辽宁省实验中学2025-2026学年高二下学期期初考试数学试题（含答案）

辽宁省实验中学 2025-2026 学年度高二下学期期初测试卷 数学试卷
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分
一、单选题(共 8 题，每题 5 分，满分 40 分)
1. 抛物线 的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2. 在空间直角坐标系中,已知点 . 以下四个点中,与点 共面的是 ( )
A. B. C. D.
3. 的二项展开式中，第四项的系数是( )
A. -280 B. 560 C. 84 D. -84
4. 在平面直角坐标系 中,已知圆 ,直线 . 若直线 上存在点 ,使得过点 向圆 作的两条切线互相垂直,则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 在 的右支上, 且满足 . 则双曲线 的离心率为( )
A. B.
C. D.
6. 设 ,若 ,则实数 的值为( )
A. 3 或 -1 B. -3 或 1 C. -1 D. 3
7. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线 交抛物线于 两点(点 在第一象限),且满足 ,则直线 的斜率为 ( )
A. B. C. 4 D.
8. 已知椭圆 的上顶点为 ,两个焦点为 ,离心率为 . 过 且垂直于 的直线与 交于 两点， ，则 的周长是( )
A. 24 B. 26 C. D.
二、多选题(共 3 题，每题 6 分，满分 18 分)
9. 已知四边形 为空间四边形,点 分别在边 上,且满足 ，点 满足 ，则下列选项正确的是( )
A. B. 若 ,则点 四点共面
C. 点 可能共线 D. ,则
10. 已知直线 ，则下列选项正确的为 ( )
A. 直线 过定点 B. 当 时, 或
C. 当 时, 和 相交 D. 当 时,两直线 之间的距离为 1
11. 已知 的左、右焦点分别为 ,长轴长为 6,点 在椭圆 外,点 在椭圆 上,则下列说法中正确的有( )
A. 椭圆 的离心率的取值范围是
B. 椭圆 上存在点 使得
C. 已知 ,椭圆 的离心率为 ,则 的最大值为
D. 的最小值为 1
三、填空题(共 3 题，每题 5 分，满分 15 分)
12. 双曲线 的渐近线方程为_____
13. 已知 ,则 _____.
14. 如图， 在平面 内， 是 的斜线，若 ， ，则 与平面 所成角是_____.
四、解答题(共 5 题，满分 77 分)
15. 人工智能社团有 6 位同学, 计划对 ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude 这 4 种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型.
(1)若从社团中选出 5 人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？
(2)若 6 位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案
16. 如图,四棱锥 中, 底面 平面 , .
(1)证明: ；
(2)若点 到平面 的距离为 1，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上的点到焦点的最长距离为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线交椭圆 于 两点， 为坐标原点，直线 与 的斜率之积为 ，求 的面积.
18. 如图，在平面 中， 为正三角形， 为直角三角形，且 . 以 为折痕把 和 向上折起，使点 到达点 的位置，点 到达点 的位置,且满足平面 平面 .
(1)求证: ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
(3)在(2)的条件下，求异面直线 和 的距离.
19. 造型 可以看作图中曲线 的一部分,已知 过坐标原点 ,且 上的点满足横坐标大于 -1,到点 的距离与到定直线 的距离之积为 1 .
(1)求a的值；
(2)当点 在 上时，求证: ; (并指出等号成立的条件)
(3)如图，过点 作两条互相垂直的弦，分别交曲线 于
,其中 . 求四边形 面积的最小值.
1. A
由抛物线 ,可化为其标准方程为 ,
则抛物线 的焦点在 上,且 ,所以抛物线的焦点坐标为 .
2. D
,
因为 不成立,
所以向量 不是共线向量.
A: .
设 ,
则有 ,该方程组无实数解,
假设不成立,因此点 不与 共面;
B: .
设 ,
则有 ,该方程组无实数解,
假设不成立,因此点 不与 共面;
C: .
设 ,
则有 ,该方程组无实数解,
假设不成立,因此点 不与 共面;
D: .
设 ,
则有 ,
假设成立,因此点 与 共面.
3. A
根据二项式展开式,可知第四项为 , 所以第四项的系数是 -280 .
4. D
因为圆心为 ,半径 ,
设两个切点分别为 ,则由题意可得四边形 为正方形,故有 ,
所以圆心到直线 的距离小于或等于 ,
即 ,整理得到 ,解得 ,
所以实数 的取值范围是 .
5. D
因为点 在双曲线 的右支上,所以 ,
又 ,所以 .
在 中， ，
即 ,
所以 ,所以 ,又 ,所以 .
6. C
因为 ,
所以令 ,可得, ,
所以 ,解得 ,
7. B
设抛物线 的准线为 ,
分别过点 作准线的垂线,垂足分别为 ,如图所示,
过点 作 交于点 ,
则 ,因为 ,
则 ,根据 可得 ,
解得 ,
又因为 轴,所以 ,
也即直线 的斜率为 .
8. D
因为椭圆离心率为 ,故 ,则 ,
又 ,故 ,
故 为等边三角形, 为 的垂直平分线,
所以 ,则 的周长等于 ,
其中 ,则 的周长为 ,
直线 的斜率为 ，故直线 的斜率为 ，
故直线 为 ,联立 ,得 ,
又 ,故 ,
设 ,则 ,
故 ,解得 ,
故 ,则 的周长为 .
9. ABD
对于 ,根据空间向量加法规则可知 正确;
对于 ,因为点 满足 ,且 ,所以根据共面向量定理得点 四点共面，B 正确；
对于 ,因为 ,
,
与 不共线,故 不共线,因此 不可能共线, 错误;
对于 ,因为
因为 ,所以 ,则 正确.
10.
直线 方程整理为 ,
由 ,解得 ,因此直线 过定点 正确;
,则 ,解得 或 , B 正确;
由 得 或 ,
所以 且 时, 和 相交, 错;
时,两直线方程分别为 ,两直线平行,它们的距离为
时,两直线方程分别为 和 ,即 和 ,两直线平行,距离为 ,
D 错.
故选: AB.
11. ABC
对于 ,由题意可知 ,所以 ,所以椭圆方程为 ,
因为 在椭圆 外,所以 ,解得 ,
因为 ,所以 ,故 正确;
对于 ,由选项 知 ,所以 ,所以 ,
则以原点为圆心， 为半径的圆与椭圆 有四个交点，
不妨设其中一个交点为 ,由圆的性质可知, ,所以椭圆 上存在点 使得 ，故 B 正确；
对于 ,由离心率 ,所以 ,所以椭圆方程为 ,
设点 ,则
当 时, 有最大值为 ,此时 ,故 正确;
对于
当且仅当 ,即点 位于上下顶点时, 有最小值 ,故 错误.
12.
因为双曲线 的焦点在 轴上, , 所以其渐近线方程为 .
13. 5
由组合数的性质有 ,又 , 所以 ,解得
14.
取 中点 ,连接 .
因为 ，所以 为等边三角形，所以 .
同理可得, .
因为 ，所以 ，所以 为等腰直角三角形，
且 .
又 ,所以 ,所以 为等腰直角三角形,
且 .
在 中, ,所以 .
又 平面 ,
所以 平面 ,所以 即为 与平面 所成的角.
在 Rt 中, ,所以 .
15. (1)1440
(2)240
( 1 )首先，从 6 位同学中选 5 人，有 种选法，
接下来将 5 人分配到 4 种模型, 且每类模型至少 1 人负责,
则 5 人分为: 2 人, 1 人, 1 人, 1 人四组, 有 种方法,
再将这四组对应 4 种模型进行全排列,
不同的调研安排方案有 种.
(2)首先将甲、乙两位同学视为一个整体(一个元素)，
此时相当于 5 个元素分配到 4 种模型,每类模型至少有一人,
即分成元素个数分别为“2,1,1,1”四组，则有 种方法,
再将这四组对应 4 种模型进行全排列,有 种方法,
所以, 若 6 位同学都同时参与调研, 且甲、乙两位同学调研同一种模型,
共有 种不同的安排方案.
16.(1)因为 底面 平面 ，
所以 ,
因为 平面 ,
所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 ,
因为 平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 ,
所以 .
(2)由(1)可知， 两两垂直，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示坐标系.
方法 1:
过点 作 ,交 于点 ,
因为 底面 , 平面 ,所以 ,
因为 ,所以 平面 ,
又点 到平面 的距离为 1,所以 ,
在 Rt 中 ,由 可得 ;
设 ,则 ,即 ,解得 ;
因此 为 的中点, ,所以 .
可得 ,
所以 .
设 是平面 的法向量,则 ,
即 ,取 ,则 ,
所以 是平面 的一个法向量.
因为 平面 ,所以 是平面 的一个法向量.
设平面 与平面 的夹角为 ,则 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
方法 2:
,设 ,则
易知 ,
设平面 的法向量为 ,
所以 ,解得 ,令 ,则 ;
可求得平面 的法向量为 ,则 ,得 .
因此 ,又 ,
所以 .
设 是平面 的法向量,则 ,
即 ,取 ,则 ,
所以 是平面 的一个法向量.
因为 平面 ,所以 是平面 的一个法向量. 设平面 与平面 的夹角为 ,则 , 所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. ;
(2)
(1)由题意得 ，解得 ，
,
椭圆 的方程为 .
(2)当直线 斜率不为零时,设直线 的方程为: ，
联立 ,消元得 ,
由韦达定理得: ,
已知 ，即 ，
则 ,
代入韦达定理化简得, ,
又
,
则 ,
当直线 斜率为零时,设其方程为 ,
联立 ,解得 ,
设 在左侧,则 ,
由 ,则 ,
解得 ,此时 ,
则 ，
所以 的面积是 .
18.(1)取 中点 ，连接 ， ，
因为 ，则 ，
故 ,
因为 平面 ,所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 .
(2)因为 为直角三角形，且 ，
所以 ，又因为 为等边三角形，
所以 ，而 ，则 为等边三角形，
取点 为 中点，则 ，
,
则 ,又 平面 ,
平面 ,即 四点共面,
又 平面 ,
所以 ,又 平面 ,
所以 平面 ,
过点 作 交 于点 ,则 ,
以 为坐标原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴,建立空间直角坐标系,
则 ,
可得 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,得 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(3)由(2)得 ,
设 为 和 的公垂线的方向向量,
则 ,令 ,得 ,
则异面直线 和 的距离为 .
19.(1) 因为曲线 过坐标原点 ,可得原点 到直线 的距离为 , 又因为点 ,可得 ,所以 ,解得 .
(2)由(1)知 ，即定直线的方程为 ，
即曲线 上的点 到点 的距离与到定直线 的距离之积为 1,
所以曲线 的方程为 ,整理得 ,
因为点 在 上时,可得 ,
则 ,所以 ,
当且仅当 时,等号成立,所以 .
(3)因为曲线 满足 ，所以 ，
当直线 的斜率为 0 时,则直线 的斜率不存在,
令 ,可得 ,则 ;
令 ,可得 ,则 ;
此时四边形 面积为 ;
当两直线的斜率均存在时且不为 0 时,设直线 的斜率为 ,倾斜角为 ,
不妨设 ,可得 ,直线 的方程为 ,其中 ,
直线 的方程为 ,联立 ,
整理得 ,则 ,且
所以 ,则 ,
此时
,
同理可得: ,
所以 ,
令 ,设 ,
因为 ,可得 ,可得 且 ,即 , 所以 ,由二次函数的性质,得 在 上为单调递增函数,
所以当 时, ,此时 ,
综上可得四边形 面积的最小值为 .