12,13.8共 5 个数据,由 ,
的 40% 分位数对应第 2 和第 3 个数据的平均值: ,故 错误;
选项 D : 当 时,预测值 ,残差为 ,故 D 正确.
故选: AD.
10. ACD
因为函数 ,所以
对于 : 函数 的最小正周期为 ,所以 ,所以 选项正确;
对于 : 函数 的最大值为 选项错误;
对于 ，计算得 ， ，函数 的图象关于点 对称， 所以函数 的图象关于点 对称, 选项正确;
对于 D: ,所以 单调递增,所以函数 在 上单调递增, 选项正确.
故选: ACD.
11. BD
设 ,因为 两点的坐标分别为 ,
所以 ,所以由题意得 ,
化简整理得 ①，
对于 ,用 代入方程①得 ,与原方程不一致,
所以轨迹 不关于直线 对称,故 错误;
对于 ,用 代入方程①得 ,与原方程一致,
故轨迹 关于原点对称，故 正确；
对于 ,当 时,轨迹方程为 ,所以 或 ,
所以轨迹 为直线 ,或直线 中去掉 的部分,故 错误;
对于 ,当 时,轨迹方程化为 ,
当 或 时, ,即 是渐近线,故 正确.
故选: BD.
12. 85
从 10 个地标建筑中选取 3 个,共有 种,
若不选甲、乙、丙这 3 个地标建筑,即从剩下的 7 个中选 3 个,有 种选法,
所以满足条件的选法有 (种).
故答案为: 85
13.
设 ,
则 ,
等式左侧为 3 的倍数, 为 3 的倍数,
所以 也为 3 的倍数,
故 为大于 1 的奇数,所以 .
故答案为: .
14.
根据对数恒等式 ,有 ,令 ,整理得 ,又 ,则 .
令 ,因为 ,则 ,即 ,令 .
当 时, ,则 ,不存在零点;
当 时, ,即 0 不是函数 的零点;
当 时,由 ,且 ,得
所以 在 上单调递减,又因 时, ,
故 是 的唯一零点,则 是函数 的唯一零点.
故答案为: .
15. (1)
(2)
(1)依题意， ，解得 ，所以
当 时, ,
当 时， ，满足上式，
综上所述， .
(2)由(1)得 ,故 ，
故 ,
故 ,
两式相减可得,
,
则 .
16.
(2)
(1) 当 时,则 ,
可得 ,
即切点坐标为 ,切线斜率 ,
所以切线方程为 ,即 .
(2)解法一:因为 的定义域为 ，且 ，
若 ,则 对任意 恒成立,
可知 在 上单调递增,无极值,不合题意;
若 ,令 ,解得 ; 令 ,解得 ;
可知 在 内单调递减,在 内单调递增,
则 有极小值 ,无极大值,
由题意可得: ,即 ,
构建 ,则 ,
可知 在 内单调递增,且 ,
不等式 等价于 ,解得 ,
所以 的取值范围为 ;
解法二: 因为 的定义域为 ,且 ,
若 有极小值,则 有零点,
令 ,可得 ,
可知 与 有交点,则 ,
若 ,令 ,解得 ; 令 ,解得 ;
可知 在 内单调递减,在 内单调递增,
则 有极小值 ,无极大值,符合题意,
由题意可得: ,即 ,
构建 ,
因为则 在 内单调递增,
可知 在 内单调递增,且 ,
不等式 等价于 ,解得 ,
所以 的取值范围为 .
17. (1) ；(2)存在； ， .
解: (1) 由题意可知 , 所以 ,
所以曲线 为以 为焦点的椭圆,且 , 所以曲线 的方程为 .
(2)假设存在，由题意知直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ,消去 整理得, ,
则 ,
所以
,
因为 ,
所以 ,所以 ,得 ,
所以存在 使 成立.
18. (1) (i) ; (ii)
(2)存在,
(1)(i) ，
又 是定值， 当三棱锥体积 最大时即高 最大，
即点 为半圆弧 的中点
设线段 的中点为 ,以 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 .
则 ,则 ,令 ,得 ,
则 .
因为 平面 平面 ,
又 平面 ,
平面 是平面 的法向量.
设平面 与平面 所成角的平面角为 ,则 .
平面 与平面 所成角的余弦值为
(ii) 将面 与面 绕 旋转,展开成平面图,连接 , 如图所示,此时 最小,即为 长,
由题意可知 ， ， ，
所以 ,
再由余弦定理可知 ,
即 的最小值为 .
(2)结合(1)可设 ，
所以 ,
平面 的法向量为 ,
设 为直线 与平面 所成角,
当直线 与平面 所成角最大时, 取最大值,
令 ,
则 ,
当且仅当 时, 取最大值,此时直线 与平面 所成角最大,
即存在点 ,使得直线 与平面 所成角最大.
19. (1)设“甲第 次在 处投进”为事件 ，“甲第 次在 处投进”为事件 ，
,依题意, 的可能取值为0,2,3,4.
所以 的概率分布为
0 2 3 4
1 5 1 5
(分).
(2)当 时，甲第 次在 处投篮分两种情形:
① 第 次在 处投篮且投进,这种情形概率为 ;
② 第 次在 处投篮且未投进，这种情形概率为 .
所以 ,
故 ,
因为 ,
所以 是以 为首项, 为公比的等比数列.
所以 ,
即 .
(3)因为第 次在 处投篮的概率为 ，在 处投篮的概率为 ， 记第 次得分 ,则 的可能取值为0,2,3,
所以 ,
因为 ,
所以
因为 ,
所以 .
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