辽宁鞍山市海城市高级中学2025-2026学年度下学期高二期初考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁鞍山市海城市高级中学2025-2026学年度下学期高二期初考试数学试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 222.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-13 00:00:00 | ||
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文档简介
海城高中 2025-2026 学年度下学期高二期初考试 数学试卷
时间:120 分钟 满分:150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 在平面直角坐标系 中,直线 在 轴上的截距为( )
A. -3 B. 3
C. D.
2. 在空间直角坐标系 中,已知点 ,若点 关于 轴对称的点为 , 点 关于平面 对称的点为 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 为了研究物理成绩 与数学成绩 之间的关系,随机抽取 100 名学生的成绩,用最小二乘法得到 关于 的线性回归方程为 ,则样本点 的残差为 ( )
A. 2.5 B. -3.5 C. 3.5 D. -2.5
4. 已知圆: ,且圆上到直线 的距离为 1 的点恰有 3 个,则 的值为( )
A. -1 B. -1或 9 C. 1 或 9 D. 9
5. 若曲线 与直线 有两个交点，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 若 ,则 ( )
A. -56 B. -28 C. 28 D. 56
7. 已知抛物线 的焦点为 ,直线 与 交于 两点,且 ,则直线 倾斜角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8. 已知点 在双曲线 上， 到两渐近线的距离分别为 为双曲线的一个焦点,且 到双曲线渐近线的距离为 ,若 恒成立,则双曲线 的离心率的最小值为 ( )
A. B. C. 2 D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 直线 的一个方向向量为 ,则直线 的斜率等于 -2
B. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件
C. 当点 到直线 的距离最大时, 的值为 -1
D. 已知直线 过定点 且与以 为端点的线段有交点,则直线 的斜率 的取值范围是
10. 下列各式正确的是( )
A. 已知 ，则 的取值为 6 或 7
B.
C. 的展开式中 的系数为 -14
D. 将 8 个相同小球放入 4 个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有 70 种不同放法
11. 已知正方体 棱长为 2,如图, 为 上的动点, 平面 . 下面说法正确的是( )
A. 直线 与平面 所成角的正弦值范围为
B. 点 与点 重合时,平面 截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大
C. 点 为 的中点时,若平面 经过点 ,则平面 截正方体所得截面图形是等腰梯形
D. 已知 为 中点，当 的和最小时， 为 的中点
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 _____.
13. 设 ,且 ,若 能被 13 整除,则 等于_____.
14. 已知点 是椭圆 和双曲线 的公共焦点, 是它们在第一象限的一个公共点, 且 ,若 和 的离心率分别为 ,则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知双曲线 与双曲线 的渐近线相同,且经过点 . (1)求双曲线 的方程；
(2)若斜率为 的直线 过双曲线的左焦点,分别交双曲线于 、 两点，求证:
.
16. 某组织对男、女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查, 调查组随机调查了 200 名青年, 整理得到如下列联表:
单位:人
性别 喜爱古典音乐情况 合计
喜爱 不喜爱
女 90 20 110
男 60 30 90
合计 150 50 200
(1)依据小概率值 的独立性检验，判断能否认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关
(2)现从样本喜爱古典音乐的青年中利用分层(按性别分层)随机抽样的方法抽取 5 名青年进行合影留念, 并从这被抽取的 5 名青年中随机邀请 3 名青年参加某古典艺术歌曲音乐会, 记被邀请参加某古典艺术歌曲音乐会的女青年人数为 ,求 的分布列和数学期望.
附:
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
,其中 .
17. 如图,在四棱锥 中, 平面 ,四边形 为等腰梯形,
(1)求证: 平面 ( 2 )若二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 经观测,长江中某鱼类的产卵数 与温度 有关,现将收集到的温度 (单位: ) 和产卵数 的 10 组观测数据作了初步处理,得到如图所示的散点图及一些统计量表.
360 54.5 1360 44 384
3 588 32 6430
表中 .
(1)根据散点图判断， ， 与 哪一个适宜作为 与 之间的回归方程模型 (给出判断即可,不必说明理由),并求出 关于 的回归方程;
(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有 5 个鱼卵，其中“死卵”有 2 个；第二批中共有 6 个鱼卵，其中“死卵”有 3 个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出 2 个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.
附:对于一组数据 ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 .
19. 如图,已知点 和点 在双曲线 上,双曲线
的左顶点为 ,过点 且不与 轴重合的直线 与双曲线 交于 两点,直线 与圆 分别交于 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值；
(3)证明:直线 过定点.
1. A
由截距的概念,令 ,可得 ,
即 ,
故直线 在 轴上的截距为 -3,
故选: A
2. A
由题意可得 ,则 .
故选: A.
3. D
将 代入 得 ,
则样本点 的残差为 .
故选: D
4. B
由题意可知,圆的圆心 ,圆的半径 ,
圆上到直线 的距离为 1 的点恰有 3 个,如图所示,
圆心到直线的距离为 1,即 解得 或 .
故选: B.
5. D
由题意得,直线 可化为 ,
可得直线过定点 ,将曲线 化为 ,
则曲线表示以原点为圆心,半径为 2,且位于 轴上方的半圆,
如图所示,当直线过点 时,
直线 与曲线有两个不同的交点,此时 ,
当直线 过点 且与半圆相切于 点时,
若直线与曲线只有一个交点,由 ,解得 ,即 ,
若曲线 与直线 有两个交点,结合图形可得 ,
则实数 的取值范围是 .
故选: D
6. C
令 ,则原等式化为 , 所以 .
故选:
7.
设 .
由抛物线方程 可知其焦点坐标为 .
由 可知 三点共线,即直线 过抛物线的焦点 ,
且直线 的斜率必存在,设直线 的斜率为 ,其倾斜角为 ,则 .
则直线 的方程为 ,将其代入抛物线方程 ,
消去 ,可得 ,则有 .
又由 ,可得 ,即 ,
联立 ,因为 ,所以解得 ,或 (舍去),所以
所以直线 的斜率 .
所以 ,解得 .
因为 ,所以 .
所以直线 的倾斜角的正弦值为 .
故选: D
8. B
设 ,则双曲线的渐近线方程为 ,
因此 ,
故 ,
由于 在双曲线上,故 ,即 ,
因此 ,
由于 ,
由 可得 ,故 ,故离心率的最小值为 ,
故选: B
9. ACD
对于 ,因为直线 的一个方向向量为 ,则直线 的斜率等于 ,所以 正确;
对于 ,由直线 与直线 互相垂直,
可得 ,即 ,解得 或 ,
所以 “ ” 是 “直线 与 互相垂直” 的充分不必要条件,所以 错误;
对于 ,因为直线 ,可化为 ,
由 ,解得 ,即直线 恒过定点 ,
当直线 与直线 垂直时,点 到直线 的距离最大,
所以 ,解得 ,所以 正确;
对于 ,因为 ,可得 ,
如图所示,要使得过定点 的直线 与以线段 有交点,
则满足 或 ,所以直线 的斜率 的取值范围是 ,所以 正确.
10.
对于 A,由题意得 或 ,解得 或 6 ; 故 A 正确对于 ,由 ,
所以 ,故 B 正确;
对于 的展开式中 的系数为 ,故 正确;
对于 ,将 8 个相同小球放入 4 个不同盒子中,每个盒子至少放一个小球,采用隔板法 , 故 D 错误.
11. AC
对于 选项,以点 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ,则点 、设点 ,
平面 ,则 为平面 的一个法向量,
且 ,
所以,直线 与平面 所成角的正弦值范围为 选项正确;
对于 选项，当 与 重合时，连接 、 、 、 ，
在正方体 中, 平面 平面 ,
四边形 是正方形,则 平面 ,
平面 ,同理可证 ,
平面 ,
易知 是边长为 的等边三角形,其面积为 ,周长为
设 分别为棱 的中点,
易知六边形 是边长为 的正六边形,且平面 平面 ,
正六边形 EFQNGH 的周长为 ，面积为 ，
则 的面积小于正六边形 的面积，它们的周长相等，B 选项错误；
对于 选项,设平面 交棱 于点 ,点 ,
平面 平面 ,
即 ,得 ,
所以,点 为棱 的中点,同理可知,点 为棱 的中点,则 , 而 且 ,
由空间中两点间的距离公式可得 ,
,
所以，四边形 为等腰梯形，C 选项正确；
对于 选项，将矩形 与矩形 延展为一个平面，如下图所示:
若 最短,则 三点共线,
,
,所以,点 不是棱 的中点, D 选项错误.
故选: AC.
12. 0.3
因为随机变量 服从正态分布 ,由 ,可得 , 所以 , 所以 ,
故答案为: 0.3
13. 12
解: ,且 ,
, 能被 13 整除,
能被 13 整除,
,
.
故答案为: 12 .
14.
设椭圆 和双曲线 的方程分别为 , 所以 ,可得 ,
设椭圆 的半焦距为 ,因为 ,
所以 ,即 ,
化简得 ,即 ,即 ,
令 ,则 ,取 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,故 ,
则 ,
时, ,
因为 ,
所以 ,所以 ,
所以 .
故答案为:
15.(1) 因为双曲线 与双曲线 的渐近线相同,
所以可设 ,又双曲线 过 ,
所以 ,则 ,即 ,
所以双曲线 的方程为 .
(2)证明: 设 ，
又 ,所以左焦点 ,则 ,
则 ,
所以 .
16.(1)零假设 : 喜爱古典音乐与青年的性别无关，
由数表中数据经计算得 ,
依据小概率值 的独立性检验,没有充分证据拒绝零假设,
即不能认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关.
(2)抽取的 5 人中，喜爱古典音乐的男青年有 人，喜爱古典音乐的女青年有 人,
故 的所有可能值为1,2,3,
所以 的分布列为:
1 2 3
3 5
数学期望 .
17.(1)过 作 ，由题意可得 是平行四边形，所以
又因为 ,所以 ,
又因为四边形 为等腰梯形,所以 ,
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由勾股定理逆定理得 ，
平面 平面 ,
平面 平面
平面
(2)以 为坐标原点，过 作 垂直于 ，以 所在的直线为 轴， 轴， 轴,建立坐标系,
则
设 ,则 ,
设面 的一个法向量为
令 ,则 ,于是
设平面 的一个法向量为 ,则
令 ,则 ,所以平面 的一个法向量为 ,
于是 ,解得 .
所以 ,
所以 .
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
18.(1) 根据散点图判断,看出样本点分布在一条指数函数的周围,所以 适宜作为 与 之间的回归方程模型.
令 ,则 ,
所以 ,
所以 关于 的回归方程为 .
(2)由题意设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为 ，则 的可能取值为 0，
1,2,
设 “所取两个鱼卵来自第 批” ,
所以 ,
设 “所取两个鱼卵有 个‘死卵” ,
由全概率公式得
所以取出 “死卵” 个数的分布列为
0 1 2
3 5
所以 ,
所以取出 “死卵” 个数的数学期望为 .
19.(1)因为点 和点 在双曲线上， 所以 ,解得 ,所以双曲线 的标准方程为 .
(2)由题可知，直线 的斜率不等于零，故可设直线 的方程为 ， 设 ,
联立 ,整理得 ,
若 ,即 ,直线 的斜率为 ,与渐近线 平行,
此时直线 与双曲线有且仅有一个交点,不满足题意,所以 ,
所以 ,
,
因为 ,所以
，所以 .
(3)(i)当 轴时， ，且 ，
所以 ,则 ,
联立 ,整理得 ,
即 ,解得 或 ,
当 时, ,所以 ,
由于对称性, ,此时直线 过定点 ;
(ii) 当 不垂直于 轴时,以下证明直线 仍过定点设为 , 因为 ,所以联立 ,
即 ,所以 ,
解得 或 ,
当 时, ,
所以 ,
同理,将上述过程中 替换为 可得 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 三点共线,即此时直线 恒过定点 ,
综上直线 过定点 .
时间:120 分钟 满分:150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 在平面直角坐标系 中,直线 在 轴上的截距为( )
A. -3 B. 3
C. D.
2. 在空间直角坐标系 中,已知点 ,若点 关于 轴对称的点为 , 点 关于平面 对称的点为 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 为了研究物理成绩 与数学成绩 之间的关系,随机抽取 100 名学生的成绩,用最小二乘法得到 关于 的线性回归方程为 ,则样本点 的残差为 ( )
A. 2.5 B. -3.5 C. 3.5 D. -2.5
4. 已知圆: ,且圆上到直线 的距离为 1 的点恰有 3 个,则 的值为( )
A. -1 B. -1或 9 C. 1 或 9 D. 9
5. 若曲线 与直线 有两个交点，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 若 ,则 ( )
A. -56 B. -28 C. 28 D. 56
7. 已知抛物线 的焦点为 ,直线 与 交于 两点,且 ,则直线 倾斜角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8. 已知点 在双曲线 上， 到两渐近线的距离分别为 为双曲线的一个焦点,且 到双曲线渐近线的距离为 ,若 恒成立,则双曲线 的离心率的最小值为 ( )
A. B. C. 2 D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 直线 的一个方向向量为 ,则直线 的斜率等于 -2
B. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件
C. 当点 到直线 的距离最大时, 的值为 -1
D. 已知直线 过定点 且与以 为端点的线段有交点,则直线 的斜率 的取值范围是
10. 下列各式正确的是( )
A. 已知 ，则 的取值为 6 或 7
B.
C. 的展开式中 的系数为 -14
D. 将 8 个相同小球放入 4 个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有 70 种不同放法
11. 已知正方体 棱长为 2,如图, 为 上的动点, 平面 . 下面说法正确的是( )
A. 直线 与平面 所成角的正弦值范围为
B. 点 与点 重合时,平面 截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大
C. 点 为 的中点时,若平面 经过点 ,则平面 截正方体所得截面图形是等腰梯形
D. 已知 为 中点，当 的和最小时， 为 的中点
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 _____.
13. 设 ,且 ,若 能被 13 整除,则 等于_____.
14. 已知点 是椭圆 和双曲线 的公共焦点, 是它们在第一象限的一个公共点, 且 ,若 和 的离心率分别为 ,则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知双曲线 与双曲线 的渐近线相同,且经过点 . (1)求双曲线 的方程；
(2)若斜率为 的直线 过双曲线的左焦点,分别交双曲线于 、 两点，求证:
.
16. 某组织对男、女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查, 调查组随机调查了 200 名青年, 整理得到如下列联表:
单位:人
性别 喜爱古典音乐情况 合计
喜爱 不喜爱
女 90 20 110
男 60 30 90
合计 150 50 200
(1)依据小概率值 的独立性检验，判断能否认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关
(2)现从样本喜爱古典音乐的青年中利用分层(按性别分层)随机抽样的方法抽取 5 名青年进行合影留念, 并从这被抽取的 5 名青年中随机邀请 3 名青年参加某古典艺术歌曲音乐会, 记被邀请参加某古典艺术歌曲音乐会的女青年人数为 ,求 的分布列和数学期望.
附:
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
,其中 .
17. 如图,在四棱锥 中, 平面 ,四边形 为等腰梯形,
(1)求证: 平面 ( 2 )若二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 经观测,长江中某鱼类的产卵数 与温度 有关,现将收集到的温度 (单位: ) 和产卵数 的 10 组观测数据作了初步处理,得到如图所示的散点图及一些统计量表.
360 54.5 1360 44 384
3 588 32 6430
表中 .
(1)根据散点图判断， ， 与 哪一个适宜作为 与 之间的回归方程模型 (给出判断即可,不必说明理由),并求出 关于 的回归方程;
(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有 5 个鱼卵，其中“死卵”有 2 个；第二批中共有 6 个鱼卵，其中“死卵”有 3 个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出 2 个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.
附:对于一组数据 ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 .
19. 如图,已知点 和点 在双曲线 上,双曲线
的左顶点为 ,过点 且不与 轴重合的直线 与双曲线 交于 两点,直线 与圆 分别交于 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值；
(3)证明:直线 过定点.
1. A
由截距的概念,令 ,可得 ,
即 ,
故直线 在 轴上的截距为 -3,
故选: A
2. A
由题意可得 ,则 .
故选: A.
3. D
将 代入 得 ,
则样本点 的残差为 .
故选: D
4. B
由题意可知,圆的圆心 ,圆的半径 ,
圆上到直线 的距离为 1 的点恰有 3 个,如图所示,
圆心到直线的距离为 1,即 解得 或 .
故选: B.
5. D
由题意得,直线 可化为 ,
可得直线过定点 ,将曲线 化为 ,
则曲线表示以原点为圆心,半径为 2,且位于 轴上方的半圆,
如图所示,当直线过点 时,
直线 与曲线有两个不同的交点,此时 ,
当直线 过点 且与半圆相切于 点时,
若直线与曲线只有一个交点,由 ,解得 ,即 ,
若曲线 与直线 有两个交点,结合图形可得 ,
则实数 的取值范围是 .
故选: D
6. C
令 ,则原等式化为 , 所以 .
故选:
7.
设 .
由抛物线方程 可知其焦点坐标为 .
由 可知 三点共线,即直线 过抛物线的焦点 ,
且直线 的斜率必存在,设直线 的斜率为 ,其倾斜角为 ,则 .
则直线 的方程为 ,将其代入抛物线方程 ,
消去 ,可得 ,则有 .
又由 ,可得 ,即 ,
联立 ,因为 ,所以解得 ,或 (舍去),所以
所以直线 的斜率 .
所以 ,解得 .
因为 ,所以 .
所以直线 的倾斜角的正弦值为 .
故选: D
8. B
设 ,则双曲线的渐近线方程为 ,
因此 ,
故 ,
由于 在双曲线上,故 ,即 ,
因此 ,
由于 ,
由 可得 ,故 ,故离心率的最小值为 ,
故选: B
9. ACD
对于 ,因为直线 的一个方向向量为 ,则直线 的斜率等于 ,所以 正确;
对于 ,由直线 与直线 互相垂直,
可得 ,即 ,解得 或 ,
所以 “ ” 是 “直线 与 互相垂直” 的充分不必要条件,所以 错误;
对于 ,因为直线 ,可化为 ,
由 ,解得 ,即直线 恒过定点 ,
当直线 与直线 垂直时,点 到直线 的距离最大,
所以 ,解得 ,所以 正确;
对于 ,因为 ,可得 ,
如图所示,要使得过定点 的直线 与以线段 有交点,
则满足 或 ,所以直线 的斜率 的取值范围是 ,所以 正确.
10.
对于 A,由题意得 或 ,解得 或 6 ; 故 A 正确对于 ,由 ,
所以 ,故 B 正确;
对于 的展开式中 的系数为 ,故 正确;
对于 ,将 8 个相同小球放入 4 个不同盒子中,每个盒子至少放一个小球,采用隔板法 , 故 D 错误.
11. AC
对于 选项,以点 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ,则点 、设点 ,
平面 ,则 为平面 的一个法向量,
且 ,
所以,直线 与平面 所成角的正弦值范围为 选项正确;
对于 选项，当 与 重合时，连接 、 、 、 ，
在正方体 中, 平面 平面 ,
四边形 是正方形,则 平面 ,
平面 ,同理可证 ,
平面 ,
易知 是边长为 的等边三角形,其面积为 ,周长为
设 分别为棱 的中点,
易知六边形 是边长为 的正六边形,且平面 平面 ,
正六边形 EFQNGH 的周长为 ，面积为 ，
则 的面积小于正六边形 的面积，它们的周长相等，B 选项错误；
对于 选项,设平面 交棱 于点 ,点 ,
平面 平面 ,
即 ,得 ,
所以,点 为棱 的中点,同理可知,点 为棱 的中点,则 , 而 且 ,
由空间中两点间的距离公式可得 ,
,
所以，四边形 为等腰梯形，C 选项正确；
对于 选项，将矩形 与矩形 延展为一个平面，如下图所示:
若 最短,则 三点共线,
,
,所以,点 不是棱 的中点, D 选项错误.
故选: AC.
12. 0.3
因为随机变量 服从正态分布 ,由 ,可得 , 所以 , 所以 ,
故答案为: 0.3
13. 12
解: ,且 ,
, 能被 13 整除,
能被 13 整除,
,
.
故答案为: 12 .
14.
设椭圆 和双曲线 的方程分别为 , 所以 ,可得 ,
设椭圆 的半焦距为 ,因为 ,
所以 ,即 ,
化简得 ,即 ,即 ,
令 ,则 ,取 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,故 ,
则 ,
时, ,
因为 ,
所以 ,所以 ,
所以 .
故答案为:
15.(1) 因为双曲线 与双曲线 的渐近线相同,
所以可设 ,又双曲线 过 ,
所以 ,则 ,即 ,
所以双曲线 的方程为 .
(2)证明: 设 ，
又 ,所以左焦点 ,则 ,
则 ,
所以 .
16.(1)零假设 : 喜爱古典音乐与青年的性别无关，
由数表中数据经计算得 ,
依据小概率值 的独立性检验,没有充分证据拒绝零假设,
即不能认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关.
(2)抽取的 5 人中，喜爱古典音乐的男青年有 人，喜爱古典音乐的女青年有 人,
故 的所有可能值为1,2,3,
所以 的分布列为:
1 2 3
3 5
数学期望 .
17.(1)过 作 ，由题意可得 是平行四边形，所以
又因为 ,所以 ,
又因为四边形 为等腰梯形,所以 ,
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由勾股定理逆定理得 ，
平面 平面 ,
平面 平面
平面
(2)以 为坐标原点，过 作 垂直于 ，以 所在的直线为 轴， 轴， 轴,建立坐标系,
则
设 ,则 ,
设面 的一个法向量为
令 ,则 ,于是
设平面 的一个法向量为 ,则
令 ,则 ,所以平面 的一个法向量为 ,
于是 ,解得 .
所以 ,
所以 .
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
18.(1) 根据散点图判断,看出样本点分布在一条指数函数的周围,所以 适宜作为 与 之间的回归方程模型.
令 ,则 ,
所以 ,
所以 关于 的回归方程为 .
(2)由题意设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为 ，则 的可能取值为 0，
1,2,
设 “所取两个鱼卵来自第 批” ,
所以 ,
设 “所取两个鱼卵有 个‘死卵” ,
由全概率公式得
所以取出 “死卵” 个数的分布列为
0 1 2
3 5
所以 ,
所以取出 “死卵” 个数的数学期望为 .
19.(1)因为点 和点 在双曲线上， 所以 ,解得 ,所以双曲线 的标准方程为 .
(2)由题可知，直线 的斜率不等于零，故可设直线 的方程为 ， 设 ,
联立 ,整理得 ,
若 ,即 ,直线 的斜率为 ,与渐近线 平行,
此时直线 与双曲线有且仅有一个交点,不满足题意,所以 ,
所以 ,
,
因为 ,所以
，所以 .
(3)(i)当 轴时， ，且 ，
所以 ,则 ,
联立 ,整理得 ,
即 ,解得 或 ,
当 时, ,所以 ,
由于对称性, ,此时直线 过定点 ;
(ii) 当 不垂直于 轴时,以下证明直线 仍过定点设为 , 因为 ,所以联立 ,
即 ,所以 ,
解得 或 ,
当 时, ,
所以 ,
同理,将上述过程中 替换为 可得 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 三点共线,即此时直线 恒过定点 ,
综上直线 过定点 .
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