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高中物理人教版选择性必修二
第一章 安培力与洛伦兹力
培优专题3 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
学习目标
会分析带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界、三角形边界等有界匀强磁场中的运动。
2. 能够解决相关临界极值问题。
能力提升1 带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
1.带电粒子在有界直线边界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定
基本思路 图例 说明
圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心 ②弦的垂直平分线过圆心 P、M点速度方向垂线的交点
P点速度方向垂线与弦的垂直平分线交点
半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法:左图中， r＝或由r2＝L2＋(r－d)2求得 r＝
运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度l求时间 ①t＝T ②t＝ t＝T＝T ＝T t＝
2.带电粒子在有界匀强磁场中运动的常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
(2)平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
例1 (多选)如图所示,ab上方存在垂直纸面向里的匀强磁场,两比荷之比为k1∶k2=1∶3的带正电粒子A、B均由ab边上的o点以与ab边成α(α<90°)角斜向右上方射入磁场,经过一段时间两粒子分别从ab边上的c、d两点射出。已知两粒子射入磁场的速度大小相等,do>co,忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用。则下列说法正确的是( )
A.粒子A从c点射出
B.粒子A、B在磁场中运动的半径之比为3∶1
C.粒子A、B在磁场中运动的速度偏转角之比为1∶1
D.粒子A、B在磁场中运动的时间之比为1∶1
答案 BC
解析 作出粒子A、B在磁场中运动的轨迹图,如图所示,根据qvB=m,解得粒子在磁场中运动的半径R==,结合已知条件,可知粒子A、B的轨迹半径之比为3∶1,则粒子B从c点射出,故A错误,B正确;由几何知识可知,粒子A、B在磁场中运动的速度偏转角均为θ=2π-2α,故C正确;根据T=可知粒子A、B在磁场中运动的周期之比为3∶1,由t=T可知,粒子A、B在磁场中运动的时间之比为3∶1,故D错误。
训练 (2024·广西卷,5)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。质量为m,电荷量为+q的粒子,以初速度v从O点沿x轴正向开始运动,粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°,交点为P。不计粒子重力,则P点至O点的距离为( )
A. B.
C.(1+) D.
答案 C
解析 粒子运动轨迹如图所示,在磁场中,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得粒子做圆周运动的半径r=,根据几何关系可得P点至O点的距离LPO=r+=(1+),故C正确。
能力提升2 带电粒子在平行边界或多边形边界匀强磁场中的运动
角度1 平行边界
这种情况经常出现带电粒子恰好从磁场飞出(或恰好飞不出)的临界问题,通常有两种情况,一种是从磁场边界端点飞出,如图甲所示;另一种是与磁场边界相切,如图乙、丙所示;若带电粒子垂直平行边界进入磁场,从另一条边界离开,运动轨迹如图丁所示。
例2 带电粒子的质量m=1.7×10-27 kg,电荷量q=+1.6×10-19 C,以速度v=3.2×106 m/s 沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中,磁场的磁感应强度为B=0.17 T,磁场的宽度L=10 cm,如图所示(粒子重力忽略不计,结果保留2位有效数字)。求:
(1)带电粒子离开磁场时的速度大小;
(2)带电粒子在磁场中运动的时间;
(3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d。
答案 (1)3.2×106 m/s (2)3.3×10-8 s
(3)2.7×10-2 m
解析 (1)由于洛伦兹力不做功,所以带电粒子离开磁场时速度大小仍为3.2×106 m/s。
(2)由qvB=m得轨道半径
r== m=0.2 m
由题图可知偏转角θ满足
sin θ===0.5
所以θ=
带电粒子在磁场中运动的周期T=
带电粒子在磁场中运动的时间t=T=T
解得t== s=3.3×10-8 s。
(3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离
d=r(1-cos θ)=0.2×1- m=2.7×10-2 m。
角度2 三角形边界
如图所示是等边三角形ABC区域内某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图,粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。
例3 (多选)如图所示,在AB=L,∠A=60°的直角三角形ABC区域内,有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。从A点沿AB有一束同种粒子以不同速率射入磁场,粒子在磁场中做圆周运动。其中某一速度的粒子的运动轨迹恰好与BC边相切,最终从AC边射出,总用时为t0。不计粒子的重力和粒子间的相互作用,下列说法正确的是( )
A.粒子带正电
B.运动轨迹恰好与BC边相切的粒子,它的轨道半径为L
C.从BC边射出的粒子最小速度是
D.从BC边射出的粒子最小速度是
答案 BC
解析 粒子运动轨迹恰好与BC边相切,最终从AC边射出,即粒子轨迹如图所示,
根据左手定则,粒子带负电,A错误;
根据几何关系,轨迹圆半径R=L,B正确;
粒子恰好不能从BC边飞出时,粒子运动轨迹与BC相切,结合几何知识可知,粒子在磁场中运动的轨迹圆弧对应的圆心角θ=,
此时粒子的速度v===,
则粒子从BC边飞出的最小速度为,C正确,D错误。
角度3 多边形边界
多边形边界磁场对带电粒子的运动限制较多,但可以根据出射点的位置把磁场看成直线边界或三角形边界,如本题中带电粒子从b、c点离开磁场。
例4 如图所示,正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从a点沿ad方向射入磁场,粒子从b点离开磁场,在磁场中的运动时间为t1;如果只改变粒子射入磁场的速度大小,粒子从c点离开磁场,在磁场中的运动时间为t2。不计粒子重力,则t1与t2之比为( )
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶3 D.3∶1
答案 B
解析 根据周期公式T=可知,只改变速度大小,粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相同。粒子两次运动轨迹如图所示,由几何知识知,当粒子从a点进入磁场,从b点离开磁场时,轨迹所对应的圆心角为120°,可得粒子在磁场中的运动时间为t1=T=;同理,当粒子从a点进入磁场,从c点离开磁场时,轨迹所对应的圆心角为60°,可得粒子在磁场中的运动时间为t2=T=,可得t1∶t2=2∶1,故B正确。
能力提升3 带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动的几种情景：
①速度指向圆心:沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角。
②速度方向不指向圆心:如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。
③环形磁场:如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。
例5 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内,存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场,它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。
(1)请判断该粒子带何种电荷,并求出其比荷 ;
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变,而磁感应强度的大小变为B',该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场,但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角,求磁感应强度B'的大小,及此次粒子在磁场中运动所用时间t。
答案 (1)负电荷 (2)B
解析 (1)由粒子的运动轨迹(如图),利用左手定则可知,该粒子带负电荷。粒子由A点射入,由C点飞出,其速度方向改变了90°,则粒子轨迹半径为r,由qvB=m,可得粒子的比荷=。
(2)设粒子从D点飞出磁场,运动轨迹如图,速度方向改变了60°角,故所对圆心角为60°,由几何知识可知,粒子做圆周运动的半径r'==r,又r'=,所以B'=B,此次粒子在磁场中运动所用时间t=T=×=。
随堂对点自测
1.(正方形边界)(2025·山东青岛高二期末)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场,图中的正方形为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷,它们的电荷量、质量均不同,但其比荷相同,且都包含不同速率的粒子,不计重力。下列说法正确的是( )
A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同
B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同
C.在磁场中运动时间相同的粒子,其运动轨迹一定相同
D.在磁场中运动时间越长的粒子,其轨迹一定越长
答案 B
解析 根据qvB=m,周期T=,得r=,T=,这两种粒子带同种电荷,比荷相同,则周期相同,若不同速度粒子都从左边界离开磁场,圆心角均为180°,运动时间一定相同,但运动轨迹不同,故A、C错误;根据qvB=m,在磁场中运动半径r=,运动圆弧对应的半径与速率成正比,入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同,故B正确;如图,运动轨迹为1的粒子的运动时间较长,但轨迹长度为2的短,故D错误。
2.(直线边界)如图所示,在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场,一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场,不计粒子重力,则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为( )
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶ D.1∶1
答案 B
解析 由洛伦兹力提供向心力有qvB=,又T=,解得T=,则正、负粒子在磁场中的运动周期相等,运动时间t=T,正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示,正粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°,负粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°,故时间之比为2∶1,B正确。
3. (圆形边界)如图,圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1,离开磁场时速度方向偏转90°;若射入磁场时的速度大小为v2,离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力。则为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设磁场区域的半径为R,根据几何关系可知,带电粒子以v1射入磁场时,在磁场中运动的轨迹半径r1=R,带电粒子以v2射入磁场时,在磁场中运动的轨迹半径r2==R,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得r=,则==,B正确。
课后巩固训练
基础对点练
题组一 带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
1.(多选)如图所示,两个初速度大小相同的同种粒子a和b,从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场,最后打到屏P上。不计重力,下列说法正确的有( )
A.a、b均带正电
B.a在磁场中运动的时间比b的短
C.a在磁场中运动的路程比b的短
D.a在P上的落点与O点的距离比b的近
答案 AD
解析 a、b粒子的运动轨迹如图所示。粒子a、b都向下偏转,由左手定则可知,a、b均带正电,故A正确;由洛伦兹力提供向心力,qvB=m,得r=,由此可知,两粒子运动半径相等,根据图中两粒子运动轨迹可知a的运动轨迹长度大于b的运动轨迹长度,a在磁场中运动的时间比b的长,故B、C错误;根据运动轨迹可知,a在P上的落点与O点的距离比b的近,故D正确。
2.如图所示为测量磁感应强度的装置,粒子源O能够稳定地发射出速度为v、比荷为k的带正电粒子。将装置放置在被测磁场中,粒子从O点垂直ON和磁场方向进入磁场,经磁场偏转后,垂直打在底片MN上的A点,测出OA距离,从而确定被测磁场的磁感应强度B。已知OM=MN=L,不计重力,则此装置能测量的磁感应强度范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 带电粒子进入磁场后,在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,由题意知=,联立解得B=。如图所示,当粒子打到M点时,轨迹圆半径r=,此时测得磁感应强度B=,当粒子打到N点时,轨迹圆半径r=L,此时测得磁感应强度B=,则此装置能测量的磁感应强度范围是,D正确。
题组二 带电粒子在平行边界或多边形边界匀强磁场中的运动
3.(多选)(2025·山西大同高二期末)如图所示,一束电子从M点垂直于磁场左边界,射入边界平行、宽度为d、磁感应强度大小为B的匀强磁场,射入速度为v,从右边界上的N点穿出磁场时,速度方向与原来射入方向的夹角为θ=60°,则( )
A.电子的比荷为
B.电子的比荷为
C.电子穿越磁场的时间为
D.电子穿越磁场的时间为
答案 BC
解析 电子运动轨迹如图所示,根据几何关系有r==d,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,则电子的比荷为==,故A错误,B正确;电子穿越磁场的时间为t=T=·==,故C正确,D错误。
4.(多选)如图所示,直角三角形ABC中存在一匀强磁场,比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场,分别从AC边上的P、Q两点射出,不计粒子重力,则( )
A.从P射出的粒子速度大
B.从Q射出的粒子速度大
C.从P射出的粒子在磁场中运动的时间长
D.两粒子在磁场中运动的时间一样长
答案 BD
解析 作出两带电粒子各自的运动轨迹,如图所示,根据圆周运动特点知,两粒子分别从P、Q点射出时,速度方向与AC边的夹角相等,故可判定两粒子从P、Q点射出时,半径rP5.如图,边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O,可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )
A.kBl,kBl B.kBl,kBl
C.kBl,kBl D.kBl,kBl
答案 B
解析 电子从a点射出时,其运动轨迹如图线①,轨迹半径为ra=,由洛伦兹力提供向心力,有evaB=m,又=k,解得va=;电子从d点射出时,运动轨迹如图线②,由几何关系有=l2+,解得rd=,由洛伦兹力提供向心力,有evdB=m,又=k,解得vd=,选项B正确。
题组三 带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
6.两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b,以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域,其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力,下列说法正确的是( )
A.a粒子带正电,b粒子带负电
B.a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C.b粒子动能较大
D.b粒子在磁场中运动时间较长
答案 C
解析 粒子向右运动,根据左手定则,b向上偏转,应带正电;a向下偏转,应带负电,故A错误;洛伦兹力提供向心力,即qvB=m,得r=,故半径较大的b粒子速度大,动能也大,由公式F=qvB,知速度大的b粒子受洛伦兹力较大,故B错误,C正确;由t=T及T=知磁场中偏转角大的运动时间长,a粒子的偏转角大,因此运动的时间较长,故D错误。
7.(多选)如图所示,圆柱形区域的横截面在没有磁场的情况下,带电粒子(不计重力)以某一初速度沿截面直径方向入射时,穿过此区域的时间为t;若该区域加沿轴线方向的匀强磁场,磁感应强度为B,带电粒子仍以同一初速度沿截面直径入射,粒子飞出此区域时,速度方向偏转了,根据上述条件可求得的物理量为( )
A.带电粒子的初速度
B.带电粒子在磁场中运动的半径
C.带电粒子在磁场中运动的时间
D.带电粒子的比荷
答案 CD
解析 无磁场时,带电粒子做匀速直线运动,设圆柱形区域截面的半径为R0,则v=;而有磁场时,带电粒子做匀速圆周运动,由半径公式可得r=,由几何关系得,轨道半径r=R0,可得=;设粒子在磁场中的运动时间为t0,粒子飞出此区域时,速度方向偏转了60°,则t0=T===πt,由于不知横截面的半径,因此带电粒子的运动半径以及初速度无法求出,故C、D正确。
综合提升练
8.真空中有一匀强磁场,磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面,磁场的方向与圆柱轴线平行,其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m,电荷量为e,忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,磁场的磁感应强度最小为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径最大时轨迹如图所示,设其轨迹半径为r,轨迹圆圆心为M,磁场的磁感应强度最小为B,由几何关系有+r=3a,解得r=a,电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有evB=m,解得B=,选项C正确。
9.(多选)(2025·安徽阜阳临泉一中高二期中)如图所示,边长为L的正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一个带电粒子静止在正方形的中心O处,某时刻分裂成两个带正电的粒子a、b,粒子a从中心O水平向左射出,粒子b从中心O水平向右射出,经一段时间a、b两粒子同时射出磁场区域,已知粒子a恰从A处飞出磁场,粒子b从CD边某处飞出,飞出磁场时速度与CD边的夹角为60°,若忽略重力和粒子间的相互作用力,则下列判断正确的是( )
A.a、b两带电粒子的半径之比为1∶2
B.a、b两带电粒子的速度大小之比为2∶3
C.a、b两带电粒子的质量之比为2∶3
D.a、b两带电粒子的比荷之比为2∶3
答案 AC
解析 a、b两带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示,由几何关系知,r2=2r1,所以a、b两带电粒子的半径之比为1∶2,A正确;由图知,两粒子的运动时间分别为ta=Ta,tb=Tb,由于ta=tb,则Ta∶Tb=1∶3,根据周期公式T=知,a、b两带电粒子的比荷之比为3∶1,D错误;由动量守恒定律得mava=mbvb,根据r=知,两粒子的质量之比为2∶3,速度大小之比为3∶2,B错误,C正确。
10.如图所示,直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场,质量为m、电荷量为-q(q>0)的粒子1在纸面内以速度v1=v0从O点射入磁场,其方向与MN的夹角α=30°;质量为m、电荷量为+q的粒子2在纸面内以速度v2=v0也从O点射入磁场,其方向与MN的夹角β=60°。已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点(图中未画出),不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求:
(1)两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d;
(2)两粒子进入磁场的时间间隔Δt。
答案 (1) (2)
解析 (1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,有
qvB=m,则r=,
即两粒子的半径分别为r1=,r2=
两粒子的运动轨迹如图所示,则
d=OA+OB=2r1sin 30°+2r2sin 60°=。
(2)粒子1做圆周运动的圆心角θ1=
粒子2做圆周运动的圆心角θ2=
粒子做圆周运动的周期T==
粒子1在匀强磁场中运动的时间t1=T
粒子2在匀强磁场中运动的时间t2=T
所以Δt=t1-t2=。
培优加强练
11.(2024·重庆卷,14)有人设计了一粒子收集装置。如图所示,比荷为的带正电的粒子,由固定于M点的发射枪,以不同的速率射出后,沿射线MN方向运动,能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点,O点在MN上,且KO垂直于MN。若打开磁场开关,空间将充满磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出),速率为v0的粒子运动到O点时,打开磁场开关,该粒子会被收集,不计粒子重力,忽略磁场突变的其他影响。
(1)求O、K间的距离;
(2)若速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关,该粒子仍被收集,求M、O间的距离;
(3)速率为4v0的粒子射出后,运动一段时间再打开磁场开关,该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时零点,求打开磁场开关的时刻。
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)当速率为v0的粒子经过O点时打开磁场开关,根据左手定则可判断粒子将沿逆时针方向运动,由洛伦兹力提供向心力有
qv0B=
由于该粒子会被收集,则作出该粒子的运动轨迹如图甲所示,由几何知识有OK=2r=。
(2)若速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关,该粒子仍被收集,作出其运动轨迹如图乙所示,由洛伦兹力提供向心力有
4qv0B=
设O、M之间的距离为d,则由几何知识有
=(r1-2r)2+d2
联立解得d=。
(3)作出t时刻打开磁场开关后粒子的运动轨迹如图丙所示
设打开磁场开关时粒子距O点的距离为l,则由几何关系可得
=(r1-2r)2+l2
解得l=2r
则打开磁场开关的时刻为t==。
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第一章 安培力与洛伦兹力
培优专题3 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
学习目标
会分析带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界、三角形边界等有界匀强磁场中的运动。
2. 能够解决相关临界极值问题。
能力提升1 带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
1.带电粒子在有界直线边界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定
基本思路 图例 说明
圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心 ②弦的垂直平分线过圆心 P、M点速度方向垂线的交点
P点速度方向垂线与弦的垂直平分线交点
半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法:左图中， r＝或由r2＝L2＋(r－d)2求得 r＝
运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度l求时间 ①t＝T ②t＝ t＝T＝T ＝T t＝
2.带电粒子在有界匀强磁场中运动的常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
(2)平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
例1 (多选)如图所示,ab上方存在垂直纸面向里的匀强磁场,两比荷之比为k1∶k2=1∶3的带正电粒子A、B均由ab边上的o点以与ab边成α(α<90°)角斜向右上方射入磁场,经过一段时间两粒子分别从ab边上的c、d两点射出。已知两粒子射入磁场的速度大小相等,do>co,忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用。则下列说法正确的是( )
A.粒子A从c点射出
B.粒子A、B在磁场中运动的半径之比为3∶1
C.粒子A、B在磁场中运动的速度偏转角之比为1∶1
D.粒子A、B在磁场中运动的时间之比为1∶1
训练 (2024·广西卷,5)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。质量为m,电荷量为+q的粒子,以初速度v从O点沿x轴正向开始运动,粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°,交点为P。不计粒子重力,则P点至O点的距离为( )
A. B.
C.(1+) D.
能力提升2 带电粒子在平行边界或多边形边界匀强磁场中的运动
角度1 平行边界
这种情况经常出现带电粒子恰好从磁场飞出(或恰好飞不出)的临界问题,通常有两种情况,一种是从磁场边界端点飞出,如图甲所示;另一种是与磁场边界相切,如图乙、丙所示;若带电粒子垂直平行边界进入磁场,从另一条边界离开,运动轨迹如图丁所示。
例2 带电粒子的质量m=1.7×10-27 kg,电荷量q=+1.6×10-19 C,以速度v=3.2×106 m/s 沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中,磁场的磁感应强度为B=0.17 T,磁场的宽度L=10 cm,如图所示(粒子重力忽略不计,结果保留2位有效数字)。求:
(1)带电粒子离开磁场时的速度大小;
(2)带电粒子在磁场中运动的时间;
(3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d。
角度2 三角形边界
如图所示是等边三角形ABC区域内某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图,粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。
例3 (多选)如图所示,在AB=L,∠A=60°的直角三角形ABC区域内,有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。从A点沿AB有一束同种粒子以不同速率射入磁场,粒子在磁场中做圆周运动。其中某一速度的粒子的运动轨迹恰好与BC边相切,最终从AC边射出,总用时为t0。不计粒子的重力和粒子间的相互作用,下列说法正确的是( )
A.粒子带正电
B.运动轨迹恰好与BC边相切的粒子,它的轨道半径为L
C.从BC边射出的粒子最小速度是
D.从BC边射出的粒子最小速度是
角度3 多边形边界
多边形边界磁场对带电粒子的运动限制较多,但可以根据出射点的位置把磁场看成直线边界或三角形边界,如本题中带电粒子从b、c点离开磁场。
例4 如图所示,正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从a点沿ad方向射入磁场,粒子从b点离开磁场,在磁场中的运动时间为t1;如果只改变粒子射入磁场的速度大小,粒子从c点离开磁场,在磁场中的运动时间为t2。不计粒子重力,则t1与t2之比为( )
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶3 D.3∶1
能力提升3 带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动的几种情景：
①速度指向圆心:沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角。
②速度方向不指向圆心:如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。
③环形磁场:如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。
例5 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内,存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场,它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。
(1)请判断该粒子带何种电荷,并求出其比荷 ;
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变,而磁感应强度的大小变为B',该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场,但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角,求磁感应强度B'的大小,及此次粒子在磁场中运动所用时间t。
随堂对点自测
1.(正方形边界)(2025·山东青岛高二期末)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场,图中的正方形为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷,它们的电荷量、质量均不同,但其比荷相同,且都包含不同速率的粒子,不计重力。下列说法正确的是( )
A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同
B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同
C.在磁场中运动时间相同的粒子,其运动轨迹一定相同
D.在磁场中运动时间越长的粒子,其轨迹一定越长
2.(直线边界)如图所示,在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场,一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场,不计粒子重力,则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为( )
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶ D.1∶1
3. (圆形边界)如图,圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1,离开磁场时速度方向偏转90°;若射入磁场时的速度大小为v2,离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力。则为( )
A. B. C. D.
课后巩固训练
基础对点练
题组一 带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
1.(多选)如图所示,两个初速度大小相同的同种粒子a和b,从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场,最后打到屏P上。不计重力,下列说法正确的有( )
A.a、b均带正电
B.a在磁场中运动的时间比b的短
C.a在磁场中运动的路程比b的短
D.a在P上的落点与O点的距离比b的近
2.如图所示为测量磁感应强度的装置,粒子源O能够稳定地发射出速度为v、比荷为k的带正电粒子。将装置放置在被测磁场中,粒子从O点垂直ON和磁场方向进入磁场,经磁场偏转后,垂直打在底片MN上的A点,测出OA距离,从而确定被测磁场的磁感应强度B。已知OM=MN=L,不计重力,则此装置能测量的磁感应强度范围是( )
A. B.
C. D.
题组二 带电粒子在平行边界或多边形边界匀强磁场中的运动
3.(多选)(2025·山西大同高二期末)如图所示,一束电子从M点垂直于磁场左边界,射入边界平行、宽度为d、磁感应强度大小为B的匀强磁场,射入速度为v,从右边界上的N点穿出磁场时,速度方向与原来射入方向的夹角为θ=60°,则( )
A.电子的比荷为
B.电子的比荷为
C.电子穿越磁场的时间为
D.电子穿越磁场的时间为
4.(多选)如图所示,直角三角形ABC中存在一匀强磁场,比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场,分别从AC边上的P、Q两点射出,不计粒子重力,则( )
A.从P射出的粒子速度大
B.从Q射出的粒子速度大
C.从P射出的粒子在磁场中运动的时间长
D.两粒子在磁场中运动的时间一样长
5.如图,边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O,可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )
A.kBl,kBl B.kBl,kBl
C.kBl,kBl D.kBl,kBl
题组三 带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
6.两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b,以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域,其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力,下列说法正确的是( )
A.a粒子带正电,b粒子带负电
B.a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C.b粒子动能较大
D.b粒子在磁场中运动时间较长
7.(多选)如图所示,圆柱形区域的横截面在没有磁场的情况下,带电粒子(不计重力)以某一初速度沿截面直径方向入射时,穿过此区域的时间为t;若该区域加沿轴线方向的匀强磁场,磁感应强度为B,带电粒子仍以同一初速度沿截面直径入射,粒子飞出此区域时,速度方向偏转了,根据上述条件可求得的物理量为( )
A.带电粒子的初速度
B.带电粒子在磁场中运动的半径
C.带电粒子在磁场中运动的时间
D.带电粒子的比荷
综合提升练
8.真空中有一匀强磁场,磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面,磁场的方向与圆柱轴线平行,其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m,电荷量为e,忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,磁场的磁感应强度最小为( )
A. B. C. D.
9.(多选)(2025·安徽阜阳临泉一中高二期中)如图所示,边长为L的正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一个带电粒子静止在正方形的中心O处,某时刻分裂成两个带正电的粒子a、b,粒子a从中心O水平向左射出,粒子b从中心O水平向右射出,经一段时间a、b两粒子同时射出磁场区域,已知粒子a恰从A处飞出磁场,粒子b从CD边某处飞出,飞出磁场时速度与CD边的夹角为60°,若忽略重力和粒子间的相互作用力,则下列判断正确的是( )
A.a、b两带电粒子的半径之比为1∶2
B.a、b两带电粒子的速度大小之比为2∶3
C.a、b两带电粒子的质量之比为2∶3
D.a、b两带电粒子的比荷之比为2∶3
10.如图所示,直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场,质量为m、电荷量为-q(q>0)的粒子1在纸面内以速度v1=v0从O点射入磁场,其方向与MN的夹角α=30°;质量为m、电荷量为+q的粒子2在纸面内以速度v2=v0也从O点射入磁场,其方向与MN的夹角β=60°。已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点(图中未画出),不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求:
(1)两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d;
(2)两粒子进入磁场的时间间隔Δt。
培优加强练
11.(2024·重庆卷,14)有人设计了一粒子收集装置。如图所示,比荷为的带正电的粒子,由固定于M点的发射枪,以不同的速率射出后,沿射线MN方向运动,能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点,O点在MN上,且KO垂直于MN。若打开磁场开关,空间将充满磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出),速率为v0的粒子运动到O点时,打开磁场开关,该粒子会被收集,不计粒子重力,忽略磁场突变的其他影响。
(1)求O、K间的距离;
(2)若速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关,该粒子仍被收集,求M、O间的距离;
(3)速率为4v0的粒子射出后,运动一段时间再打开磁场开关,该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时零点,求打开磁场开关的时刻。
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