辽宁省名校联盟2025-2026学年高二下学期3月联考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁省名校联盟2025-2026学年高二下学期3月联考数学试题（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 206.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-13 00:00:00 | ||
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文档简介
高二数学试卷
本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 在某项测量中,测量结果 服从正态分布 ,则 ( )
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.5
2. 经过点 ,且与直线 平行的直线方程为( )
A. B.
C. D.
3. 统计学中,常用的显著性水平 以及对应的分位数 如下表所示.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
在检验 与 是否有关的过程中,根据已知数据计算得 ,则()
A. 在犯错误的概率不超过 1% 的前提下，可以认为 与 有关
B. 在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下，可以认为 与 有关
C. 有 95% 的把握认为 与 有关
D. 有 99% 的把握认为 与 有关
4. 如图，在直三棱柱 中， ，且 为 的中点， ，则 的长为( )
A. B. C. D. 5
5. 如图,在 六个区域中种植 4 种不同植物,同一区域只种植 1 种植物,相邻两区域所种植物不同, 则不同的种植方案种数为 ( )
A. 48 B. 96 C. 120 D. 192
6. 已知曲线 ,则下列结论错误的是 ( )
A. 曲线 关于直线 对称 B. 曲线 关于原点中心对称
C. 曲线 的长度为 D. 曲线 有两条对称轴
7. 某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡的概率为 ，分裂为两个细胞的概率为 . 现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是( )
A. B. C. D.
8. 已知直线 ,椭圆 ,点 在 上,过点 作 平行于 交 于点 ,过点 作 平行于 交 于点 ,若 的长为定值,则离心率 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在空间直角坐标系中, 为坐标原点,若点 ,则下列叙述正确的有( )
A. 点 关于 轴的对称点是
B. 点 关于平面 的对称点是
C. 点 关于 轴的对称点是
D. 点 关于原点的对称点是
10. 随机变量 服从参数为 的二项分布,即 ,其概率分布可用下图直观地表示, 则 ( )
A.
B. C. D.
11. 已知集合 ，且
,则下列选项正确的是 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 抛物线 的准线方程为_____.
13. 若 . 则 _____. (用数字作答)
14. 从正 2025 边形的顶点中任取若干个,使之能作为正 边形的顶点,则 的不同选法共有_____种。
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 如图,在四棱锥 中,底面为矩形, 底面 , 为线段 的中点.
(1)求平面 与平面 夹角的正弦值；
(2)线段 上是否存在一点 ，使得 ？若存在，请求出 ；若不存在，请说明理由.
16. 袋中有除颜色外均相同的 6 个红球, 7 个黑球, 若从中任取 3 个.
(1)求恰有 1 个红球的概率；
(2)设3个球中，黑球的个数为 ，求 的分布列及数学期望 ；
(3)当 3 个球均为一种颜色时，求这种颜色为黑色的概率.
17. 设直线 与椭圆 相交于 两个不同的点，与 轴相交于点 为坐标原点.
(1)证明: ；
(2)若 ，求 面积取得最大值时的椭圆方程.
18. 已知 与 及 与 的成对数据如下表,且 关于 的回归直线方程为 .
0.1 0.4 0.9 1.6 2.5 3.6 4.9
-3 1 4 6 8 9 10
1 4 9 16 25 36 49
0 4 7 9 11 12 13
(1)求 关于 的回归直线方程；
(2)由散点图发现可以用函数模型 拟合 与 的关系,请建立 关于 的回归方程 ( 的值精确到 0.01 );
(3)又得到一组新数据 ，根据这对数据残差的绝对值的大小判断(1)(2)两个方程哪个拟合效果更好.
参考数据: .
参考公式: 对于一组数据 ,其回归直线方程为 ,其中 .
19. 已知抛物线的顶点和双曲线的中心为坐标原点 ,该抛物线与双曲线在 轴上有共同的焦点 ,且都经过点 .
(1)求抛物线和双曲线的标准方程；
(2)动直线 过点 ，交抛物线于 两点，记以线段 为直径的圆为圆 ，求证: 存在垂直于 轴的直线 被圆 截得的弦长为定值，并求出直线 的方程；
(3)设 为双曲线的左顶点， 为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在常数 ， 使得 恒成立 若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由.
1. D
服从正态分布 ,由正态分布的对称性知 . 故选 D 项.
2. A
设与直线 平行的直线方程为 ,因为点 在直线 上,所以 ,解得 ,所以所求直线方程为 . 故选 A 项.
3. C
因为 ,即 ,所以在犯错误的概率不超过 5% 的前提下, 可以认为 与 有关或有 95% 的把握认为 与 有关. 故选 C 项.
4. B
以 为坐标原点, 的方向分别为 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意可知 ,又因为 是 的中点,所以 的坐标为 ,点 满足 ,所以 的坐标为 ,从而 . 故选 B 项.
5. C
先分组,再种植,共有 , 种植方案种数为 . 故选 C 项.
6. C
由已知得 ,若 ,则等式一定不成立,若 ,等式两边平方得 ,即 ,故曲线如图所示,则曲线 的长度为 . 故选 项.
7. A
一个细胞两次分裂后还有细胞存活的概率为 ,因此两个细胞两次分裂后还有细胞存活的概率为 ,故选 A 项.
8. D
当 为上顶点时, 所以 ,当 为右顶点时, 所以 . 由 ,猜想 ,此时设 ,有 则 ,代入椭圆方程可得 ,又 ,所以 ,此时 ,则 . 故选 D 项.
9. ABD
由空间直角坐标系对称性易知点 关于 轴的对称点是 项错误. 故选 ABD 项.
10. BD
由概率分布直观图可知 可以取0,1,2,3,4,所以 ,故 A 项错误; 又 ,所以 ,故 B 项正确; 又
,所以 ,故 C 项错误;
,故 D 项正确. 故选 BD 项.
11. BCD
由题意,作图如下,设 . 对于 项,两圆相交,有 ,即 , A 项错误; 对于 项,
项正确； 对于 项,将两个圆的方程作差,可得 所在直线的方程为 ,根据点 在该直线上,可得 项正确; 对于 项,线段 与线段 互相平分,于是 ,则 两式相加得 ,由 项及圆的方程得 ,即 项正确. 故选 BCD 项.
12.
抛物线的标准方程是 ,所以准线方程是 考点: 抛物线方程
13. 4960
.
14. 14
正 边形的 一定是 2025 的因数,且不小于 3,而 ,因数有 个, 不能是 1,所以满足题意的 有 14 个.
15. (1)
(2)存在, 2
解: (1) 因为 平面 且四边形 为矩形,
所以 两两垂直,以 为坐标原点,直线 分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 .
设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 ,则 .
因为 平面 ,所以平面 的一个法向量为 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,则 ,
所以 ,所以 ,
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 .
(2)假设存在满足题意的点 ，
因为 在线段 上，有 ，
即 ,所以 ,则 ,
因为 ,所以 ,
解得 ,
即存在满足题意的点 .
16.解: (1) 设从袋中任取 3 个球恰有 1 个红球为事件 ,
则 .
(2) 的可能取值为0,1,2,3，
的分布列为
0 1 2 3
10 143 105 286 63 35 286
(3)设从袋中任取 3 个球为一种颜色为事件 ，则 ，
设从袋中任取 3 个球都为黑色为事件 ,则 ,
则所求概率 .
17. (1) 证明: 联立直线与椭圆方程
消 得 ,
,即 ,所以 .
(2)解: ，设 ， ，
因为 ,所以 ,可以得到
由( 1 )知 ，则 ，
当且仅当 时等号成立,此时 ,则 ,
所以 面积取得最大值时的椭圆方程为 .
18. (1)
(2)
(3) (2) 中方程的拟合效果更好.
解: (1) 由表中数据得 ,则 , 又 关于 的回归直线方程为 ,则 , 即 关于 的回归直线方程为 .
(2)若用函数模型 拟合 与 的关系,则令 ,此时 ,
则 ,即 ,
又 ,所以 关于 的回归方程为 .
(3)(1)中 关于 的回归直线方程为 ，
所以当 时， ，残差为 ，
(2)中 关于 的回归方程为 ，所以当 时，
残差为 ,
因为 ,所以 (2) 中方程的拟合效果更好.
19.解: (1) 设抛物线的方程为 ,
将点 代入抛物线方程,得 ,所以抛物线的方程为 .
设双曲线的标准方程为 ,
因为抛物线的焦点坐标为 ,双曲线与抛物线在 轴上有共同的焦点,
则双曲线的右焦点坐标为 ,则另一个焦点坐标 ,故 ,
又 在双曲线上,根据双曲线的定义知
所以 ,
故双曲线的标准方程为 .
(2)由题意得 的中点为 ,设 的方程为 ,以线段 为直径的圆 交 于 两点,
的中点为 ,则 .
设 ,则 ,且 ,
则 ,
因为 为直角三角形,且 ,
所以 ,
所以 ,
显然当 时, ,
所以弦长 为定值.
故存在垂直于 轴的直线 (即直线 ),被圆 截得的弦长为定值,直线 的方程为 .
(3)因为 为双曲线的左顶点，所以 ，
又 为第一象限内双曲线上的任意一点，
当 与 轴垂直时, ,此时 ,
又直线 的斜率为 1,所以 ,所以 ,
所以若存在满足题意的 ,必有 .
设 为第一象限内双曲线上的任意一点,
则 的中点为 ,
作 垂直于 轴,交 于点 ,则 ,
且 ,所以 ,
则 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,即 .
综上,存在满足题意的 ,且 .
本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 在某项测量中,测量结果 服从正态分布 ,则 ( )
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.5
2. 经过点 ,且与直线 平行的直线方程为( )
A. B.
C. D.
3. 统计学中,常用的显著性水平 以及对应的分位数 如下表所示.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
在检验 与 是否有关的过程中,根据已知数据计算得 ,则()
A. 在犯错误的概率不超过 1% 的前提下，可以认为 与 有关
B. 在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下，可以认为 与 有关
C. 有 95% 的把握认为 与 有关
D. 有 99% 的把握认为 与 有关
4. 如图，在直三棱柱 中， ，且 为 的中点， ，则 的长为( )
A. B. C. D. 5
5. 如图,在 六个区域中种植 4 种不同植物,同一区域只种植 1 种植物,相邻两区域所种植物不同, 则不同的种植方案种数为 ( )
A. 48 B. 96 C. 120 D. 192
6. 已知曲线 ,则下列结论错误的是 ( )
A. 曲线 关于直线 对称 B. 曲线 关于原点中心对称
C. 曲线 的长度为 D. 曲线 有两条对称轴
7. 某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡的概率为 ，分裂为两个细胞的概率为 . 现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是( )
A. B. C. D.
8. 已知直线 ,椭圆 ,点 在 上,过点 作 平行于 交 于点 ,过点 作 平行于 交 于点 ,若 的长为定值,则离心率 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在空间直角坐标系中, 为坐标原点,若点 ,则下列叙述正确的有( )
A. 点 关于 轴的对称点是
B. 点 关于平面 的对称点是
C. 点 关于 轴的对称点是
D. 点 关于原点的对称点是
10. 随机变量 服从参数为 的二项分布,即 ,其概率分布可用下图直观地表示, 则 ( )
A.
B. C. D.
11. 已知集合 ，且
,则下列选项正确的是 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 抛物线 的准线方程为_____.
13. 若 . 则 _____. (用数字作答)
14. 从正 2025 边形的顶点中任取若干个,使之能作为正 边形的顶点,则 的不同选法共有_____种。
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 如图,在四棱锥 中,底面为矩形, 底面 , 为线段 的中点.
(1)求平面 与平面 夹角的正弦值；
(2)线段 上是否存在一点 ，使得 ？若存在，请求出 ；若不存在，请说明理由.
16. 袋中有除颜色外均相同的 6 个红球, 7 个黑球, 若从中任取 3 个.
(1)求恰有 1 个红球的概率；
(2)设3个球中，黑球的个数为 ，求 的分布列及数学期望 ；
(3)当 3 个球均为一种颜色时，求这种颜色为黑色的概率.
17. 设直线 与椭圆 相交于 两个不同的点，与 轴相交于点 为坐标原点.
(1)证明: ；
(2)若 ，求 面积取得最大值时的椭圆方程.
18. 已知 与 及 与 的成对数据如下表,且 关于 的回归直线方程为 .
0.1 0.4 0.9 1.6 2.5 3.6 4.9
-3 1 4 6 8 9 10
1 4 9 16 25 36 49
0 4 7 9 11 12 13
(1)求 关于 的回归直线方程；
(2)由散点图发现可以用函数模型 拟合 与 的关系,请建立 关于 的回归方程 ( 的值精确到 0.01 );
(3)又得到一组新数据 ，根据这对数据残差的绝对值的大小判断(1)(2)两个方程哪个拟合效果更好.
参考数据: .
参考公式: 对于一组数据 ,其回归直线方程为 ,其中 .
19. 已知抛物线的顶点和双曲线的中心为坐标原点 ,该抛物线与双曲线在 轴上有共同的焦点 ,且都经过点 .
(1)求抛物线和双曲线的标准方程；
(2)动直线 过点 ，交抛物线于 两点，记以线段 为直径的圆为圆 ，求证: 存在垂直于 轴的直线 被圆 截得的弦长为定值，并求出直线 的方程；
(3)设 为双曲线的左顶点， 为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在常数 ， 使得 恒成立 若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由.
1. D
服从正态分布 ,由正态分布的对称性知 . 故选 D 项.
2. A
设与直线 平行的直线方程为 ,因为点 在直线 上,所以 ,解得 ,所以所求直线方程为 . 故选 A 项.
3. C
因为 ,即 ,所以在犯错误的概率不超过 5% 的前提下, 可以认为 与 有关或有 95% 的把握认为 与 有关. 故选 C 项.
4. B
以 为坐标原点, 的方向分别为 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意可知 ,又因为 是 的中点,所以 的坐标为 ,点 满足 ,所以 的坐标为 ,从而 . 故选 B 项.
5. C
先分组,再种植,共有 , 种植方案种数为 . 故选 C 项.
6. C
由已知得 ,若 ,则等式一定不成立,若 ,等式两边平方得 ,即 ,故曲线如图所示,则曲线 的长度为 . 故选 项.
7. A
一个细胞两次分裂后还有细胞存活的概率为 ,因此两个细胞两次分裂后还有细胞存活的概率为 ,故选 A 项.
8. D
当 为上顶点时, 所以 ,当 为右顶点时, 所以 . 由 ,猜想 ,此时设 ,有 则 ,代入椭圆方程可得 ,又 ,所以 ,此时 ,则 . 故选 D 项.
9. ABD
由空间直角坐标系对称性易知点 关于 轴的对称点是 项错误. 故选 ABD 项.
10. BD
由概率分布直观图可知 可以取0,1,2,3,4,所以 ,故 A 项错误; 又 ,所以 ,故 B 项正确; 又
,所以 ,故 C 项错误;
,故 D 项正确. 故选 BD 项.
11. BCD
由题意,作图如下,设 . 对于 项,两圆相交,有 ,即 , A 项错误; 对于 项,
项正确； 对于 项,将两个圆的方程作差,可得 所在直线的方程为 ,根据点 在该直线上,可得 项正确; 对于 项,线段 与线段 互相平分,于是 ,则 两式相加得 ,由 项及圆的方程得 ,即 项正确. 故选 BCD 项.
12.
抛物线的标准方程是 ,所以准线方程是 考点: 抛物线方程
13. 4960
.
14. 14
正 边形的 一定是 2025 的因数,且不小于 3,而 ,因数有 个, 不能是 1,所以满足题意的 有 14 个.
15. (1)
(2)存在, 2
解: (1) 因为 平面 且四边形 为矩形,
所以 两两垂直,以 为坐标原点,直线 分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 .
设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 ,则 .
因为 平面 ,所以平面 的一个法向量为 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,则 ,
所以 ,所以 ,
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 .
(2)假设存在满足题意的点 ，
因为 在线段 上，有 ，
即 ,所以 ,则 ,
因为 ,所以 ,
解得 ,
即存在满足题意的点 .
16.解: (1) 设从袋中任取 3 个球恰有 1 个红球为事件 ,
则 .
(2) 的可能取值为0,1,2,3，
的分布列为
0 1 2 3
10 143 105 286 63 35 286
(3)设从袋中任取 3 个球为一种颜色为事件 ，则 ，
设从袋中任取 3 个球都为黑色为事件 ,则 ,
则所求概率 .
17. (1) 证明: 联立直线与椭圆方程
消 得 ,
,即 ,所以 .
(2)解: ，设 ， ，
因为 ,所以 ,可以得到
由( 1 )知 ，则 ，
当且仅当 时等号成立,此时 ,则 ,
所以 面积取得最大值时的椭圆方程为 .
18. (1)
(2)
(3) (2) 中方程的拟合效果更好.
解: (1) 由表中数据得 ,则 , 又 关于 的回归直线方程为 ,则 , 即 关于 的回归直线方程为 .
(2)若用函数模型 拟合 与 的关系,则令 ,此时 ,
则 ,即 ,
又 ,所以 关于 的回归方程为 .
(3)(1)中 关于 的回归直线方程为 ，
所以当 时， ，残差为 ，
(2)中 关于 的回归方程为 ，所以当 时，
残差为 ,
因为 ,所以 (2) 中方程的拟合效果更好.
19.解: (1) 设抛物线的方程为 ,
将点 代入抛物线方程,得 ,所以抛物线的方程为 .
设双曲线的标准方程为 ,
因为抛物线的焦点坐标为 ,双曲线与抛物线在 轴上有共同的焦点,
则双曲线的右焦点坐标为 ,则另一个焦点坐标 ,故 ,
又 在双曲线上,根据双曲线的定义知
所以 ,
故双曲线的标准方程为 .
(2)由题意得 的中点为 ,设 的方程为 ,以线段 为直径的圆 交 于 两点,
的中点为 ,则 .
设 ,则 ,且 ,
则 ,
因为 为直角三角形,且 ,
所以 ,
所以 ,
显然当 时, ,
所以弦长 为定值.
故存在垂直于 轴的直线 (即直线 ),被圆 截得的弦长为定值,直线 的方程为 .
(3)因为 为双曲线的左顶点，所以 ，
又 为第一象限内双曲线上的任意一点，
当 与 轴垂直时, ,此时 ,
又直线 的斜率为 1,所以 ,所以 ,
所以若存在满足题意的 ,必有 .
设 为第一象限内双曲线上的任意一点,
则 的中点为 ,
作 垂直于 轴,交 于点 ,则 ,
且 ,所以 ,
则 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,即 .
综上,存在满足题意的 ,且 .
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