辽宁锦州市渤海大学附属高中2026届高三下学期开学测试数学试题（含答案）

2026 届高三测试 数学试题
注意事项
1 本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟
2 答卷前考生务必将姓名准考证号填写在答题卡上
3 答选择题时请用 2B 铅笔把答案涂在答题卡上.
一、单选题
1. 已知集合 ，集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知 复数 为纯虚数，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 记 为数列 的前 项和,已知 . 当 最大时, ( )
A. 9 B. 10 C. 9 或 10 D. 10 或 11
4. 已知向量 满足 ，则向量 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
5. 已知在圆 内,过点 的最长弦和最短弦分别是 和 , 则四边形 ABCD 的面积为( )
A. B. C. D.
6. 墙上挂着一幅高为 的画,画的上端到地面的距离为 ,某摄像机在地面上拍摄这幅画. 将画上端一点 、下端一点 与摄像机连线的夹角称为视角 (点 与摄像机在同一竖直平面内), 且把最大的视角称为最佳视角. 若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计, 则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7. 已知定点 ，点 为抛物线 上一动点， 到 轴的距离为 ，则 的最小值为( )
A. 4 B. 5 C. D.
8. ，不等式 恒成立，则正实数 的最大值是( ).
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知事件 满足 ，则下列结论正确的是( ).
A. 若 ,则
B. 若 与 互斥,则
C. 若 ,则 与 相互独立
D. 若 与 相互独立,则
10. 如图,在棱长为 2 的正方体 中, 分别是 的中点，则( )
A. 四点共面
B. 异面直线 与 所成角的余弦值为
C. 平面 截正方体所得截面为等腰梯形
D. 三棱锥 的体积为
11. 已知函数 的定义域均为 ,且 . 若 是偶函数， ，则( )
A. 是奇函数 B. 4 是 的一个周期
C. D.
三、填空题
12. 若圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，则该圆锥的侧面积为_____.
13. 已知 ，二项式 的展开式中所有项的系数和为 64，则展开式中的常数项为_____.
14. 记 表示 三个数中的最大数. 若函数 的值域为 ,则 的最小值为_____.
四、解答题
15. 如图,已知在四棱锥 中, 平面 ,四边形 为直角梯形, ,点 是棱 上靠近 端的三等分点.
(1)证明: 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
16. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查. 统计其中 400 名居民体育锻炼的次数与年龄, 得到如下的频数分布表.
年龄次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
每周 0~2 次 70 55 36 59
每周 3~4 次 25 40 44 31
每周 5 次及以上 5 5 20 10
(1)若把年龄在 的锻炼者称为青年，年龄在 的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过 2 次的称为体育锻炼频率低, 不低于 3 次的称为体育锻炼频率高, 根据小概率值 的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼 5 次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样, 抽取 8 人, 再从这 8 人中随机抽取 3 人, 记这 3 人中年龄在 与 的人数分别为 ,求 的分布列与期望;
(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球 3 种运动项目中选择一种, 已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目, 如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球,则星期天选择跑步的概率分别为 ,求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式: .
附:
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17. 已知函数
(1)讨论函数 的单调区间；
(2)若曲线 在 处的切线垂直于直线 ,对任意 ， 恒成立,求实数 的最大值;
18. 如图，直线 与直线 ,分别与抛物线 交于点 和点 ( 在 轴同侧)，线段 与 交于点 . 当 经过 的焦点 时 、 两点的纵坐标之积等于
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)线段 与 交于点 ，线段 与 的中点分别为
① 求证: 三点共线；
②若 ，求四边形 的面积.
19. 已知 是无穷数列， 是数列 的前 项和，对于 ，给出下列三个条件:
① ; ② ; ③ ；
(1)若 ，对任意的 ，数列 是否恒满足条件②，并说明理由；
(2)若 ，数列 同时满足条件①②，且 ，求数列 的通项公式； (3)若 ，数列 同时满足条件①③，求证:数列 为常数列.
1. D
解不等式 ,得 ,即 ,则 ,
解不等式 ,得 或 ,则 ,
所以 .
故选: D
2. C
当 时,复数 为纯虚数;
当复数 为纯虚数时,有 ,解得 ;
综上, 为 的充要条件.
故选:
3. C
由 可得数列 为等差数列,
又 可得 ,因此 ;
所以公差 满足 ,因此 ;
即 ,
又因为 ,所以当 或 10 时, 取得最大为 45 .
故选:
4.
因为 , 所以 ,解得 ,
所以 ,
所以 ,又 ,
所以向量 与 的夹角为 ,
故选: B
5. D
圆的标准方程:
由题意可得: 最长弦为直径: 最短的弦是
则四边形 的面积为
故选 D
6. A
如图所示: 最佳视角,且 ,当 最大时, 最大,
且 最大,又 ,
又设 ,所以 ,
,
当且仅当 时取等号,
此时 ,
解得: .
故选: A.
7. A
设焦点为 到准线的距离为 ,则 ,
所以 ,
当且仅当 三点共线时取等号,
故选: A.
8. A
将不等式 变形可得 ,
即 ,
构造函数 ,可得 ,
令 ,则 ,
所以当 时， ，即 在 上单调递减，
当当 时, ,即 在 上单调递增,
所以 ,即 ,所以函数 在 上单调递增,
利用单调性并根据 可得 ,则有 ,
又 ,即可得 ,即 对 恒成立,因此 即可,
令 ,则 ,
显然当 时, ,即函数 在 上单调递减,
当 时, ,即函数 在 上单调递增,
所以 ,即 ,因此正实数 的最大值是 .
故选: A.
9. BC
对于 ,由 ,得 , A 错误;
对于 ,由 与 互斥,得 正确;
对于 ,由 ,得 ,则 与 相互独立, 正确;
对于 ,由 与 相互独立,得 相互独立,则 , D 错误.
故选:
10. BCD
对于 ,易知 与 为异面直线,所以 不可能四点共面,故 错误;
对于 ,连接 ,易得 ,所以 为异面直线 与 所成角,
设 ,则 ,
所以 ,
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ,故 正确;
对于 ,连接 ,易得 ,
所以平面 截正方体所得截面为梯形 ,故 正确;
对于 ,易得 ,因为 平面 平面 ,
所以 平面 ,
所以 ,故 D 正确.
故选: BCD
11. BCD
由 ,用 代入 ,得 ,
又 ,两式相加得 ,
由 是偶函数,得 ,代入上式,得 ,
可得 ,所以 ,即 ,
因为 ,则 ,
所以 ,所以 为偶函数, A 选项错误;
由 ,得 ,
又 ,两式相减得 ,
所以 ,因此 ,即 4 是 的一个周期, 选项正确;
由 ,可得 ,所以 ,
由 可得 ,所以 ,
由 ,可得 ,
由 ,可得 .
所以 选项正确;
由上面推导可知 ,
因为奇数的平方可表示为 ,所以奇数的平方除以 4 的余数为 1,
同理可得偶数的平方除以 4 的余数为 0 ,
所以 , D 选项正确.
故选: BCD.
12.
因为圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形,
所以圆锥的底面半径 ,母线长 ,
所以圆锥的侧面积 . 故答案为: .
13. 15
因为二项式 的展开式中所有项的系数和为 64,
所以 ,或 舍去,
二项式 的通项公式为 ,
令 ,
所以展开式中的常数项为 .
故答案为: 15
14.
若函数 的值域为 ,
记 ,
则 ,故 ,
由 ,得 ,且 ,
所以 ,又 ,
所以 ,
故 .
则由 且 ,
可得 ,
当且仅当 ,即 时等号成立.
的最小值为 .
故答案为: .
15.(1) 由题意建立空间直角坐标系,求出平面 的一个法向量,利用向量的坐标运算可得线面平行;
(2)利用空间向量坐标运算分别得到平面 与平面 一个法向量,计算面面夹角的余弦值即可.
(1)在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为直角梯形，
,
以点 为坐标原点, 分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
又 ,点 是棱 上靠近 端的三等分点
则 .
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,得 ,则 ,
又 ,可得 , 因为 平面 ,所以 平面 .
(2)易知 ，设平面 的一个法向量为 ， 则 ,即 ,令 ,则 ,
由( 1 )知，平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
16. (1)有关
(2)分布列见解析; 期望为
(3)
(1)零假设: 体育锻炼频率的高低与年龄无关,
由题得 列联表如下:
青年 中年 合计
体育锻炼频率低 125 95 220
体育锻炼频率高 75 105 180
合计 200 200 400
,
根据小概率值 的独立性检验推断 不成立,
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于 0.01 .
(2)由数表知，利用分层抽样的方法抽取的 8 人中，年龄在 内的人数分别为
1,2,
依题意, 的所有可能取值分别为为0,1,2,
所以 ,
所以 的分布列::
0 1 2
20 56 31 56 5 56
所以 的数学期望为 .
(3)记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件 ， 星期天选择跑步为事件 ,则 ,
所以
所以小明星期天选择跑步的概率为 .
17. (1)当 时， 在 单调递增；当 时， 在 单调递增，在 单调递减;
(2)
(1)函数 的定义域为 ,求导可得 .
当 时, 恒成立,此时, 在 单调递增;
当 时,令 ,解得 .
当 ,函数 单调递增;
当 , ,函数 单调递减.
综上可知,当 时, 在 单调递增;
当 时, 在 单调递增,在 单调递减;
(2)因为曲线 在 处的切线垂直于直线 ，
直线 的斜率为 2,故切线斜率为 .
故 ,解得 .
对任意 ， 恒成立，
即 恒成立,整理可得 .
令 ,所以 的最小值即为 的最大值.
,令 ,解得 .
当 ， ，函数 单调递减；
当 ， ，函数 单调递增.
故 在 处取得最小值 ,
所以实数 的最大值为 .
18.(1)因为抛物线焦点为 ，
则 ,即 ,
所以直线 ,
代入抛物线方程可得: ,
即 ,
则 ,由题意 ,解得 ,
所以所求抛物线方程为 .
(2)①证明:设 ， ， ， .
若 ,则直线 斜率不存在,
由对称性,可知 均在 轴上,则 三点共线;
若 ,则直线斜率存在,
直线 方程为: ,结合 ,
则 ,
同理可得 方程: 方程: ,
方程: . 设 ,
因 ,则 .
则直线 与 轴平行,设直线 与线段 交点为 .
将 代入直线 方程,
则 ;
将 代入直线 方程,
则 .
注意到
,又 ,则 两点重合,
即 为线段 与 交点 ,且点 三点共线;
②由(2)，直线 与 轴平行，
则 .
又 ,同理可得 ,
又由 (2) ,
则 ,
由 ,则 ,
即 .
则
如图,
过 作 平行线,交 为 ,则四边形 为平行四边形,
结合 ,则 .
因 ,则 ,结合 ,
则 ,又 为 中点,则 为 中点. 则
则四边形 的面积
19.( 1 ) ，则数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列，
,
不防令 ,
则 ,
则 ,
所以数列 不恒满足条件②.
(2)若 ，由②得 ，即 ，
当 时， ，
两式相减得 ,
即 ,
两式相减得 ,即 ,
,又 ,
时, ,即 ,
数列 是等差数列,
设数列 的公差为 ,
是无穷数列, ,
或 ,
或 .
(3)当 时，由③得 ，
即 ,
所以 ,
若 ,由①不妨设 ,则 ,则数列 为常数列.
若 ,当 时, ,与 矛盾.
当 时,令 ,
则 ,
,
,
则 ,
各式相加得 .
当 时, ,与 矛盾.
综上所述,只有当 ,即 ,且 时满足①③,
所以数列 为常数列.