1.4角平分线的性质学案

角平分线的性质
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1、会用直尺圆规作一个已知角的平分线；
2、掌握角平分线的性质以及角平分线性质的应用；
3、培养学生的观察、分析、归纳能力，探究精神和创新意识．
1.角平分线的概念
________________________________________________叫角的平分线．
2.角平分线的性质
角平分线上的点到________________________距离相等．
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在________________上．
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；
②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；
③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：
如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE
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3.角平分线的性质证明
要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．
在△ABC和△ADC中：
所以△ABC≌△ADC（SSS）．
所以∠CAD=∠CAB．
即射线AC就是∠DAB的平分线．
4.角平分线的画法
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC即为所求．
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1.角平分线的定义．
【例1】（2014 大连六中月考）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（　　）
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A．35°
B．70°
C．110°
D．145°
练1.（2014 滨州渤海中学期末）如图，
( http: / / www.21cnjy.com )OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（　　）
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A．50°
B．60°
C．65°
D．70°
2.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
【例2】如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
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练2.
已知：如图6所示在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。
求证：AC＝AE＋CD
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3.角平分线的性质；三角形的面积．
【例3】如图，AD是△ABC中∠BAC的平
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A．4
B．3
C．6
D．5
练3.
如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　）
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A．PA=PB
B．PO平分∠APB
C．OA=OB
D．AB垂直平分OP
练4.如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（　　）
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A．3
B．4
C．5
D．6
4．角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）．
【例4】（2014 扬州一
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A．90°＜α＜180°
B．α=90°
C．0°＜α＜90°
D．α随着折痕位置的变化而变化
练5.（2015 乌兰察布集宁一中月考
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A．BB′⊥AC
B．BC=B′C
C．∠ACB=∠ACB′
D．∠ABC=∠AB′C
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5．线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．
【例5】（2014 三明市中期中）
( http: / / www.21cnjy.com )如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　）
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A．AE=BE
B．AC=BE
C．CE=DE
D．∠CAE=∠B
练6．（2014 曲靖一中月考模拟
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练7．（2014 祁县质检）如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB=　　度．
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6.线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质．
【例6】（2015 陕西西安实验期末）如图，
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练8．（2014 益阳一中
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A．P是∠A与∠B两角平分线的交点
B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC、AB两边上的高的交点
D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（　　）
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A．10
B．7
C．5
D．4
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（　　）
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A．
B．2
C．3
D．+2
3．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（　　）
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A．6
B．5
C．4
D．3
4．如图，在边长为的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（　　）
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A．
B．
C．
D．1　
5．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（　　）
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A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的角平分线
D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）
6．如图，已知OP平分∠
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A．2
B．
C．
D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，AC=3，BC=4，则CD的长是（　　）
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A．1
B．
C．
D．2
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1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为　　　　　　．
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2．如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=　　　　　　°．
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3．（2014秋 深圳中学月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=　　　　　　．
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4．已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为　　　　　　．
5．如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为　　　　　　cm．
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6．如图，在△ABC中，CD平分∠
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7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若AD=4，CD=2，则AB的长是　　　　　　．
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8．（2015 株洲一中期末）如图，在R
( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．
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9．如图，四边形ABCD中，AC为∠
( http: / / www.21cnjy.com )BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．
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10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
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