沈阳市回民中学 2024 级高二下学期期初考试 数学
试卷满分:150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线 与 垂直，则实数 的值为( )
A. B. C. 1 D. -2
2. 已知空间向量 ，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3. 已知数列 满足 ，则 的值为( )
A. -1 B. C. 2 D. 5
4. 甲、乙、丙等 5 人站成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙相邻的排法有( )
A. 24 种 B. 36 种 C. 42 种 D. 48 种
5. 已知某批矿物晶体中含有大量水分子, 且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为 6: 3:1. 现利用仪器从一块矿物晶体中分离出 3 个水分子, 用频率估计概率, 则至少分离出 2 个轻水分子的概率为( )
A. B. C. D.
6. 已知等比数列 的前 项和为 ,且满足 ,则数列 的前 10 项和为( )
A. B. C. D.
7. 某农科所在甲、乙、丙三个地块培育同一种苗, 甲地块培育的一等种苗占比 95%，乙地块培育的一等种苗占比 80%，丙地块培育的一等种苗占比 70%，甲、乙、丙培育的种苗数分别占总数的 40%、30%、30%，将三个地块培育的种苗混放在一起. 从这批种苗中随机抽取一株, 它是一等种苗的概率为( )
A. 0.7 B. 0.72 C. 0.8 D. 0.83
8. 双曲线 的左顶点为 ,右焦点 ,过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支交于点 ,若 ,且 ,则双曲线的离心率为( )
A. B. 2
C. D. 3
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知随机变量 ,若 ,则 ( )
A. B.
C. D.
10. 记圆 ,圆 ,则( )
A.
B. 若坐标原点在圆 上,则点 在圆 上
C. 若圆 与圆 内切,则
D. 当 时,圆 与圆 的相交弦方程为
11. 已知抛物线 的焦点 ， ， 为抛物线上的两个动点， 为线段 的中点， ，则( )
A.
B. 若 ，则点 到准线的距离为 4
C. 的最小值为 4
D. 若 ,则
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 设等差数列 的前 项和为 . 若 ，则 _____.
13. 某多功能体育场馆决定承包举办马术、击剑、游泳、跑步四项比赛. 应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻, 游泳比赛不在第一场也不在最后一场, 则不同的比赛方式共有_____种.
14. 椭圆具有特殊的光学性质: 从椭圆的一个焦点出发的光线, 经椭圆反射后, 反射光线经过椭圆的另一个焦点. 对于椭圆 ,其左、右焦点分别是 为椭圆 上任意一点, 面积的最大值为 ,椭圆 在点 处的切线为 ,过点 且与 垂直的直线与椭圆的长轴交于点 ( 与 不重合)，且 ，若 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知 的展开式中第 3 项与第 项的二项式系数之和为 30 .
(1)求 的值；
(2)记 ，从 中任取两个相乘，求积为负数的概率.
16. 某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了 100 名学生的物理成绩, 整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计该地区本次物理测试的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);
(2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前 60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？(结果保留整数)
(3)从成绩位于区间 和 的答卷中，采用分层抽样随机抽取 7 份，再从这 7 份中随机抽取 3 份,设成绩在 的答卷份数为随机变量 ,求 的分布列及数学期望.
17. 如图,在四棱锥 中, 底面 ,底面 是直角梯形, , ,点 是棱 上的动点,且 .
(1)若 ，证明: 平面 ；
(2)若 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
18. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.
(1)为了更好了解乡村居民对新能源汽车的接受程度，某乡村汽车协会依据年龄采用分层随机抽样的方式, 从 40 岁以下和 40 岁及以上两个年龄层中各抽取 80 名村民进行调查, 并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据:
选择新能源汽车 选择传统汽车 总计
40 岁以下 56 80
40 岁及以上 36 80
总计 160
完成 列联表,并判断是否有 99% 的把握认为选择新能源汽车与年龄有关;
(2)为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量 (单位:万台)关于年份 的线性回归方程 ，且销售量 的方差为 ,年份 的方差为 . 求 与 间的样本相关系数 ,并据此判断该地区新能源汽车销售量 与年份 的线性相关性强弱.
附:(i) 在线性回归方程 中, ;
(ii) 样本相关系数 ,若 ,则可判断 与 线性相关性较强;
(iii) ,其中 .
参考数据:
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19. 《文心雕龙》有语:“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立，”意指自然界的事物都是成双成对的. 已知动点 到定点 的距离和它到定直线 的距离的比值是常数 且 ) 设点 的轨迹为曲线 ,若某条直线上存在这样的点 ,则称该直线为“齐备直线”.
(1)若 ，求曲线 的方程；
(2)若“齐备直线” 与曲线 相交于 、 两点，点 为曲线 上不同于 、 的一点，且直线 ， 的斜率分别为 ， ，判断是否存在 ，使得 取得最小值， 说明理由;
(3)若 ，与曲线 有公共点 的“齐备直线” 与曲线 的两条渐近线分别交于点 、 ， 且 为线段 的中点,求证: 直线 与曲线 有且仅有一个公共点.
1. B
因为直线 与 垂直, 所以 ,即 ,解得 .
2. C
在 上的投影向量为 .
故选:
3.
由 ,
则 ,
所以 ,
所以数列 是周期为 3 的周期数列,
对 2026 做除法得: ,即 2026 除以 3 余 1,
因此 .
4. B
将甲、丙进行捆绑，形成一个“大元素”，再将这个“大元素”与其他 3 个人进行排序， 共有 种排法.
接下来考虑甲与乙、丙都相邻的情形，
需将甲、乙、丙进行捆绑，且甲位于中间，
然后将这个“大元素”与其他 2 个人进行排序，此时共有 种排法.
综上,共有 种不同的排法.
故选: B.
5. D
设事件 “至少分离出 2 个轻水分子”,
由题意知分离出 1 个轻水分子的概率为 ,
分离出 1 个非轻水分子的概率为 ,
所以 ,
故至少分离出 2 个轻水分子的概率为 .
故选: D.
6. D
因为 ,所以当 时,有 ,
两式相减: ,即 ;
当 时， ，
因为 为等比数列,所以 ,代入可得 ,
数列 是首项为 3、公比为 3 的等比数列,
所以前 10 项和为 .
故选: D
7. D
记事件 表示“随机抽取一株是一等种苗”,
事件 表示“抽取的种苗来自甲地块”,
事件 表示“抽取的种苗来自乙地块”,
事件 表示“抽取的种苗来自丙地块”,
则 ,
由全概率公式
,
因此从这批种苗中随机抽取一株, 它是一等种苗的概率为 0.83 .
故选: D
8.
过 作 垂直 轴于点 ,作 垂直双曲线的准线 于点 ,如图:
由题意 ，所以 ，
所以 , ,所以 ,
又 ,所以 ,所以 ,
所以 ,即 ,又 ,所以 ,化简得 ,所以 ,所以 .
故选: B
9. AB
因为随机变量 ,所以 ,故 A 正确;
,故 B 正确;
因为随机变量 ,所以 ,
则 ,故 C 错误;
又 ,故 D 错误.
故选: AB.
10. ABD
A 选项,圆 的圆心为 ,圆 的圆心为 ,
则 ，A 正确；
B 选项，若坐标原点在圆 上，则 ，故 ，
故圆 的方程为 ，
将 代入可得 ，故点 在圆 上， 正确；
选项,圆 的圆心为 ,半径为 ,圆 的圆心为 ,半径为 ,
由 知, ,
若圆 与圆 内切,则 ,解得 , 错误;
D 选项, 时,圆 ,圆 ,
两圆相减得 ， 正确.
故选: ABD
11. ACD
对于 ,因为抛物线的焦点 ,所以 ,得 ,故 正确;
对于 ,分别过点 作准线的垂线,垂足为 ,
则由抛物线的定义可知 ,
因为 为线段 的中点,所以点 到准线的距离为 ,故 错误;
对于 ,因为 ,
则当 三点共线时, 有最小值 ,故 正确;
延长 交准线于点 ，由 以及抛物线定义可知， ，
则 为 的中位线，
设 ,则 ,
由相似关系可知, ,则 ,得 ,故 ,故 正确.
故选: ACD
12. 52
.
故答案为: 52
13. 8
对游泳比赛的安排进行分类讨论:
①若游泳比赛安排在第二场，为保证马术、跑步不相邻，
则第一场安排马术比赛或跑步比赛, 剩余两项比赛的安排无限制,
此时不同的安排方法种数为 种;
②若游泳比赛安排在第三场，为保证马术、跑步不相邻，
则第四场安排马术比赛或跑步比赛, 剩余两项比赛的安排无限制,
此时不同的安排方法种数为 种.
综上所述,不同的安排方法种数为 .
故答案为: 8 .
14. 3
由椭圆 ,得椭圆 的短半轴长 ,设该椭圆半焦距为 , 由 面积的最大值为 ，得 ， ，即椭圆 的方程为
由椭圆的光学性质得过点 与 垂直的直线为 的角平分线,而 , 则 ,令 , 则 ,而 , 于是 ,且 , 由 ,得 , 整理得 ,解得 或 ,
当 时, ,点 与 点重合,不符合题意,
所以 .
故答案为: 3
15.
(2)
(1)第 3 项与第 项的二项式系数之和为 ,
即 ,解得 或 -5,
又 ,所以 .
(2)由(1)得 ，则 的通项公式为 ，
所以 ,
所以当 时， ，当 时， ，
所以从 中任取两个相乘,积为负数的概率为 .
16.(1) 由题意 ,解得 ,
则平均分
=74 , 所以该地区本次物理测试的平均分为 74 分.
(2)成绩在 的频率为 0.1 ,
在 的频率为 0.25 ，在 的频率为 0.3 ，
因为 ,
所以选报物理方向的最低分 在 内,则 ,解得 , 所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于 72 分.
(3)由题可知，成绩在区间 的频数为 ，
成绩在区间 的频数为 ,
利用分层抽样,从中抽取 7 份,成绩在 的频数为 ,
成绩在 的频数为 ,
再从这 7 份答卷中随机抽取 3 份, 的所有可能取值为0,1,2,
故 的分布列为:
0 1 2
2 4 7
所以 的数学期望为: .
17. (1)如图连接 交 于点 ,连接
因为 且 ，
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
又因为 平面 平面 ,
所以 平面
(2)如图建立空间直角坐标系,则 ,
则 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量 ,
则 ,即 ,令 ,得 ,
所以 ，解得 或 (舍)
所以 的值为 .
18.
(1)补全 列联表如下:
选择新能源汽车 选择传统汽车 总计
40 岁以下 56 24 80
40 岁及以上 44 36 80
总计 100 60 160
提出零假设为 : 选择新能源汽车与年龄无关.
则 ,
故认为选择新能源汽车与年龄无关;
(2)因为 ,
所以 ,又 ,
所以 ,故 与 线性相关性较强.
19.(1) 当 时,定直线 ,比值为 .
设 ,由已知得 ,
两边平方,整理得 ,即为曲线 的方程.
( 2 )设 ，由已知，得 ，
整理得, ,即为曲线 的方程.
设 ,
则 ,
.
则
当且仅当 ,即 时,等号成立.
所以存在 使得 取得最小值 4 .
(3)由(2)知，当 时，曲线 ，它是焦点在 轴上的双曲线，其渐近线方程为 ,不妨设 在渐近线 上,如图,
设 ,因为直线 与双曲线的两条渐近线分别交于点 ,所以 .
由 ,解得 ,即 ,
同理得 ,所以
代入双曲线方程 ,得 ,
整理得 ,即
解得 (舍) 或
当 时,由 ,消去 得 ,
此时, ,故方程有两个相等的解.
故直线 与曲线 有且仅有一个公共点 .
