辽宁葫芦岛市第一高级中学2025-2026学年高二下学期3月练习一数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁葫芦岛市第一高级中学2025-2026学年高二下学期3月练习一数学试题（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 167.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-13 00:00:00 | ||
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文档简介
高二年级 3 月练习一 数学试题
考试时间:120 分钟 满分:150 分
一、单选题(本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)
1. 若直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量 ，则()
A. B. C. D. 以上都有可能
2. 双曲线 的焦距长为 8,且渐近线方程为 ,则双曲线方程为( )
A. B. C. D.
3. 展开式中 的系数为( )
A. 56 B. 42 C. 84 D. 120
4. 设椭圆 的左、右焦点分别为 是 上的点， 轴， ，则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D. .
5. 在平行六面体 中, , . 求直线 与 所成角的余弦值()
A. 0 B. C. D.
6. 在平面直角坐标系 中,已知 ,点 为圆 上一点,若存在点 使得 ,则 的可能取值为 ( )
A. B. 2 C. D. 3
7. 某晚会由 4 个歌舞节目和 2 个机器人表演节目组成, 若要求机器人表演节目不能相邻出演且前 3 个节目中至少有一个是机器人表演节目, 则不同的节目安排方法有 ( ) 种.
A. 216 B. 360 C. 432 D. 672
8. 已知抛物线 的焦点 ,过 的直线与抛物线交于 两点.准线与 轴的交点为 . 当 时，直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多选题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.)
9. 在 的展开式中,下列结论正确的是 ( )
A. 展开式的项数为 6
B. 二项式系数和为 64
C. 所有项的系数之和为 2
D. 展开式中第 3 项为
10. 《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马. 现有阳马 如下图所示,其中 平面 ,点 在棱 上运动. 下列说法正确的有( )
A. 平面
B. 直线 与 所成的角为
C.
D. 当 时，四棱锥 的体积是四棱锥 体积的
11. 已知点 ,曲线 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 曲线 上存在点 ,使得
B. 直线 与曲线 没有交点
C. 点 是曲线 上在第三象限内的一点,过点 向直线 与直线 作垂线,垂足分别为 ,则
D. 若过点 的直线 与曲线 有三个不同的交点,则直线 的斜率的取值范围是
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.)
12. 已知直线 与直线 平行，则 的值为_____.
13. 甲、乙、丙、丁等 6 名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配 2 人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有_____种. (用数字作答)
14. 在现代通信技术中, 信号的传输路径模拟常借助几何模型来实现优化.假设在一个特定的信号传输区域内,两个信号基站 分别在双曲线 的左、右焦点处,信号发射源 在双曲线 上,信号中转装置 被安置在以基站 为圆心, 为半径的圆上. 若从基站 到发射源 的信号传输路径与从发射源 到中转装置 的信号传输路径相互垂直，且 ，则双曲线 的离心率为_____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.)
15. 已知点 ,点 关于直线 的对称点为 .
(1)求 的外接圆的方程；
(2)直线 过抛物线 的焦点 ，且与 的外接圆相切，求直线 的方程.
16. 如图,在四棱锥 中,底面 满足 底面 , 且 .
(1)求四棱锥 的体积；
(2)若侧面 与侧面 的交线为 ，求证: 平面 ；
(3)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
17. 已知离心率为 的双曲线 经过点 .
(1)求 的方程；
(2)已知 是 上关于原点对称的两点，直线 的斜率分别为 ，求证: 为定值.
18. 如图,在三棱台 中,平面 平面 为 的中点， .
(1)证明: ；
(2)当三棱台 的体积为 时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,且长轴长为 4,离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 是椭圆上位于 轴同侧的两点，且直线 与直线 平行，若直线 的斜率为
1,求 的长度;
(3)设直线 过点 且与椭圆 相交于 两点，又点 是椭圆 的下顶点，当 面积最大时,求直线 的方程.
1. A
因为 ,
所以 ,所以 ,所以 ,
故选: A
2. A
因为焦距长为 8,所以 ,即 .
而渐近线方程为 ,所以 ,
又因为 ,即 ,
所以 ,
所以双曲线方程为 .
故选: A.
3. B
二项式 展开式的通项公式为 ,
因此 展开式中含 的项为 ,
所以 展开式中 的系数为 42 .
故选: B
4. B
如图,由题可知, ,又因为 ,
故 . 又因为 ,
故 ,
故选: B.
5. A
设 ,则 ,
因为 ,
则 ,
则 ,故直线 与 所成角的余弦值为 0 .
故选: A
6. C
由题意知三角形 的外接圆半径 ,
如图,三角形 外接圆方程为 ,
要使得点 满足 ，则圆 与圆 有公共点(不含 端点)， 故 ,且 (若 ,此时 与 重合,不合题意),
解得 .
故选: C.
7. C
步骤 1: 先排 4 个歌舞节目: ,排好后会产生 5 个空位 (包括两端);
步骤 2: 将 2 个机器人节目插入空位: ;
步骤 3: 排除“前 3 个节目全是歌舞”的情况: 先从 4 个歌舞节目中选 3 个排在前 3 个位置, 有 种方法,
剩下的 1 个歌舞节目和 2 个机器人节目排在后 3 个位置, 且机器人节目不相邻, 只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列,
有 种方法. 故不满足条件的情况有 .
故总数为:
故选:
8. A
抛物线 的焦点为 ,依题意可得 ,解得 ,
所以抛物线的方程为 ,则抛物线的准线为 ,所以 ,
依题意直线 的斜率不为 0,设过 的直线 的方程为 ,
联立方程组 ,整理可得 ,由 ,
所以 ,
又因为 ,所以 ,又
所以 ,
因为 ,
所以
即 ,解得 ,所以直线 的方程为 ,
故选: A.
9. BD
对于 ,因为 ,所以展开后共有 7 项,故 错误;
对于 ,由题意可知二项式系数和为 ,故 正确;
对于 ,令 ,则所有项的系数和 ,故 错误;
对于 ,因为 ,故 正确.
故选: BD.
10. BD
因为 ,
且 为等腰直角三角形,因为 与 不垂直,所以 与 不垂直,
所以 不垂直于平面 ,故 错误;
因为 ，所以 (或其补角)是直线 与 所成的角，
所以 ，所以 ，故 B 正确；
由 平面 得 ,假设 成立,则 平面 ,
所以 ,与题意矛盾,故 错误;
因为 ,所以 ,故 ,所以 正确.
故选: BD
11. BCD
当 时,曲线 ,即 ;
当 时,曲线 ,即 不存在;
当 时,曲线 ,即 ;
当 时,曲线 ,即 ,
画出图形如图所示:
对于 A: 满足 条件的曲线是双曲线 的下支,
该双曲线的下支与曲线 是没有交点的,
所以不存在曲线 上的点 ,使得 成立,故 错误;
对于 : 一三象限曲线的渐近线方程为 ,
则直线 与曲线 没有交点,故 正确;
对于 : 设 ,由点到直线距离公式得: ,
所以 .
因为点 是曲线 上且在第三象限内的一点,则有 ,
所以 ,故 正确,
对于 : 设过点 的直线 ,显然 .
联立 ;
联立 ;
直线 与曲线 有三个不同的交点,则直线 斜率的取值范围是 正确;
故选:BCD.
12. 2
由题可知, ,解得 . 当 时,直线 的方程为: ,即 ,与直线 平行. 故答案为: 2 .
13. 60
甲、乙、丙、丁等 6 名大学生被平均分到三个单位有 .
其中甲、乙在同一个单位的分法有 种,
丙、丁在同一个单位的分法有 种,
甲、乙在同一个单位且丙、丁也在同一个单位的分法有 种,
故甲、乙不在同一个单位, 丙、丁也不在同一个单位, 则不同的分配方案共有
故答案为: 60 .
14. 如图所示,因为信号中转装置 被安置在以基站 为圆心, 为半径的圆上, 可得 ,因为 ,所以 三点共线,且 ,
由双曲线的定义,可得 ,所以 ,
在直角 中,可得 ,即 ,
整理得 ,即 ,
两边同除以 ，可得 ，解得 ，
因为 ,所以 .
故答案为: .
15. (1)
(2) 或
(1)设点 由题意 ，解得 ，即 ，
的外接圆是以线段 为直径的圆，
的中点为 ,
的外接圆方程是 ;
(2)由抛物线 ,可得焦点 ，
由( 1 )可知与 的外接圆方程为 ，所以圆心 ，半径 .
当直线 的斜率不存在时,直线方程为 ,显然与圆不相切;
当直线 的斜率存在时,设切线方程为 ,即 ,
所以 ,所以 ,解得 ,
所以直线 的方程为 或 .
16. (1)因为 底面 ，则四棱锥 的高 ，则其体积为
(2)由底面 上 ，则 ，
由 平面 平面 ,则 平面 ,
平面 平面 平面 ,则 ,
又 底面 底面 ,所以 ,
由题知 ,又 平面 ,
所以 平面 ,故 平面 ;
(3)由上易知 两两垂直，以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,
所以 ,
由 平面 ,故平面 的法向量为 ,
设面 的法向量为 ,则 ,取 ,则 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,
故平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
17.(1)由题意可得 ,解得 , 所以 的方程为 ;
(2)设 ， ，
因为点 在双曲线 上,所以 ,即 ,
所以 ,
所以 为定值.
18.( 1 )证明:取 中点 ，连接 .
由 得, .
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 .
又因为 平面 ,所以 .
又 ,所以四边形 是菱形,从而 .
又 ,所以 平面 .
又 平面 ,所以 .
(2)取 的中点 ，连接 ，则 ，
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 , 所以 平面 .
所以三棱台 的高 .
设 ,则 ,
从而 ,解得 .
以 为原点，直线 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 ,
设平面 的法向量 ,
则 即 令 ,则 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 .
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19. (1)
(2) (3)
(1) 由椭圆的定义可得 ,则 ,
设椭圆 的半焦距为 ,因为 ,所以 ,
则 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
(2)如下图，延长 交椭圆 于点 ，由对称性可知，
所以 ,
因为直线 的斜率为 1,且 ,则直线 的方程为 ,
设 ,
联立 ,消 得 ,
所以 ,
所以 , 所以 的长度为 .
(3)由题意可知，直线 的斜率存在，又直线经过 ，
设直线 ,
如图,
联立 ,消 得 ,
,
令 ,
则 ,
又因为 在 单调递增,
所以当 时， 取最小值 ， 面积取最大值 ，
此时, ,即 ,
所以 面积最大时，直线 的方程为 .
考试时间:120 分钟 满分:150 分
一、单选题(本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)
1. 若直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量 ，则()
A. B. C. D. 以上都有可能
2. 双曲线 的焦距长为 8,且渐近线方程为 ,则双曲线方程为( )
A. B. C. D.
3. 展开式中 的系数为( )
A. 56 B. 42 C. 84 D. 120
4. 设椭圆 的左、右焦点分别为 是 上的点， 轴， ，则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D. .
5. 在平行六面体 中, , . 求直线 与 所成角的余弦值()
A. 0 B. C. D.
6. 在平面直角坐标系 中,已知 ,点 为圆 上一点,若存在点 使得 ,则 的可能取值为 ( )
A. B. 2 C. D. 3
7. 某晚会由 4 个歌舞节目和 2 个机器人表演节目组成, 若要求机器人表演节目不能相邻出演且前 3 个节目中至少有一个是机器人表演节目, 则不同的节目安排方法有 ( ) 种.
A. 216 B. 360 C. 432 D. 672
8. 已知抛物线 的焦点 ,过 的直线与抛物线交于 两点.准线与 轴的交点为 . 当 时，直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多选题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.)
9. 在 的展开式中,下列结论正确的是 ( )
A. 展开式的项数为 6
B. 二项式系数和为 64
C. 所有项的系数之和为 2
D. 展开式中第 3 项为
10. 《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马. 现有阳马 如下图所示,其中 平面 ,点 在棱 上运动. 下列说法正确的有( )
A. 平面
B. 直线 与 所成的角为
C.
D. 当 时，四棱锥 的体积是四棱锥 体积的
11. 已知点 ,曲线 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 曲线 上存在点 ,使得
B. 直线 与曲线 没有交点
C. 点 是曲线 上在第三象限内的一点,过点 向直线 与直线 作垂线,垂足分别为 ,则
D. 若过点 的直线 与曲线 有三个不同的交点,则直线 的斜率的取值范围是
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.)
12. 已知直线 与直线 平行，则 的值为_____.
13. 甲、乙、丙、丁等 6 名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配 2 人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有_____种. (用数字作答)
14. 在现代通信技术中, 信号的传输路径模拟常借助几何模型来实现优化.假设在一个特定的信号传输区域内,两个信号基站 分别在双曲线 的左、右焦点处,信号发射源 在双曲线 上,信号中转装置 被安置在以基站 为圆心, 为半径的圆上. 若从基站 到发射源 的信号传输路径与从发射源 到中转装置 的信号传输路径相互垂直，且 ，则双曲线 的离心率为_____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.)
15. 已知点 ,点 关于直线 的对称点为 .
(1)求 的外接圆的方程；
(2)直线 过抛物线 的焦点 ，且与 的外接圆相切，求直线 的方程.
16. 如图,在四棱锥 中,底面 满足 底面 , 且 .
(1)求四棱锥 的体积；
(2)若侧面 与侧面 的交线为 ，求证: 平面 ；
(3)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
17. 已知离心率为 的双曲线 经过点 .
(1)求 的方程；
(2)已知 是 上关于原点对称的两点，直线 的斜率分别为 ，求证: 为定值.
18. 如图,在三棱台 中,平面 平面 为 的中点， .
(1)证明: ；
(2)当三棱台 的体积为 时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,且长轴长为 4,离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 是椭圆上位于 轴同侧的两点，且直线 与直线 平行，若直线 的斜率为
1,求 的长度;
(3)设直线 过点 且与椭圆 相交于 两点，又点 是椭圆 的下顶点，当 面积最大时,求直线 的方程.
1. A
因为 ,
所以 ,所以 ,所以 ,
故选: A
2. A
因为焦距长为 8,所以 ,即 .
而渐近线方程为 ,所以 ,
又因为 ,即 ,
所以 ,
所以双曲线方程为 .
故选: A.
3. B
二项式 展开式的通项公式为 ,
因此 展开式中含 的项为 ,
所以 展开式中 的系数为 42 .
故选: B
4. B
如图,由题可知, ,又因为 ,
故 . 又因为 ,
故 ,
故选: B.
5. A
设 ,则 ,
因为 ,
则 ,
则 ,故直线 与 所成角的余弦值为 0 .
故选: A
6. C
由题意知三角形 的外接圆半径 ,
如图,三角形 外接圆方程为 ,
要使得点 满足 ，则圆 与圆 有公共点(不含 端点)， 故 ,且 (若 ,此时 与 重合,不合题意),
解得 .
故选: C.
7. C
步骤 1: 先排 4 个歌舞节目: ,排好后会产生 5 个空位 (包括两端);
步骤 2: 将 2 个机器人节目插入空位: ;
步骤 3: 排除“前 3 个节目全是歌舞”的情况: 先从 4 个歌舞节目中选 3 个排在前 3 个位置, 有 种方法,
剩下的 1 个歌舞节目和 2 个机器人节目排在后 3 个位置, 且机器人节目不相邻, 只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列,
有 种方法. 故不满足条件的情况有 .
故总数为:
故选:
8. A
抛物线 的焦点为 ,依题意可得 ,解得 ,
所以抛物线的方程为 ,则抛物线的准线为 ,所以 ,
依题意直线 的斜率不为 0,设过 的直线 的方程为 ,
联立方程组 ,整理可得 ,由 ,
所以 ,
又因为 ,所以 ,又
所以 ,
因为 ,
所以
即 ,解得 ,所以直线 的方程为 ,
故选: A.
9. BD
对于 ,因为 ,所以展开后共有 7 项,故 错误;
对于 ,由题意可知二项式系数和为 ,故 正确;
对于 ,令 ,则所有项的系数和 ,故 错误;
对于 ,因为 ,故 正确.
故选: BD.
10. BD
因为 ,
且 为等腰直角三角形,因为 与 不垂直,所以 与 不垂直,
所以 不垂直于平面 ,故 错误;
因为 ，所以 (或其补角)是直线 与 所成的角，
所以 ，所以 ，故 B 正确；
由 平面 得 ,假设 成立,则 平面 ,
所以 ,与题意矛盾,故 错误;
因为 ,所以 ,故 ,所以 正确.
故选: BD
11. BCD
当 时,曲线 ,即 ;
当 时,曲线 ,即 不存在;
当 时,曲线 ,即 ;
当 时,曲线 ,即 ,
画出图形如图所示:
对于 A: 满足 条件的曲线是双曲线 的下支,
该双曲线的下支与曲线 是没有交点的,
所以不存在曲线 上的点 ,使得 成立,故 错误;
对于 : 一三象限曲线的渐近线方程为 ,
则直线 与曲线 没有交点,故 正确;
对于 : 设 ,由点到直线距离公式得: ,
所以 .
因为点 是曲线 上且在第三象限内的一点,则有 ,
所以 ,故 正确,
对于 : 设过点 的直线 ,显然 .
联立 ;
联立 ;
直线 与曲线 有三个不同的交点,则直线 斜率的取值范围是 正确;
故选:BCD.
12. 2
由题可知, ,解得 . 当 时,直线 的方程为: ,即 ,与直线 平行. 故答案为: 2 .
13. 60
甲、乙、丙、丁等 6 名大学生被平均分到三个单位有 .
其中甲、乙在同一个单位的分法有 种,
丙、丁在同一个单位的分法有 种,
甲、乙在同一个单位且丙、丁也在同一个单位的分法有 种,
故甲、乙不在同一个单位, 丙、丁也不在同一个单位, 则不同的分配方案共有
故答案为: 60 .
14. 如图所示,因为信号中转装置 被安置在以基站 为圆心, 为半径的圆上, 可得 ,因为 ,所以 三点共线,且 ,
由双曲线的定义,可得 ,所以 ,
在直角 中,可得 ,即 ,
整理得 ,即 ,
两边同除以 ，可得 ，解得 ，
因为 ,所以 .
故答案为: .
15. (1)
(2) 或
(1)设点 由题意 ，解得 ，即 ，
的外接圆是以线段 为直径的圆，
的中点为 ,
的外接圆方程是 ;
(2)由抛物线 ,可得焦点 ，
由( 1 )可知与 的外接圆方程为 ，所以圆心 ，半径 .
当直线 的斜率不存在时,直线方程为 ,显然与圆不相切;
当直线 的斜率存在时,设切线方程为 ,即 ,
所以 ,所以 ,解得 ,
所以直线 的方程为 或 .
16. (1)因为 底面 ，则四棱锥 的高 ，则其体积为
(2)由底面 上 ，则 ，
由 平面 平面 ,则 平面 ,
平面 平面 平面 ,则 ,
又 底面 底面 ,所以 ,
由题知 ,又 平面 ,
所以 平面 ,故 平面 ;
(3)由上易知 两两垂直，以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,
所以 ,
由 平面 ,故平面 的法向量为 ,
设面 的法向量为 ,则 ,取 ,则 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,
故平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
17.(1)由题意可得 ,解得 , 所以 的方程为 ;
(2)设 ， ，
因为点 在双曲线 上,所以 ,即 ,
所以 ,
所以 为定值.
18.( 1 )证明:取 中点 ，连接 .
由 得, .
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 .
又因为 平面 ,所以 .
又 ,所以四边形 是菱形,从而 .
又 ,所以 平面 .
又 平面 ,所以 .
(2)取 的中点 ，连接 ，则 ，
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 , 所以 平面 .
所以三棱台 的高 .
设 ,则 ,
从而 ,解得 .
以 为原点，直线 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 ,
设平面 的法向量 ,
则 即 令 ,则 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 .
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19. (1)
(2) (3)
(1) 由椭圆的定义可得 ,则 ,
设椭圆 的半焦距为 ,因为 ,所以 ,
则 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
(2)如下图，延长 交椭圆 于点 ，由对称性可知，
所以 ,
因为直线 的斜率为 1,且 ,则直线 的方程为 ,
设 ,
联立 ,消 得 ,
所以 ,
所以 , 所以 的长度为 .
(3)由题意可知，直线 的斜率存在，又直线经过 ，
设直线 ,
如图,
联立 ,消 得 ,
,
令 ,
则 ,
又因为 在 单调递增,
所以当 时， 取最小值 ， 面积取最大值 ，
此时, ,即 ,
所以 面积最大时，直线 的方程为 .
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