课件56张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.1 集合第一章 1.1.1 集合的含义与表示一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民．
有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”1.集合的概念
(1)含义：一般地，我们把________统称为元素，把一些元素组成的______叫做集合(简称为集)．
(2)集合相等：只要构成两个集合的______是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．研究对象总体元素[知识点拨] 集合中的元素必须满足如下性质：
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系是∈不是不属于3．集合的表示法
(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．
(2)字母表示法：用一个大写__________表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：拉丁字母NN*或N＋ZQR
(3)列举法：把集合的____一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的________及_________________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的________．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．元素一般符号取值(或变化)范围共同特征[答案] D
[解析] “著名的数学家”和“较胖的人”无明确的标准，对于某人是否“著名”或“较胖”无法客观地判断，因此“著名的数学家”和“较胖的人”不能组成集合；“很大的数”也无明确的标准，所以也不能组成集合；任意给定一个整数，能够判定是否小于3，有明确的标准，故D能组成一个集合．[答案] ③
[解析] ①违背了集合中元素的互异性；②中全体实数本身就是集合，不能再加大括号；④中用描述法表示的集合，未写出代表元素，应为{x|x－5＞0}．[答案] (1){0,1,2,3,4} (2){3} (3){x|3＜x≤8}
[解析] (1)因为x∈N，且x＜5，所以x＝0,1,2,3,4.(2)由x2－6x＋9＝0，得x1＝3，x2＝3.(3)实数x大于3且不大于8可表示为3＜x≤8.集合的基本概念 [解析] ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．
⑤中有两个数相等，不符合互异性，所以⑤也不能组成集合．②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③.
[规律总结] 1.确定性是判断一组对象能否构成集合的标准．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．[解析] (1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.元素和集合的关系
[思路分析] 解题的关键是理解自然数集N的意义和集合与元素间的关系．
[解析] 自然数集中最小的元素是0，故①③不正确；对于②，若a∈N，即a是自然数，当a＝0时，－a仍为自然数，所以②也不正确．故选A.
[答案] A
[规律总结] 1.对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用N＋，N，Z，Q，R来表示，这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数集的表示方法，应当熟练掌握．
2．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．集合中元素的特性 [解析] (1)当x2＝0时，得x＝0，此时集合中有两个相同的元素0，舍去；
(2)当x2＝1时，得x＝±1.
若x＝1，集合中有两个相同的元素1，舍去．
若x＝－1，集合中含有元素0,1，－1，符合题意；
(3)当x2＝x时，得x＝0或x＝1，由(1)(2)可知都不符合题意．
综合所述，x＝－1.[规律总结] 1.确定性：作为一个集合的元素，必须是明确的．
不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．
2．互异性：对于给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或说是互异的)．
集合中的任意两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．
3．无序性：集合中的元素是没有顺序的．用列举法表示集合
[规律总结] 1.用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．
因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．用描述法表示集合 [解析] (1){x|3x＋2>2x＋1}或{x|x>－1}；
(2){(x，y)|x>0，y>0，且x，y∈R}；
(3){x|x＝2k－1，k∈N＋}．
[规律总结] 1.用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合的表示．
2．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x∈R.[错因分析] 当x＝1，y∈0时，A＝B＝{1,1，y}，不满足集合元素的互异性，当x＝1，y＝1时，A＝B＝{1,1,1}也不满足元素的互异性，当x＝－1，y＝0，A＝B＝{1，－1,0}，满足题意．
[点评] 在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就结束了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视.[答案] C
[解析] 语句①“污染不太大”没有明确的标准；②中四大名著指的是《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》；③④中的对象也都满足确定性、互异性、无序性．[解析] A项中M＝{(3,2)}中的元素是(3,2)，N＝{(2,3)}中的元素是(2,3)，所以这是两个不同的集合；B项中M＝{3,2}中的元素是3,2，N＝{2,3}中的元素是2,3，由集合中元素的无序性可知，这是两个相同的集合；C项中集合M中的代表元素是(x，y)，是直线x＋y＝1上的点，而集合N中的代表元素是y，是直线x＋y＝1上点的纵坐标，因此是两个不同的集合；D项中两集合M的元素分别是3、2，而N中含有一个元素(3,2)，因此它们是两个不同的集合．课件36张PPT。第一章 §1.1 集 合1.1.2 集合间的基本关系1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，并能正确判断.
2.了解Venn图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系.
3.了解空集的含义及其性质.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 Venn图
(1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的 代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法.
(2)适用范围：元素个数较少的集合.
(3)使用方法：把 写在封闭曲线的内部.答案元素内部知识点二 子集的概念答案包含关系?任意一个思考 符号“∈”与“?”有什么区别？
答 (1)“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1?N.
(2)“?”是表示集合与集合之间的关系，比如N?R，{1,2,3}?{3,2,1}.
(3)“∈”的左边是元素，右边是集合，而“?”的两边均为集合.知识点三 集合相等
如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
思考 (1)集合{0,1}与集合{(0,1)}相等吗？
答 不相等.前者是数集，有两个元素：0和1；后者是点集，只有一个元素：数对(0,1).
(2)集合{x∈R|－1
答 相等.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于－1且小于2的所有实数，所以这两个集合相等.答案x∈B，且x?A知识点四 真子集的概念答案知识点五 空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集.
(2)用符号表示为：?.
(3)规定：空集是任何集合的子集.
思考 {0}，?与{?}之间有什么区别与联系？
答 {0}是含有一个元素0的集合，?是不含任何元素的集合，因此有??{0}，而{?}是含有一个元素?的集合，因此有?∈{?}.
知识点六 子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的 ，即 .
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么 .答案返回A?C子集A?A 题型探究 重点突破题型一 有限集合的子集确定问题
例1 (1)写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；
解 子集为：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}.
真子集为：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}.
(2)已知集合A满足{a，b}?A?{a，b，c，d}，求满足条件的集合A.
解 由题意可知，A中一定有a，b，对于c，d可能没有，也可能有1个，故满足{a，b}?A?{a，b，c，d}的A有：
{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}.解析答案反思与感悟1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.反思与感悟解析答案跟踪训练1 已知集合M满足{2,3}?M?{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数.
解 当M中含有两个元素时，M为{2,3}；
当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；
当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；
当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；
所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.解析答案题型二 集合间关系的判定
例2 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
解 集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
解 等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.解析答案(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；
解 集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.
解 由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N?M.解析答案反思与感悟A.A?B B.B?A C.A＝B D.A≠B反思与感悟由于4k2＋1＝2×2k2＋1，4k2－1＝2(2k2－1)＋1，
且2k2表示所有的偶数，2k2－1表示所有的奇数，
∴4k2±1与2k＋1(k∈Z)一样，都表示所有奇数.∴x2∈A.∴B?A.故A＝B.故选C.答案 C反思与感悟判断集合与集合关系的常用方法：(1)一一列举观察.(2)集合元素特征法：首先确定“集合的元素是什么”，弄清元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.①若p(x)推出q(x)，则A?B；②若q(x)推出p(x)，则B?A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn图判断.若A?B和A?B同时成立，则A?B更能准确表达集合A，B之间的关系.解析答案跟踪训练2 集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，
S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}，则M，P，S之间的关系为( )
A.S?P?M B.S＝P?M
C.S?P＝M D.S?P＝M
解析 对于M：x＝3k－2＝3(k－1)＋1，k∈Z，
对于P：y＝3n＋1，n∈Z，
∴M＝P.
而z＝6m＋1＝3·(2m)＋1，m∈Z，
∴S?P＝M，故选C.C解析答案反思与感悟题型三 集合相等
例4 已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，若M＝N，求a与b的值.又a＝0，b＝0时，M＝{2,0,0}与集合的互异性矛盾，故舍去.反思与感悟由A＝B(或A?B)求字母的值时，要注意检验所求出的值是否满足集合中元素的互异性.解析答案A.1 B.－1
C.2 D.－2C故b－a＝2.解析答案反思与感悟题型四 由集合间的关系求参数范围问题
例5 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A，求实数m的取值范围.
解 ∵B?A，
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.解得－1≤m＜2，综上得{m|m≥－1}.反思与感悟1.求解集合中参数问题，应先分析，简化每个集合，然后应用数形结合思想与分类讨论思想求解；2.利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，其中特别要注意端点值的检验；3.注意空集的特殊性，遇到“B?A”时，若B为含字母参数的集合，一定要分“B＝?”和“B≠?”两种情形讨论.解析答案跟踪训练4 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.
(1)若A?B，求a的取值范围；
解 若A?B，由图可知a＞2.
(2)若B?A，求a的取值范围.
解 若B?A，由图可知1≤a≤2.忽略空集的特殊性致误易错点解析答案易错警示例6 设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N?M，求所有满足条件的a的取值集合.易错警示错解 由N?M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，得N＝{－1}或{3}.正解 由N?M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，得N＝?或N＝{－1}或N＝{3}.
当N＝?时，ax－1＝0无解，即a＝0.易错警示解析答案返回跟踪训练5 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围.解 因为A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，B?A，
所以B可能为?，{0}，{－4}，{0，－4}.
①当B＝?时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无解.
所以Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
所以a<－1.
②当B＝{0}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根0，解析答案解得a＝－1.返回③当B＝{－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根－4，该方程组无解.
④当B＝{0，－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个不相等的实数根0和－4，解得a＝1.
综上可得a≤－1或a＝1. 当堂检测12345解析答案1.集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为( )
A.4 B.7 C.8 D.16
解析 可知A＝{0,1,2}，其真子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，即共有23－1＝7(个).B12345解析答案2.设集合M＝{x|x＞－2}，则下列选项正确的是( )
A.{0}?M B.{0}∈M C.?∈M D.0?M
解析 选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；
选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误.A123453.若集合P＝{x|x≤3}，则( )
A.－1?P B.{－1}∈P
C.?∈P D.{－1}?P
解析 ∵P＝{x|x≤3}，
∴－1∈P，故{－1}?P，故答案为D.解析答案D解析答案123454.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A.1 B.2 C.3 D.4
解析 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{1,2}，B＝{x|0因为A?C?B，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，
所以集合C的个数为22＝4.故选D.D12345解析答案5.设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则实数x＝____，y＝____.
解析 因为A＝B，所以x＝0或y＝0.
若x＝0，则x2＝0，此时集合B中的元素不满足互异性，舍去；
若y＝0，则x＝x2，得x＝0(舍去)或x＝1，此时A＝B＝{0,1}.
所以x＝1，y＝0.10课堂小结1.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法.
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.返回2.集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.
3.涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.课件34张PPT。第一章 1.1.3 集合的基本运算第1课时 并集与交集1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 并集的概念
并集的三种语言表示：
(1)文字语言：由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的 .
(2)符号语言：A∪B＝ .
(3)图形语言；如图所示.答案{x|x∈A，或x∈B}或并集思考 (1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？
答 “x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x?B；x∈B，但x?A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示.
(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？
答 不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和.答案知识点二 交集的概念
交集的三种语言表示：
(1)文字语言：由属于集合A 属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的 .
(2)符号语言：A∩B＝ .
(3)图形语言：如图所示.答案{x|x∈A，且x∈B}且交集思考 (1)当两个集合没有公共元素时，这两个集合就没有交集吗？
答 当两个集合没有公共元素时，这两个集合的交集为空集.
(2)对于A∩B＝?，存在哪几种可能的情况？
答 存在三种情况：
①集合A，B均为空集；
②集合A，B中有一个是空集；
③集合A，B均为非空集，但无相同元素.答案知识点三 并集与交集的运算性质答案返回A?AA 题型探究 重点突破题型一 并集及其运算
例1 (1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于( )
A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8}
C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8}
解析 由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}.解析答案A解析答案反思与感悟(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )
A.{x|－1≤x＜3} B.{x|－1≤x≤4}
C.{x|x≤4} D.{x|x≥－1}
解析 在数轴上表示两个集合，如图.C解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合.若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.反思与感悟解析答案跟踪训练1 已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是( )
A.{－1,2,3} B.{－1，－2,3}
C.{1，－2,3} D.{1，－2，－3}
解析 ∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，
∴A∪B＝{1，－2,3}.C解析答案题型二 交集及其运算
例2 (1)设集合M＝{m∈Z|－3A.{0,1} B.{－1,0,1}
C.{0,1,2} D.{－1,0,1,2}
解析 由已知得M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，
所以M∩N＝{－1,0,1}.故选B.B解析答案(2)若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x>2}，则A∩B等于( )
A.{x|2C.{x|2≤x<3} D.{x|x>2}
解析 结合数轴分析
可得A∩B＝{x|21}，则A∩B＝________.
(2)集合A＝{x|x≥2或－2解析 (1)因为A＝{x|x∈N，x≤4}＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x∈N，x>1}，
所以A∩B＝{2,3,4}.
(2)A∩B＝{x|x≥5或x＝2}.{2,3,4}{x|x≥5或x＝2}解析答案反思与感悟题型三 已知集合的交集、并集求参数
例3 已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝?，求实数a的取值范围.
解 由A∩B＝?，
(1)若A＝?，有2a＞a＋3，∴a＞3.
(2)若A≠?，如右图：反思与感悟1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解.若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结.
2.建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证.解析答案跟踪训练3 设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠?，则实数k的取值范围为______.k≤6解析答案反思与感悟例4 设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.解析答案反思与感悟解 A＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，B是关于x的方程x2＋x＋a＝0的解集.
∵A∪B＝A，∴B?A.
∵A＝{－1,2}≠?，∴B＝?，或B≠?.当B≠?时，关于x的方程x2＋x＋a＝0有实数解.反思与感悟若B中含有两个元素，则必有B＝{－1,2}，
则－1和2是关于x的方程x2＋x＋a＝0的解，∵1≠－1，∴此种情况不合题意.反思与感悟1.通过深刻理解集合的表示方法，把A∩B＝A(或A∪B＝A)转化为集合之间的关系A?B(或B?A)，从而把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题，这种思想称为化归思想，是数学中常用的思想方法之一.
2.解本题时，特别容易出现的错误是遗漏了B＝?的情形，其原因是对B?A的理解不够充分.对于B?A，当A≠?时，则有B＝?，或B≠?.避免出错的方法是培养利用分类讨论的数学思想方法的习惯和注意经验的积累.解析答案跟踪训练4 设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|2x2－ax＋2＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.
解 ∵A∪B＝A，∴B?A.
又A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
若1∈B，则2－a＋2＝0，得a＝4，此时B＝{1}?A符合题意.
若2∈B，则2×22－2a＋2＝0，
得a＝5，此时B＝{2， }不合题意，故a＝5舍去.
若B＝?，则a2－16<0，
得－4综上所述a的取值范围为－4正解 由题意可知集合A，B分别是二次函数y＝x2－2x－3和y＝－x2＋2x＋13的y的取值集合.
A＝{y|y＝(x－1)2－4，x∈R}＝{y|y≥－4，y∈R}，
B＝{y|y＝－(x－1)2＋14，x∈R}＝{y|y≤14，y∈R}.
因此，A∩B＝{y|－4≤y≤14，y∈R}.易错警示解析答案返回跟踪训练5 (1)设集合A＝{y|y＝x2－2x＋3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋10，x∈R}，求A∪B；
解 两个集合表示的都是y的取值范围，
∵A＝{y|y＝x2－2x＋3，x∈R}＝{y|y≥2}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋10，x∈R}＝{y|y≤11}，
∴A∪B＝R.解 A∩B＝{(x，y)|y＝x＋1，x∈R}∩{(x，y)| 当堂检测12345解析答案1.若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B 等于( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{1,2} D.{0}
解析 集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5个元素.故选A.A12345解析答案2.已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B等于( )
A.{2} B.{4}
C.{0,2,4,6,8,16} D.{2,4}
解析 观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以A∩B＝{2,4}.D123453.设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}
解析 在数轴上表示出集合A与B，如图.
则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}.解析答案A解析答案123454.已知集合P＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝5－x2，x∈R}，则P∪Q＝_____.
解析 因为P＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，Q＝{y|y＝5－x2，x∈R}＝{y|y≤5}，所以P∪Q＝R.R12345解析答案5.若集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，集合B＝{x|ax－2＝0}，
且A∩B＝B，则由实数a组成的集合C＝__________.
解析 由A＝{x|x2－2x－3＝0}，得A＝{－1,3}.
因为A∩B＝B，所以B?A.
当B≠?时，有B＝{－1}或B＝{3}.
当B＝{－1}时，由a×(－1)－2＝0，得a＝－2；当B＝?时，方程ax－2＝0无解，得a＝0.课堂小结1.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分.特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.返回2.集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.课件31张PPT。第一章 1.1.3 集合的基本运算第2课时 补集及集合运算的综合应用1.了解全集的意义和它的记法.理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.
2.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集.
(2)记法：全集通常记作 .
思考 全集一定是实数集R吗？
答 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.答案U所有元素知识点二 补集答案{x|x∈U，且x?A}不属于集合A?UA思考 设集合A＝{1,2}，那么相对于集合M＝{0,1,2,3}和N＝{1,2,3}，?MA和?NA相等吗？由此说说你对全集与补集的认识.
答 ?MA＝{0,3}，?NA＝{3}，?MA≠?NA.
由此可见补集是一个相对的概念，研究补集必须在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，同一个集合相对于不同的全集，其补集也就不同.答案知识点三 补集的性质
①A∪(?UA)＝U；
②A∩(?UA)＝?；
③?UU＝ ，?U?＝U，?U(?UA)＝ ；
④(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)；
⑤(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B).A?答案返回 题型探究 重点突破题型一 简单的补集运算
例1 (1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?U A等于( )
A.{1,2} B.{3,4,5}
C.{1,2,3,4,5} D.?
(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则?U A＝________.
解析 (1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，
∴?UA＝{3,4,5}.
(2)由补集的定义，结合数轴可得?U A＝{x|x＜1}.解析答案B{x|x＜1}反思与感悟1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.
2.解题时要注意使用补集的几个性质：?UU＝?，?U?＝U，A∪(?U A)＝U.反思与感悟解析答案跟踪训练1 已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则?U A＝__________________.
解析 借助数轴得?U A＝{x|x＝－3，或x＞4}.{x|x＝－3，或x＞4}解析答案题型二 补集的应用
例2 设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求实数a的值.
解 ∵?UA＝{5}，∴5∈U，且5?A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意.
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A?U，故a＝－4舍去.
综上知a＝2.反思与感悟反思与感悟1.由?UA＝{5}可知5∈U且5?A，A?U.
2.由?UA＝{5}求得a后需验证是否符合隐含条件A?U，否则会把a＝－4误认为是本题的答案.
3.解决此类问题的关键在于合理运用补集的性质，必要时对参数进行分类讨论，同时应注意检验.解析答案跟踪训练2 若全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，?UA＝{7}，则实数a＝_____.
解析 因为?UA＝{7}，所以7∈U且7?A，所以a2－a＋1＝7，解得a＝－2或a＝3.
当a＝3时，A＝{4,7}与7?A矛盾，a＝－2满足题意，所以a＝－2.－2解析答案反思与感悟题型三 并集、交集、补集的综合运算
例3 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求?UA，?UB，(?UA)∩(?UB).
解 将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，
则?UA＝{x|－1≤x≤3}；
?UB＝{x|－5≤x<－1，或1≤x≤3}；
方法一 (?UA)∩(?UB)＝{x|1≤x≤3}.
方法二 ∵A∪B＝{x|－5≤x<1}，
∴(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}.反思与感悟求解不等式表示的数集间的运算时，一般要借助于数轴求解，此方法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否.解析答案跟踪训练3 设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求?R(A∪B)及(?RA)∩B.
解 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，
∴?R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}.
∵?RA＝{x|x＜3，或x≥7}，
∴(?RA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}.解析答案反思与感悟题型四 利用Venn图解题
例4 设全集U＝{不大于20的质数}，A∩?UB＝{3,5}，(?UA)∩B＝{7,11}，(?UA)∩(?UB)＝{2,17}，求集合A，B.
解 U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，
A∩(?UB)＝{3,5}，∴3∈A,5∈A，且3?B,5?B，
又(?UA)∩B＝{7,11}，
∴7∈B,11∈B且7?A,11?A.
∵(?UA)∩(?UB)＝{2,17}，
∴?U(A∪B)＝{2,17}.
∴A＝{3,5,13,19}，B＝{7,11,13,19}.反思与感悟解决此类问题的关键是利用Venn图确定哪些元素在A中，哪些元素在B中，哪些元素在A∩B中，哪些元素既不在A中也不在B中.解析答案跟踪训练4 全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A?U，B?U，(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.
解 方法一 根据题意作出Venn图如图所示.
由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}.
方法二 ∵(?UB)∩A＝{1,9}，
(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，
∴?UB＝{1,4,6,7,9}.
又∵U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B＝{2,3,5,8}.
∵(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，∴A＝{1,3,9}.补集思想的应用解题思想方法解析答案例5 已知集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}，B＝{x|x2＋2x－a＝0}，C＝{x|x2＋2ax＋2＝0}.若三个集合至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围.
解 假设三个方程均无实根，则有反思与感悟反思与感悟对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现.解析答案返回跟踪训练5 已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠?，求a的取值范围.解 因为A∩B≠?，所以A≠?，
即方程x2－4ax＋2a＋6＝0有实数根，
所以Δ＝(－4a)2－4(2a＋6)≥0，
即(a＋1)(2a－3)≥0，解析答案又B＝{x|x<0}，
所以方程x2－4ax＋2a＋6＝0至少有一个负根.返回由①②取公共部分得a≤－1.
即当A∩B≠?时，a的取值范围为{a|a≤－1}.若方程x2－4ax＋2a＋6＝0有根，但没有负根， 当堂检测123451.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2,4}，则集合?UM等于( )
A.{1,2,4} B.{3,4,5}
C.{2,5} D.{3,5}D答案12345解析答案2.已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1<9}，则?UA等于( )
A.{x|x<0或x>4} B.{x|x≤0或x>4}
C.{x|x≤0或x≥4} D.{x|x<0或x≥4}
解析 因为U＝R，A＝{x|0≤x<4}，
所以?UA＝{x|x<0或x≥4}.D123453.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(?UB)等于( )
A.{2,5} B.{3,6}
C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}
解析 由题意知，?UB＝{2,5,8}，
则A∩(?UB)＝{2,5}，选A.解析答案A解析答案123454.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{－1,2} B.{－1,0}
C.{0,1} D.{1,2}
解析 图中阴影部分表示的集合为(?UA)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(?UA)∩B＝{－1,2}.A12345解析答案经检验，a＝2符合题意，故实数a的值为2.5.已知全集U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，且?UP＝{－1}，求实数a的值.
解 ∵?UP＝{－1}，∴－1∈U，且－1?P,0∈P.课堂小结1.补集定义的理解
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集.
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想.
(3)从符号角度来看，若x∈U，A?U，则x∈A和x∈?UA二者必居其一.
求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直观观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.返回2.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形.
3.不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集.